沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第一章 多项式 1.1 数域

第一章多项式F=r+r=nfrn)Mg1.1数域-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

1.1 数域 第一章 多项式 主讲人：黄影

数自然数0，1,2,3，分有理数1.666666，2.181818，…KAAMK0XOOA1/9=0.11111111结绳记事推欠负数：-1,-2，-3，.…无理数：3.1415926，，E毕达哥拉斯（约公元前六世纪）刘徽（公元250前后）

自然数：0，1 , 2 , 3，⋯ 结绳记事 数 有理数： 1.666666，2.181818， ⋯ 1/9=0.11111111 分 无理数：3.1415926， ⋯ 毕达哥拉斯（约公元前六世纪） 推 负数：-1，-2，-3， ⋯ 刘徽（公元250前后） 欠

1.1数域一、数域定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域

一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 定义 1.1 数域

1.1数域说明：1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称数集P为一个数域

说明： 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称数集P为一个数域． 1.1 数域

1.1数域例1. 证明: 数集 Q(V2)=(a+b/2|a,b e)是一个数域，证明:：0=0+0/2,1=1+0V2,:: 0,1eQ(V2)又对 Vx,eQ(V2), 设 x=a+b/2, y=c+d/2a,b,c,d eQ, 则有x± y=(a±c)+(b±d)/2 eQ(V/2),x · y = (ac + 2bd)+ (ad + bc)/2 = Q(/2)设 a+b/20,于是 a-b~2 也不为0

是一个数域． 例1．证明：数集 Q a b a b Q ( 2) 2 | , = +    证明： 0 0 0 2, 1 1 0 2, = + = + 又对   x y Q , ( 2), 设 x a b y c d = + = + 2, 2, 则有 x y ac bd ad bc Q  = + + +  ( 2 ) ( ) 2 ( 2)   0,1 ( 2) Q a b c d Q , , , ,  x y a c b d Q  =  +   ( ) ( ) 2 ( 2), 设 a b +  2 0, 于是 a b − 2 也不为0． 1.1 数域

1.1数域（否则，若a-bV2=0,则a=bv2,于是有 = VZ Q,b或 a=0,b=0 →a+b/2=0. 矛盾)c+d/2_ (c+d/2)(a-b/2)a+b/22 (a+b/2)(a-b/2)ac - 2bdad- bc/2EQ(V2)α2 -2b2α2 -2b22T： Q(V2)为数域类似可证 Q(i)={a+bila,bQ,i= /-1)是是数域

或 a b = = 0, 0 矛盾） （否则，若 a b − = 2 0, 则 a b = 2, 于是有  + = a b 2 0. 2 ( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) c d c d a b a b a b a b + + − = + + −  Q( 2) 为数域． 类似可证 Q i a bi a b Q i ( ) , , 1 = +  = −   是数域. 1.1 数域 𝒂 𝒃 = 𝟐 ∉ 𝑸, = 𝒂𝒄 − 𝟐𝒃𝒅 𝒂𝟐 − 𝟐𝒃𝟐 + 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 𝒂𝟐 − 𝟐𝒃𝟐 𝟐 ∈ 𝑸（ 𝟐）

1.1数域自然数集N及整数集Z都不是数域常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q定义设P为非空数集，若Va,beP,atbeP,a.beP则称P为一个数环例：整数集Z作成一个数环

常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q. 自然数集N及整数集Z都不是数域． 1.1 数域 设P为非空数集，若       a b P a b P a b P , , , 则称P为一个数环． 定义 例：整数集Z 作成一个数环．

1.1数域数域的性质定理二任意数域P都包括有理数域Q即，有理数域为最小数域证明：设P为任意一个数域由定义可知，OeP, 1EP.于是有Vmez+, m=1+1+...+1eP

二、数域的性质定理 任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 于是有 0 1 .   P P ， m Z m P , 1 1 1 +   = + + +  1.1 数域

1.1数域进而有Vm,n e z+, " e P,n-m=0-= e P.nn而任意一个有理数可表成两个整数的商，.. Q≤ P

进而有 , , , m m n Z P n +    而任意一个有理数可表成两个整数的商，   Q P. 0 . m m P n n − = −  1.1 数域

1.1数域小结1、数域的定义与判定2、常见的数域

小 结 1、数域的定义与判定 2、常见的数域 1.1 数域