沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第二章 行列式 2.2 n级行列式的性质

第二章行列式F=r+r=nfrn)Mg2.2行列式的性质-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

2.2 行列式的性质 第二章 行列式 主讲人：黄影

2.2行列式的性质行列互换，行列式不变，即D'=D,性质1aalai2 .. alina21an)..a21a12a22a2n.. an2a22.......··a,an2a.an2n... annnlnn

行列互换，行列式不变，即 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 性质1 D D  = , 2.2 行列式的性质

2.2行列式的性质定义ana12aan·a21anna22设D=...[ananman2anana21 ..a12 a22 .. n2称为D的转置行列式行列式.·....[ain a2n *.. ann记作D'或DT

定义 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n nn a a a a a a D a a a 设 = 称为D的转置行列式， 记作 或 . T D D  2.2 行列式的性质

2.2行列式的性质证明： 记 D'=det(b,),其中 b, =aj，i,j=1,2,,n按行列式的定义D' - Z (-1)(i) b,b-bm.2i1ii2in- 2 (-1)(-) a,2-i,ii.i.按行列式的等价定义D可表成D= Z (-1)( g,a,ii..n..D'= D

记 det( ), D bij  = 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n i i i i i ni i i i D b b b   = −  按行列式的等价定义Ｄ可表成 证明： , , 1,2, , ij ji 其中 b a i j n = = 按行列式的定义 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n i i i i i i n i i i a a a  = −  1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n i i i i i i n i i i D a a a  = −   = D D  . 2.2 行列式的性质

2.2行列式的性质n级行列式ai aiz ..aina21 A22*.. a2n..........an an "..ann等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(1)aiiazi"anj.的代数和，这里jij,…·jn为1,2,,n的排列每一项（1）都按下列规则带有符号：当jijj，为奇排列时（1）带负号；当jjizjn为偶排列时（1）带正号；

n 级行列式 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 (1) 每一项（1）都按下列规则带有符号： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 1 2 1 2 n j j nj a a a 当 j j j 1 2 n 为奇排列时（1）带负号； 当 j j j 1 2 n 为偶排列时（1）带正号； 的代数和，这里 1 2 n 为 的排列. j j j 1,2, ,n 2.2 行列式的性质

2.2行列式的性质即anaiz...aina21 a22.. a2nE (-1)) ai2m.=jjjnan an2**. ann这里 表示对所有1、2、.… 、n的n级排列求和jj..j

即 1 1 2 1 2 11 12 1 ( ) 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a  = −  这里 表示对所有1、2、. 、 n的n级排列求和． 1 2 n j j j  2.2 行列式的性质

2.2行列式的性质三级行列式ana12a13a21a22a23=a1122433+a12423431+a13a21a32-a13a22431-a1221a33a11a234321[a31 32 33]= a21 ( a13a32 -a1233) +a22(a11a33 -a13a31) + a23(a12a31 -11a32)=a21A21+22A22+a23A23

11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 13 22 31 12 21 33 11 23 32 − − − a a a a a a a a a 三级行列式 2.2 行列式的性质 = 𝒂𝟐𝟏（𝒂𝟏𝟑𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟑𝟑) + 𝒂𝟐𝟐(𝒂𝟏𝟏𝒂𝟑𝟑 − 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟑𝟏) + 𝒂𝟐𝟑(𝒂𝟏𝟐𝒂𝟑𝟏 − 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟑𝟐) = 𝒂𝟐𝟏𝑨𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝑨𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝑨𝟐𝟑

2.2行列式的性质air aiz ... aina21 A2 *.. a2n= E (-1)()ai2i m.ji...jnan an *". Am这里 表示对所有1、2、…、n的n级排列求和.jij...j.aiiAi1 + ai2Ai2 +..+ ainAin . i = 1,2, .,n= aijA1j + a2jA2j + ... + anjAnj - j = 1, 2, ,n

1 1 2 1 2 11 12 1 ( ) 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a  = −  这里 表示对所有1、2、. 、 n的n级排列求和． 1 2 n j j j  2.2 行列式的性质 = 𝒂𝒊𝟏𝑨𝒊𝟏 + 𝒂𝒊𝟐𝑨𝒊𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒊𝒏𝑨𝒊𝒏 . 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯,n = 𝒂𝟏𝒋𝑨𝟏𝒋 + 𝒂𝟐𝒋𝑨𝟐𝒋 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒋𝑨𝒏𝒋 . 𝒋 = 𝟏, 𝟐, ⋯ ,n

2.2行列式的性质性质2行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即ay aj2aja12aynayn：.::：：:AainJai2.. Aain=ai ai2... ain：?1！ani an2ann2anian22..am或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式，推论行列式中某一行（列）为零，则行列式为零

行列式某行（列）元素的公因子可提到 行列式符号之外．即 11 12 11 12 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a    =  推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零． 性质2 或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于 用这个数乘此行列式． 2.2 行列式的性质

2.2行列式的性质证明.a12aina11：：：AainAaizAain= XaiiAi1 + Xai2Ai2+..+ XainAin主三：aniannan2= X(aiAi1 + ai2Ai2+.- + ainAin)a12..aina11::：：".ai2ainaii=入::::anian2ann

2.2 行列式的性质 证明 𝒂𝟏𝟏 ⋮ 𝒂𝟏𝟐 ⋮ ⋯ ⋮ 𝒂𝟏𝒏 ⋮ 𝝀𝒂𝒊𝟏 𝝀𝒂𝒊𝟐 ⋯ 𝝀𝒂𝒊𝒏 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 = 𝝀𝒂𝒊𝟏𝑨𝒊𝟏 + 𝝀𝒂𝒊𝟐𝑨𝒊𝟐+⋯ + 𝝀𝒂𝒊𝒏𝑨𝒊𝒏 = 𝝀(𝒂𝒊𝟏𝑨𝒊𝟏 + 𝒂𝒊𝟐𝑨𝒊𝟐+⋯ + 𝒂𝒊𝒏𝑨𝒊𝒏) = 𝝀 𝒂𝟏𝟏 ⋮ 𝒂𝟏𝟐 ⋮ ⋯ ⋮ 𝒂𝟏𝒏 ⋮ 𝒂𝒊𝟏 𝒂𝒊𝟐 ⋯ 𝒂𝒊𝒏 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝒏