沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第二章 行列式 2.1 行列式的定义

第二章行列式F=r+r=nfrn)Mg2.1行列式的定义-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

2.1 行列式的定义 第二章 行列式 主讲人：黄影

2.1行列式的定义一、行列式的引入1.用消元法解二元线性方程组arx +a2xz = br, (1)[a21x + a222 =b2. (2)(1)×a22 : al22) +a1222x2 =b,422(2)×l12 : a12421) +(122x2 = b2(12,(aa22 -a12a21) Xi = b,a22 -a1zb;

1．用消元法解二元线性方程组    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 (1) (2) ; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 2.1 行列式的定义 一、行列式的引入

2.1行列式的定义(ala22 -a12a21) X2 =ab2 -ba21当a^22－al221 0 时，原方程组有唯一解b,a22 -ai2bzb,ai -a2ibX=X2 =aiia22 -A12a21a1ia22 -a12a21由方程组的四个系数确定

1 22 12 2 2 11 21 1 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 , . b a a b b a a b x x a a a a a a a a − − = = − − , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21  0时， 原方程组有唯一解 由方程组的四个系数确定 2.1 行列式的定义

2.1行列式的定义若记aua12=D,aa22 -i2a21[a21a22bral123=Drb,a22 - (ai2bz =1Pb2a22[ bi= D2'anb2--b,a21[21 b, 则当D≠0时该方程组的解为D.D2，x,=X_=D

若记 1 12 1 22 12 2 2 22 1 , a b a a b D a b b − = = 11 11 2 1 21 2 21 1 2 , a a b b a D b a b − = = 11 12 11 22 12 21 21 22 , a a a a a a D a a − = = 则当 D  0 时该方程组的解为 1 2 1 2 , . D D x x D D = = 2.1 行列式的定义

2.1行列式的定义2.在三元一次线性方程组求解时有类似结果即有方程组ax, + a2x2 + a13g = b,a21X, + a22X2 +a23X, = b,[31) +a32X2 +a33-3 =b3[a1 4l12 l13当D=±0 时，有唯一解a21 a22 23[a31 A32 33D,D2D3X=XTX2=DDD

2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果 即有方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + =  + + =  当 时，有唯一解 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a =  1 2 3 1 2 3 , , D D D x x x D D D = = = 2.1 行列式的定义

2.1行列式的定义其中[b, l2 13D, =b2 (a22(23]2[b, 132a332anb.a3b2D, =aa23a21bs a31a33lb,ana12b2l.D, =a22a21bsl[a31al32收

其中 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 , b a a D b a a b a a = 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 , a b a D a b a a b a = 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 . a a b D a a b a a b = 2.1 行列式的定义

2.1行列式的定义3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组一一如n元一次线性方程组ax, +ai2x, +... +ainx, = br,a21 +a2x2 +..+ a2nx, =b2,(*)[anX, +anX, +...+amXn =bn.它的解是否也有类似的结论呢？

3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的 个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , ( ) . n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =    + + + =  它的解是否也有类似的结论呢？ 2.1 行列式的定义

2.1行列式的定义二、排列由1，2，…，n组成的一个有序数组定义称为一个 n 级排列注所有不同n级排列的总数是n!=1.2....(n -1)n = Pn如，所有的3级排列是123, 132, 213, 231, 312,321.共6=3！个

二、排列 定义 称为一个 n 级排列． 由1，2， . ，n 组成的一个有序数组 123，132，213，231，312，321． 如，所有的3级排列是 ——共6=3！个. ! 1 2 ( 1) n n n P =   − = n 注 所有不同 n 级排列的总数是 2.1 行列式的定义

2.1行列式的定义定义在一个排列中，如果一对数前面的数大于后面的数则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数例排列31542中，逆序有31，32,54,52,42::T(31542)=5

定义 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 在一个排列中，如果一对数前面的数大于后面的数 则称这对数为一个逆序； 2.1 行列式的定义 例 排列 31542 中，逆序有 31，32，54，52，42  =  (31542) 5

2.1行列式的定义定义逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列，定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换定理对换改变排列的奇偶性即经过一次对换建奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列

逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 定义 2.1 行列式的定义 定义 把一个排列中某两个数的位置互换，而 其余的数不动，得到另一个排列，这一变换 称为一个对换． 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 定理