沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义三）第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学

授课题目$16.1平面点集与多元函数4学时平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，R2的完备性教学内容二元及多元函数的定义。1.掌握平面点集及点与平面点与平面点集的的位置关系。教学目标2.理解R2的完备性。3.二元及多元函数的定义。教学重点平面点集的基本概念和二元函数的定义教学难点二维空间R的完备性定理。教学方法“系统讲授”结合“问题教学”思考练习小结与作业课程导入讲授新课6'25'10°4'教学过程本学期所学的内容，在是在上学期一元函数基础上进行研究和学习。本节主要设计是让学生正确的理解平面点集、R完备性和和二元函数的概念，主要通过通过坠一元函数内容的复习，启发学生思考和理解二元函数的相应内容。注释教学过程及授课内容在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一元函数，但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数：例如，矩形的面积S=xy，描述了面积S和长x、宽y这两个量之间的函数关系又如，长方体体积V=xyz，描述了体积V和长x、宽y、高=这三个变量之间的函数关系，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着确定的函数关课系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,2)表示时，温度T由x,y,z这三个变量程导所确定。如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那么温度T还与时间1有关，入即T的值由x,y,z,t这四个变量所确定。这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去，1

1 授课题目 §16.1 平面点集与多元函数 4 学时 教学内容 平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义， 2 R 的完备性， 二元及多元函数的定义。 教学目标 1.掌握平面点集及点与平面点与平面点集的的位置关系。 2.理解 2 R 的完备性。 3. 二元及多元函数的定义。 教学重点 平面点集的基本概念和二元函数的定义。 教学难点 二维空间 2 R 的完备性定理。 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 6’ 25’ 10’ 4’ 本学期所学的内容，在是在上学期一元函数基础上进行研究和学习。本节主要 是让学生正确的理解平面点集、 完备性和和二元函数的概念，主要通过通过坠一 元函数内容的复习，启发学生思考和理解二元函数的相应内容。 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一 元函数．但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数．例如，矩形的 面积 S xy  ，描述了面积 S 和长 x 、宽 y 这两个量之间的函数关系．又如，长 方体体积 V xyz  ，描述了体积 V 和长 x 、宽 y 、高 z 这三个变量之间的函数 关系，烧热的铁块中每一点的温度 T 与该点的位置之间有着确定的函数关 系，即当铁块中点的位置用坐标  x y z , ,  表示时，温度 T 由 x y z , , 这三个变量 所确定。如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那么温度 T 还与时间 t 有关， 即 T 的值由 x y z t , , , 这四个变量所确定。这种两个、三个或四个自变量的函数， 分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数． 多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也 由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其 要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数 的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去． 2 R

一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集。因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念.一、平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对（x，y）与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面，坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集，并记作E=(x,y)1(x,y)满足条件P) 例如全平面上的点所组成的点集是(1)R? = (x,y)I -00<x<+00,-00<y<+00)平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有的点的集合是C= (x, )1 x2 +y2 <r2)(2)讲授而集合新S= (x,y)la≤x≤b,c≤y≤d)(3)课则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作[a,b]x[c,d] .平面点集(x,j)I(x-x+(y-y)<8) 与(x,)x-xol<8,-y<8)分别称为以点A(xo,%)为中心的圆领域与8方领域（图16-1).图16-12

2 一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面 上的点集。因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些 基本概念． 讲 授 新 课 一、平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系(今后如不特别指 出，都假定是直角坐标系)之后，所有有序实数对① (x,y)与平面上所有的点 之间建立了一一对应．因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说 法看作是完全等同的．这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面． 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合，称为平面点集，并记作 E  x, y|x, y满足条件P ． 例如全平面上的点所组成的点集是  , | , . 2 R  x y   x     y   (1) 平面上以原点为中心，r 为半径的圆内所有的点的集合是    2 2 2 C  x, y | x  y  r (2) 而集合 S  x, y| a  x  b,c  y  d （3） 则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作[a,b]  c,d ． 平面点集        2 2 0 2 0 x, y | x  x  y  y   与 x, y| x  x0  , y  y0   分别称为以点   0 0 A x , y 为中心的  圆领域与  方领域（图 16-1）．

由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内（反之亦然），因此通常用“点A的邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号U(A；8）或U(A)来表示．点A的空心邻域是指(x,y)10<(x-x0) +(v-0)<82)或(x,y)1/x-xo<8,y-yo[<8,(x,y) (xo,y))并用记号U(A;8)或U(A)来表示.下面利用邻域来描述点和点集之间的关系，任意一点AeR?与任意一个点集ECR?之间必有以下三种关系之一：（i）内点一一若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)CE，则称点A是点E的内点；E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作intE.(ii)外点一一若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)nE=Φ，则称A是点集E的外点.(iii)界点一一若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点．即对任何正数，恒有U(A;)NE*@且U(A;)NECP其中EC=RIE是E关于全平面的余集，E的全体界点构成E的边界，记作OE.E的内点必定属于E；E的外点必定不属于E；E的界点可能属于E，也可能不属于E点A与点集E的上述关系是按“点A在E内或在E外”来区分的．此外，还可按在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点一一若在点A的任何空心邻域U°（A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E(ii)孤立点一一若点AeE，但不是E的聚点，即存在某一正数，使得U（A)nE=Φ，则称点A是正的孤立点.显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚3

3 由于点 A 的任一圆邻域可以包含在点 A 的某一方邻域之内(反之亦然)， 因此通常用“点 A 的  邻域”或“点 A 的邻域”泛指这两种形状的邻域，并 以记号 U(A；  )或 U(A)来表示．点 A 的空心邻域是指        2 2 0 2 0 0 x, y |  x  x  y  y   或 x, y| x  x0  , y  y0  ,x, y  x0 , y0  并用记号 U A  U A 0 0 ; 或 来表示． 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系． 任意一点 2 A R 与任意一个点集 2 E  R 之间必有以下三种关系之一： （i）内点——若存在点 A 的某邻域 U(A)，使得 U(A)  E ，则称点 A 是 点 E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为 E 的内部，记作 intE． (ii)外点——若存在点 A 的某邻域 U(A)，使得 U(A)  E   ，则称 A 是 点集 E 的外点． (iii)界点——若在点 A 的任何邻域内既含有属于 E 的点，又含有不属 于 E 的点．则称 A 是集合 E 的界点．即对任何正数  ，恒有     C U A; E U A; E ,       且 其中 C 2 E R \ E  是 E 关于全平面的余集，E 的全体界点构成 E 的边界，记作 E ． E 的内点必定属于 E；E 的外点必定不属于 E；E 的界点可能属于 E，也 可能不属于 E． 点 A 与点集 E 的上述关系是按“点 A 在 E 内或在 E 外”来区分的．此 外，还可按在点 A 的近旁是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系： (i)聚点——若在点 A 的任何空心邻域 0 U (A)内都含有 E 中的点，则称 A 是 E 的聚点，聚点本身可能属于 E，也可能不属于 E． (ii)孤立点——若点 A  E ，但不是 E 的聚点，即存在某一正数  ，使 得 U A;  E   0 ，则称点 A 是正的孤立点． 显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚

点，又不是孤立点，则必为外点，例1设平面点集D= (x,3)[1≤x2 +y2 0)虽然是开集，但因I、IⅡI象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域.4

4 点，又不是孤立点，则必为外点． 例1 设平面点集  , |1 4 2 2 D  x y  x  y  (4) 满足 1 4 2 2  x  y  的一切点都是 D 的内点；满足 1 2 2 x  y  的一切点是 D 的 界点，它们都属于 D；满足 4 2 2 x  y  的一切点也是 D 的界点，但它们都不 属 于 D ；点集 D 连 同 它 外 圆 边 界 上 的 一 切 点 都 是 D 的 聚 点． 口 根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集． 开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即 intE=E)，则称 E 为 开集． 闭集——若平面点集 E 的所有聚点都属于 E，则称 E 为闭集．若点集 E 没有聚点，这时也称 E 为闭集． 在前面列举的平面点集中，(2)所表示的点集 C 是开集；(3)所表示的点 集 S 是闭集；(4)所表示的点集 D 既非开集，又非闭集；而且(1)所表示的点 集 2 R 既是开集又是闭集．此外，还约定空集φ既是开集又是闭集．可以证明， 在一切平面点集中，只有 R 2与 g 是既开又闭的点集． 开域——若非空开集 E 具有连通性，即 E 中任意两点之间都可用一条完 全含于正的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开 域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域． 区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为 区域． 在上述诸例中，(2)是开域，(3)是闭域，(1)既是开域又是闭域． 又如 E  x, y| xy  0 （5） 虽然是开集，但因Ⅰ、Ⅱ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是 区域．

有界点集一一对于平面点集E，若存在某一正数，使得E cU(O,r)其中0是坐标原点（也可以是其他固定点），由称E是有界点集，否则就是无界点集：上述(2)(3)(4)都是有界点集，(0)(5)是无界点集E为界点集的另一等价说法是：存在矩形区域D=[a,b]x[c,d]-E.点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集E的直径，就是d(E)= sup_p(pi,P2),Pl,P2eE其中p(pr,P2)表示P与P,两点之间的距离，当P,和P,的坐标分别为(x,yi)和(x2,y2)时，则，p(p1,P2)= /(x, -x2) +(y/ -y2)于是，当且仅当d(E)为有限值时E是有界点集根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对R2上任何三点P,，P,和P，皆有p(pr,P2)≤p(Pl,Ps)+p(P2,Ps)二、完备性定理反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础。现在把这些定理推广到R2，它们同样是二元函数极限理论的基础：为此，先给出平面点列的收敛性概念.定义 1设(P,)c R为平面点列，P。R为一固定点。若对任给的正数，存在正整数N，使得当n>N时，有P,eU(P;)，则称点列(P,)为收敛于点P。，记作lim P, =P。或 P, →P,n→00在坐标平面中，以(x,y,)与(x,y。)分别表示P,与P。时，limP,=P。显然5

5 有界点集——对于平面点集 E，若存在某一正数，使得 E UO;r, 其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点)，由称 E 是有界点集．否则就是无 界点集．上述 2、3、4 都是有界点集， 1、5 是无界点集． E 为界点集的另一等价说法是：存在矩形区域 D  a,bc,d  E. ． 点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集 E 的直径，就是   sup  , , 1 2 , 1 2 d E p p p p E    其中   1 2  p , p 表示 1 与 P2 两点之间的距离，当 1 和 2 的坐标分别为   1 1 x , y 和   2 2 x , y 时，则，  ,      . 2 1 2 2 1 2 1 2  p p  x  x  y  y 于是，当且仅当 dE 为有限值时 E 是有界点集． 根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对 R 2 上任何三点 1， P2 和 P3 ，皆有       p , p p , p p , p 1 2 1 3 2 3      二、完备性定理 反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础。 现在把这些定理推广到 R 2，它们同样是二元函数极限理论的基础．为此，先 给出平面点列的收敛性概念． 定义 1 设 Pn  R 2为平面点列， Po  R 2为一固定点。若对任给的正 数  ，存在正整数 N，使得当 n  N 时，有  ;  Pn  Po ，则称点列 Pn  为收 敛于点 Po ，记作 n o n P  P  lim 或 P  P ,n  . n o 在坐标平面中，以   n n x , y 与   o o x , y 分别表示 Pn 与 Po 时， n o n P  P  lim 显然

等价于limx,=x。，limy=y。同样地，当以p,=p(p,P。)表示点P,与P之距离时，limP,=P。也就等价于limP,=0.由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理，定理16.1（柯西准则）平面点列(P,)收敛的充要条件是：任给正数s，存在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有(6)p(pn,Pn+p)P。)及点列收敛定义，对所给ε，存在正整数N，当n>N（也有n+p>N)时，恒有p(P,P)<号,p(P+pP)<号应用三角形不等式，立刻得到(6)式。[充分性］当(6)式成立时，则同时有x+p-x,|≤p(P, Pa+p)<6,[p-y,≤p(P, P+p)<,这说明数列(，)和(y，)都满足柯西收敛准则（定理2.10)，所以它们都收敛.设limx=x。，limyn=y。.从而由点列收敛概念推得P,收敛于点P（xo，yo）（本节习题5).定理16.2（闭域套定理）讠设(D,)是R中的闭域列，它满足：

6 等价于 n o n x  x  lim ， n o n y  y  lim 同样地，当以   n pn po    , 表示点 Pn 与 Po 之 距离时， n o n P  P  lim 也就等价于 lim  0.  n n P 由于点列极限这两种等价形式都是 数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理． 定理 16.1 (柯西准则) 平面点列 Pn  收敛的充要条件是：任给正数  ， 存在正整数 N，使得当 n  N 时， 对一切正整数 p ，都有     pn pn p , 6 证：［必要性］设 n o n P  P  lim ，则由三角不等式       pn pn p pn po pn p po , , ,        及点列收敛定义，对所给  ，存在正整数 N，当 n  N (也有 n  p  N )时， 恒有     . 2 , , 2 ,     Pn Po  Pn p Po  应用三角形不等式，立刻得到(6)式。 ［充分性］当(6)式成立时，则同时有    ,   , n p n Pn Pn p x x    ,   , n p n Pn Pn p y y 这说明数列 xn  和 yn  都满足柯西收敛准则(定理 2.10)，所以它们都收 敛．设 n o n x  x  lim ， n o n y  y  lim .从而由点列收敛概念推得 Pn 收敛于点 P0 （ 0 x , 0 y ）(本节习题 5)． 定理 16.2(闭域套定理) 设 Dn  是 R 2中的闭域列，它满足：

(i) D, Dn,n= 1,2,.;(ii) d, =d(D,),limd, =0则存在惟一的点P。ED,，n=1,2,证《任取点列P,eD.，n=1,2,由于D+pD,,因此 Pa,Pa+pED,,图16-2从而有（图162)p(P,, Pn+p)<d, →0,n→0.由定理16.1知道存在P。eR"，使得limP,=P。任意取定n，对任何正整数p有P+peDa+pEDn再令p→0，由于D,是闭域，从而必定是闭集（本节习题4)。因此P。作为D,的聚点必定属于D，，即P, = lim Pap e D,n=1,..n-→o最后证明P。的惟一性。若还有P。D,n=1,2,，则由p(Po, P)≤p(Po, P)+ p(P,P)<2d,→0,n→α得到 p(Po,P)=0,即 P。=P°闭域套定理显然是R中闭区间套定理（定理7.1)的直接推广定理16.3（聚点定理）设ECR2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.证：现用闭域套定理来证明．由于E是平面有界集合，因此存在一个闭正方形D，包含它。连接正方形对中点，把D,分成四个小的正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个小闭正方形含有E中无限多个点，记这个小闭正方形为D，再对正方形D,如上法分成四个更小的闭正方图163形，其中又至少有一个小闭正方形含有E的无限多个

7 (ⅰ) , 1,2, ; Dn  Dn1 n   (ⅱ)   ,lim  0,  n n dn d Dn d 则存在惟一的点 Po  Dn ，n 1,2,  . 证 任取点列 Pn  Dn ，n 1,2,  .。 由于 , Dn p  Dn 因此 Pn Pn p  Dn , ， 从而有 ( 图 16-2) ，  ,   0,  .  Pn Pn p dn n 由定理 16.1 知道存在 Po  R 2，使得 lim . n o n P  P  任意取定 ，对任何正整数 有 . Pn p  Dn p  Dn 再令 p   ，由于 Dn 是闭域，从而必定是闭集(本节习题 4)。因此 Po 作为 Dn 的聚点必定属于 Dn ，即  lim  , 1,2, .   P Pn p Dn n n o 最后证明 Po 的惟一性。若还有 P0 '  Dn ,n 1,2,  ，则由 P ,P  P ,Pn  P ,Pn  2dn  0,n   ' 0 0 '  0 0   得到  ,  0, '  P0 P0  即 . ' P0  P0 闭域套定理显然是 R 中闭区间套定理(定理 7.1)的直接推广 ． 定理 16.3(聚点定理) 设 2 E  R 为有界无限点集，则 E 在 2 R 中至少有 一个聚点． 证：现用闭域套定理来证明．由于 E 是平面有界集合，因此存在一个闭 正方形 D1 包含它。连接正方形对中点，把 D1 分成四个 小的正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个 小闭正方形含有 E 中无限多个点,记这个小闭正方形 为 D2 ．再对正方形 D2 如上法分成四个更小的闭正方 形，其中又至少有一个小闭正方形含有 E 的无限多个 n p

点。如此下去得到一个闭正方形序列（图16一3）：D,D, D D, o...容易看到这个闭正方形序列（D的边长随着n趋向于无限而趋向于零．于是由闭域套定理，存在一点M。D,n=1,2现在证明M。就是E的聚点。任取M。的ε邻域U(Mo;s)，当n充分大之后，正方形的边长可小于s/2，即有D,U(M;s)。又由D,的取法知道U(M;6)中含有E的无限多个点，这就表明M。是E的聚点。推论有界无限点列(P,)cR2必存在收敛子列(Pn).证明可仿照R中的相应命题（定理7.2推论）定理16.4（有限覆盖定理）设DcR为一有界闭域，(Aα）为一开域族，它覆盖了D即DU,则在(。)中必存在有限个开域A,A2"A,，它们同样覆盖了[即DU)本定理的证明与R中有限覆盖定理（定理7.3）相仿，在此从略。在更一般的情况下，可将定理16.4中的D改设为有界闭集，而△。CR为一族开集，此时定理结论依然成立。三、二元函数函数（或映射）是两个集合之间的一种确定的对应关系，实数集到实数集的映射是一元函数，现在定义二元函数定义2设平面点集DR2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数=与之对应，则称f为定义在D上的二元函数（或称于为D到R的一个映射），记作J:D→R,PH2,8

8 点。如此下去得到一个闭正方形序列（图 16—3）： . D1  D2  D3  容易看到这个闭正方形序列 Dn  的边长随着 n 趋向于无限而趋向于零．于 是由闭域套定理，存在一点 , 1,2, . M0  Dn n   现在证明 M0 就是 E 的聚点。任取 M0 的  邻域  ;  U M0 ，当 n 充分大之后， 正方形的边长可小于  / 2 ，即有  ;  Dn U M0 。又由 Dn 的取法知道  ;  U M0 中含有 E 的无限多个点，这就表明 M0 是 E 的聚点． 推论 有界无限点列   2 Pn  R 必存在收敛子列 Pnk ． 证明可仿照 R 中的相应命题（定理 7.2 推论） 定理 16.4（有限覆盖定理） 设 2 D  R 为一有界闭域，   为一开域 族，它覆盖了 D            即D  ，则在  中必存在有限个开域 , , , , 1 2  n ， 它们同样覆盖了 D . 1             n i 即D i 本定理的证明与 R 中有限覆盖定理（定理 7.3）相仿，在此从略． 在更一般的情况下，可将定理 16.4 中的 D 改设为有界闭集，而 2   R 为一族开集，此时定理结论依然成立． 三、二元函数 函数（或映射）是两个集合之间的一种确定的对应关系，实数集到实数 集的映射是一元函数，现在定义二元函数． 定义 2 设平面点集 2 D  R ，若按照某对应法则 f ，D 中每一点 P(x, y) 都有惟一确定的实数 z 与之对应，则称 f 为定义在 D 上的二元函数（或称 f 为 D 到 R 的一个映射），记作 , : , P z f D R  

且称D为的定义域；PeD所对应的=为f在点P的函数值，记作z=f(x,y)或z=f(P)；全体函数的集合为f的值域，记作f(D)cR。通常还把P的坐标x与y称为f的自变量，而把z称为因变量在映射意义下，上述z=f(P)称为P的象,P称为z的原象，当把(x,y)eD和它所对应的象一起组成三维数组(x,y,2)时，三维欧式空间R中的点集S = (x, y,z)z= f(x, )(x, y)e D)cR3便是二元函数了的图象．通常≥=f(x,J)的图象是一空间曲面．了的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影为方便起见，由(7)所确定的二元函数也记作z=f(x,y),(x,y)eD或z=(P),Pe D,且当它的定义域D不会被误解的情况下，也简单地说“函数z=(x,J)”或“函数厂”例2函数z=2x+5y的图象是R3中一个平面，其定义域是R2，值域是R.例3函数z=/1-(x2+y2)的定义域是xoy平面上的单位圆域(x,y)x+y≤1],值域为区间[0,]，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部（图16-4).图16-4例4z=y是定义在整个xOy平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物（图16-5）例5=x+是定义在R"上的函数，值域是全体非负整数，它的9

9 且称 D 为 f 的定义域； P D 所对应的 z 为 f 在点 P 的函数值，记作 z  f (x, y) 或 z  f (P) ；全体函数的集合为 f 的值域，记作 f D  R 。通常 还把 P 的坐标 x 与 y 称为 f 的自变量，而把 z 称为因变量． 在映射意义下，上述 z  f (P) 称为P的象，P称为z的原象，当把 x, y D 和它所对应的象一起组成三维数组 (x, y,z) 时，三维欧式空间 3 R 中的点集        3 S  x, y,z z  f x, y , x, y  D  R 便是二元函数 f 的图象．通常 z  f x, y 的图象是一空间曲面． f 的定义域 D 便是该曲面在 xOy 平面上的投影． 为方便起见，由 7 所确定的二元函数也记作 z  f x, y, x, y D 或 z  f P, P  D, 且当它的定义域 D 不会被误解的情况下，也简单地说“函数 z  f x, y ”或 “函数 f ”． 例２ 函数 z  2x  5y 的图象是 3 R 中一个平面，其定义域是 2 R ，值域是 R ． 例３ 函数   2 2 z  1 x  y 的定义域 是 xOy 平 面 上 的 单 位 圆 域  ,  1 2 2 x y x  y  ，值域为区间 0,1 ，它的图 象是以原点为中心的单位球面的上半部（图 16  4 ）． 例 4 z  xy 是定义在整个 xOy 平面上的函数，它的图象是过原点的双 曲抛物（图 16  5 ）． 例 5   2 2 z  x  y 是定义在 2 R 上的函数，值域是全体非负整数，它的

图象如图16-6所示。图16-6图16-5若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。如例3中的函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数，如2、4、5中的函数.四n元函数所有n个有序实数组(x,x2,,x,）的全体称为n维向量空间，简称n维空间，记作R"。其中每个有序实数组(xi,x2,",x,)称为R"中的一个点；n个实数x,x2",x是这个点的坐标.设E为R"中的点集，若有某个对应法则f，使E中每一点P(x,x2,",x都有惟一的一个实数y与之对应，则称f为定义在E上的n元函数（或称ECR"到R的一个映射），记作f:E-→R(a,x2,",x.)Hy)也常把n元函数简写成y= f(x,X2,*,x,)(x,X2,*,x,)eE或y=f(P),PeE对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题；同时还可把二元函数的某些论断推广到n(>3)元函数10

10 图象如图 16-6 所示． 若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。如例 3 中的函 数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数，如２、４、５中的函数． 四 n 元函数 所有 n 个有序实数组   n x , x , , x 1 2  的全体称为 n 维向量空间，简称 n 维空 间，记作 n R 。其中每个有序实数组   n x , x , , x 1 2  称为 n R 中的一个点； n 个实 数 n x , x , , x 1 2  是这个点的坐标． 设 E 为 n R 中的点集，若有某个对应法则 f ，使 E 中每一点   n P x , x , , x 1 2  ， 都有惟一的一个实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数（或称 f 为 n E  R 到 R 的一个映射），记作 f : E  R,  , , ,  . 1 2 x x x y  n  也常把 n 元函数简写成 y  f x1 , x2 ,  , xn ,x1 , x2 ,  , xn  E 或 y  f P,P E. 对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在 形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多 问题；同时还可把二元函数的某些论断推广到 n 3 元函数．