沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第四章 矩阵 4.2 矩阵的逆

第四章矩阵F=r+r=nfrn)Mg4.2矩阵的逆-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

4.2 矩阵的逆 第四章 矩阵 主讲人：黄影

4.2矩阵的逆一、可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB=BA-E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵注①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作A-1②i可逆矩阵A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵，且(A") = A.③单位矩阵E可逆，且（E)=E

一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ( ) 1 1 A A. − − = ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 1 A . − ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ( ) 1 E E . − = ② 可逆矩阵A的逆矩阵 A −1 也是可逆矩阵，且 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆二、先矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义 设A,是矩阵A=(a;）nn中元素 ij的代数余子式，矩阵Au A21A22Al21nA"=...Ain Azn..21称为A的伴随矩阵性质AA =AA=AE

二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 称为A的伴随矩阵. 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A     =       性质 * * AA A A A E = = 余子式，矩阵 设 Aij 是矩阵 A a = ( )ij n n 中元素 aij 的代数 4.2 矩阵的逆

矩阵的逆4.2由行列式按一行（列）展开公式证明d,k=id =[Al.AkAit + ak2Ai2 +..+ akAin =:(0,ki(d,l=jA..+...+011(0,3[]A.... A..Auan a12... ain..An2... a2nA122A22a21a22AA"............(Ain Azn .. Amn)(anl(nn)2an2a0...00d 0= dE. 同理, A"A= dE.=0d0

证明 由行列式按一行（列）展开公式 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A       =          d A = . 1 1 2 2  , 0, k i k i kn in d k i a A a A a A k i = + + + =  1 1 2 2  , 0, l j l j nl nj d l j a A a A a A l j = + + + =  0 0 0 0 . 0 0 d d dE d     = =       同理, * A A dE = . 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆定理矩阵A可逆当且仅当A±0（即A非退化的），且A-1A

* 1 . A A A − 定理 矩阵A可逆当且仅当 A  0, （即A 非退化的），且 = 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆推论：设A、B为n级方阵，若AB=E.则A、B皆为可逆矩阵，且 A-I =B，B-1 = A.证明：AB=E: AB=AB=E=1从而 [A| ± 0, [B| ± 0.由定理知，A、B皆为可逆矩阵再由A-(AB)= A-'E, (AB)B-I = EB-I即有,A-" = B、B-" = A

则A、B皆为可逆矩阵，且 1 1 A B B A , . − − = = 证明 AB E =  = = = AB A B E 1 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 从而 A B   0, 0. 1 1 A AB A E ( ) , − − 再由 = 即有， 1 1 A B B A , . − − = = 1 1 ( ) , AB B EB − − = 推论：设A、B为 n 级方阵，若 AB E = , 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆例判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆(1 2 3)[2 2 11) A=(343)aaz2) A=an

例 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆. 1 2 3 1) 2 2 1 3 4 3 A   =       1 2) 2 n a a A a     =       4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆1 2 321解：1）：2=2，：A可逆3 4 3Al1 = 2, A21 =6, A31 = -4,A12 =-3, A22 = -6, A32 = 5,A13 = 2, A23 = 2, A33 = -2.-有 A-1"2 ]

解：1） 1 2 3 2 2 1 2, 3 4 3 = ∴ A可逆. 12 22 32 A A A = − = − = 3, 6, 5, 11 21 31 A A A = = = − 2, 6, 4, 13 23 33 A A A = = = − 2, 2, 2. * 1 2 6 4 1 3 6 5 . 2 222 A A A −   − = = − −       有 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆2) [A|=aa,an,： 当4,0 (i=1,2,…,n) 时，A可逆,且由于a1a=E-17

1 2 2) , A a a a = n ∴ 当 a i n i  = 0 ( 1,2, , ) 时，A可逆. 1 1 1 1 2 2 1 n n a a a a a a − − −                 且由于 1 1 1 1 2 1 . n a a A a − − − −      =       1 1 1 E     = =       4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆三、逆矩阵的运算规律(1) 若A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1 = A(2)若A可逆,数入 ≠ 0,则入A可逆,且a--ia(3）若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-1 = B-1 A-1推广(A1A2 . Am)-1 = Aml ... A21Ai

三、逆矩阵的运算规律 2 若𝐴可逆, 数𝜆 ≠ 0,则𝜆𝐴可逆, 且 3 若𝑨, 𝑩为同阶方阵且均可逆, 则𝑨𝑩亦可逆, 且 𝝀𝑨 −𝟏 = 𝟏 𝝀 𝑨 −𝟏 . 1 若𝐴可逆, 则𝐴 −1亦可逆, 且 𝐴 −1 −1 = 𝐴. 4.2 矩阵的逆 𝑨𝑩 −𝟏 = 𝑩 −𝟏 𝑨 −𝟏 𝑨𝟏𝑨𝟐 ⋯ 𝑨𝒎 −𝟏 = 𝑨𝒎 −𝟏 ⋯ 𝑨𝟐 −𝟏𝑨𝟏 推广 −𝟏