沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第四章 矩阵 4.4 矩阵的分块

第四章矩阵F=r+r=nfrn)Mg4.4矩阵的分块-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

4.4 矩阵的分块 第四章 矩阵 主讲人：黄影

4.4矩阵的分块分块矩阵的概念定义设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵

定义 设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上 一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种 方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵． 4.4 矩阵的分块 分块矩阵的概念

4.4矩阵的分块设矩阵A=(aj)n)特殊分法(A)A其中 A, =(ai,ai2,.,ain), i=1,2,.",s.按行分块 A=(Aaj按列分块 A=(A,A,,A,)，其中 A,=j=1,2,...,n..（am）

特殊分法 按行分块 1 2 , s A A A A     =         其中 1 2 ( , , , ), A a a a i i i in = 按列分块 A A A A = ( 1 2 , , , n ) ，其中 1 2 , j j j nj a a A a       =         设矩阵 ( ) , A a = ij s n j n = 1,2, , . i s = 1,2, , . 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块分块矩阵的运算设A,B是两个m×n矩阵，对它们1、加法用同样的分法分块BirBi1Al1Ai....A=B=.B,11其中子块 A,与B,为同型矩阵，则Al1 + B.1Al, + Bi,A+B=+B1 +Bs1

          =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 11 1 1 11 1 , 1、加法 设 A, B 是两个 m n  矩阵，对它们 分块矩阵的运算 . 1 1 11 11 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B     用同样的分法分块: 其中子块 Aij 与 Bij 为同型矩阵，则 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块2、数量乘法A1eP,则设分块矩阵A=.(A1Asr.A1Ar.::A=(A,1...Asr)G

2、数量乘法 . 1 11 1           = s sr r A A A A A          设分块矩阵 11 1 1 , , r s sr A A A P A A      =        则 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块把矩阵 A = (aik)mxn,B = (bkj)nxp分块成3、乘法BirA11.(B11AitA=::：:,B=(As1... Ast)(Bt.. Btr)其中Ai1,Ai2…，Ait的列数分别等于B1j,B2j,Bt,的行数,那么C11..Cir.：:AB =(Cs1….Csr )其中cCu - ZAu Bu ( = ,, ; = ,,).k=1

𝑨 = 𝑨𝟏𝟏 ⋯ 𝑨𝟏𝒕 ⋮ ⋮ 𝑨𝒔𝟏 ⋯ 𝑨𝒔𝒕 , 𝑩 = 𝑩𝟏𝟏 ⋯ 𝑩𝟏𝒓 ⋮ ⋮ 𝑩𝒕𝟏 ⋯ 𝑩𝒕𝒓 , 其中𝑨𝒊𝟏, 𝑨𝒊𝟐, ⋯ , 𝑨𝒊𝒕的列数分别等于𝑩𝟏𝒋, 𝑩𝟐𝒋, ⋯ , 𝑩𝒕𝒋的行数, 那么 𝑨𝑩 = 𝑪𝟏𝟏 ⋯ 𝑪𝟏𝒓 ⋮ ⋮ 𝑪𝒔𝟏 ⋯ 𝑪𝒔𝒓 其中𝑪𝒊𝒋 = ෍ 𝒌=𝟏 𝒕 𝑨𝒊𝒌 𝑩𝒌𝒋 𝒊 = 𝟏, ⋯ , 𝒔;𝒋 = 𝟏, ⋯ , 𝒓 . 3、乘法 把矩阵 𝑨 = (𝒂𝒊𝒌)𝒎×𝒏, 𝑩 = (𝒃𝒌𝒋)𝒏×𝒑 分块成 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块4、转置(Al A12... A.A21AntA2则设分块矩阵A=.......(As1A,2A.)(s1(Ai At ... A)SAs- AsAi24：：：：2.. A(Ait AztAst

11 21 1 12 22 2 1 2 . s s t t st A A A A A A A A A A              =          设分块矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 , t t s s st A A A A A A A A A A       =       则 4、转置 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块例设0001010100010I2-1A:B=0-121(1041(101)0)2(-1-1求 AB

例 设 , 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0               − A = , 1 1 2 0 1 0 4 1 1 2 0 1 1 0 1 0               − − − B = 求 𝑨𝑩. 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块解把A,B分块成00010E100-Bu EB :B21B22 -0

解               = 0 1 1 0 0 1 1 0 A 0 0 0 0 1 1 − 1 2 ,      = E E O A1               − − − = 1 1 2 0 1 0 4 1 1 2 0 1 1 0 1 0 B ( ) = B11 E B21 B22 把𝑨, 𝑩分块成 4.4 矩阵的分块

4.4矩阵的分块EEoBr则 AB3=EB21B22)AEBμ11 A +B2(A,Bi + B210-1210又 A,But + B21 =(1(-1 -1)1八(-12)(-2 4)4).(10)(-31?=°(-1 1)2)(-1 -1)(-12)(41)(3 3)A + B2 =(11)1)(20)(3

则             = 21 22 11 1 B B B E A E E O AB . 1 11 21 1 22 11       + + = A B B A B B E 又 A1B11 + B21       − −  +      −       − = 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 1 2       − −  +      − = 1 1 1 0 0 2 3 4 , 1 1 2 4       − − =        +      − + = 2 0 4 1 1 1 1 2 A1 B22 , 3 1 3 3       = 4.4 矩阵的分块