沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第四章 矩阵 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用

第四章矩阵F=r+rF=nfrn)Mg4.5分块矩阵的初等变换及其应用-nx(nxr)手r-n(n)FF主讲人：黄影

4.5 分块矩阵的初等变换及其应用 第四章 矩阵 主讲人：黄影

4.5分块矩阵的初等变换及其应用一、、分块矩阵的初等变换(Em0)E分块成作1次“初等变换”可得0En)05):(0En)En(Em0)0)(Em(P0)p);(0(0En)0)(EmP)(Em(PEn)En)(0

E分块成 ，作1次“初等变换”可得 𝑬𝒎 𝑶 𝑶 𝑬𝒏 𝑶 𝑬𝒏 𝑬𝒎 𝑶 , 𝑬𝒎 𝑷 𝑶 𝑬𝒏 , 𝑷 𝑶 𝑶 𝑬𝒏 , 𝑬𝒎 𝑶 𝑷 𝑬𝒏 . 𝑬𝒎 𝑶 𝑶 𝑷 ; 𝑶 𝑬𝒎 𝑬𝒏 𝑶 ; 一、分块矩阵的初等变换 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用

4.5分块矩阵的初等变换及其应用(0且有En) (ABD7C(Emo八cD(ABJ(P0)PB(ABPA(oDIEn)DJ,(CC(Em0)BA(AB)(PEn)D)C(C+ PA D + PB)特别地，若A可逆，令 P= -CA-1.上式变为：Em0B(ABA(-CA-1D0D-CA-1BEnC

且有 𝑬𝒎 𝑶 𝑷 𝑬𝒏 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 = 𝑨 𝑩 𝑪 + 𝑷𝑨 𝑫 + 𝑷𝑩 . 𝑶 𝑬𝒏 𝑬𝒎 𝑶 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 = 𝑪 𝑫 𝑨 𝑩 , 𝑷 𝑶 𝑶 𝑬𝒏 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 = 𝑷𝑨 𝑷𝑩 𝑪 𝑫 , 若A可逆，令 𝑷 = −𝑪𝑨 −𝟏．上式变为： 𝑬𝒎 𝑶 −𝑪𝑨 −𝟏 𝑬𝒏 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 = 𝑨 𝑩 𝑶 𝑫 − 𝑪𝑨 −𝟏𝑩 特别地, 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用

4.5分块矩阵的初等变换及其应用(AB定义形如的分块矩阵称为四分块矩阵(CDA0BA形如和定义四分块三角矩阵D(o(C D)ABAR=A|D|，其中A,D为方阵注0DCD

4.5 分块矩阵的初等变换及其应用 定义 形如 的分块矩阵称为四分块矩阵.       A B C D 定义 形如 和 四分块三角矩阵.       A B O D       A O C D = = A B A O A D O D C D 注 ，其中A,D为方阵

4.5分块矩阵的初等变换及其应用四分块矩阵的性质1、四分块初等矩阵都是可逆阵，CE）（OEmPOE）OEEmO)EO2、对一个四分块矩阵左乘一个四分块初等矩阵就相当于对它做相应的初等行变换，对其右乘一个四分块初等矩阵相当于对它做相应的初等列变换。A+GCB+GDREPBDEO人1

4.5 分块矩阵的初等变换及其应用 四分块矩阵的性质 1 n m m n −         =     O E O E E O E O 1 1 n n − −       =       P O P O O E O E 1、四分块初等矩阵都是可逆阵. 2、对一个四分块矩阵左乘一个四分块初等矩阵就相当于对它 做相应的初等行变换，对其右乘一个四分块初等矩阵相当于 对它做相应的初等列变换。 n m           =      O E A B C D E O C D A B n           =      P O A B PA PB O E C D C D m n           =      E G A B A+ GC B + GD O E C D C D

4.5分块矩阵的初等变换及其应用四分块矩阵的性质3、四分块矩阵的秩0:r(A)+r(B)r(A)+r(B0BZ r(A)+r(Dr(A)+r(D

4.5 分块矩阵的初等变换及其应用 四分块矩阵的性质 3、四分块矩阵的秩 r r r ( ) ( )     = +   A O A B O B r r r ( ) ( )     = +   O A A B B O r r r ( ) ( )      +   A B A D O D r r r ( ) ( )      +   A O A D C D

4.5分块矩阵的初等变换及其应用二、应用举例0)例 T =(A D), A,D可逆, 求 T-1.C解: Em0(A010A由D(-CA-1D(CEn)9(A-10(A及二D0D-1,0

例 A,D可逆，求 ． 1 T − 解： 及 由 𝑻 = 𝑨 𝑶 𝑪 𝑫 , 𝑬𝒎 𝑶 −𝑪𝑨 −𝟏 𝑬𝒏 𝑨 𝑶 𝑪 𝑫 = 𝑨 𝑶 𝑶 𝑫 𝑨 𝑶 𝑶 𝑫 −𝟏 = 𝑨 −𝟏 𝑶 𝑶 𝑫−𝟏 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用 二、应用举例

4.5分块矩阵的初等变换及其应用有0Em0A-CA-1En).0D0Em0)(=(D-1) ((-CA-1En)A-10(-D-1CA-1D-1)

𝑻 −𝟏 = 𝑬𝒎 𝑶 −𝑪𝑨 −𝟏 𝑬𝒏 −𝟏 𝑨 𝑶 𝑶 𝑫 有 −𝟏 = 𝑨 −𝟏 𝑶 −𝑫−𝟏𝑪𝑨 −𝟏 𝑫−𝟏 = 𝑨 −𝟏 𝑶 𝑶 𝑫−𝟏 𝑬𝒎 𝑶 −𝑪𝑨 −𝟏 𝑬𝒏 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用

4.5分块矩阵的初等变换及其应用(1111)1-1 1 -1,求 A!例 A=1 1 -1 -1(1 -1 -1 1)-( 4) 4-(14)解：把A分块成A=(A则 4'=-(17)-14.又 ()() )-(4 2)( )-(° -2)

例 ，求 ． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A     − − =   − −     − − 1 A − 把A分块成 1 1 1 1 , A A A A A   =     − 1 ( ) 1 1 , 1 1 A = − ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 A − − − = − − 则 解： 1 1 . 2 = A 又 ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 E E E A A E A A E E       − 1 1 2 0 , 0 A A   =   −   ( ) 1 1 1 2 0 A E 0 A A E E   =     − 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用

4.5分块矩阵的初等变换及其应用.4-(6 E)(°4 -)(E 2)-[(6()(2) E)-()6)6)30T(/(62)2

( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E E E A A E A E E − − − −     =       −   ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 2 0 0 E E E A E E E A − −   =       − ( ) ( ) 1 1 1 0 0 4 1 0 0 2 A E E E E E E A     =     −   ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E E E A A E A E E − −    =     − 4.5 分块矩阵的初等变换及其应用