沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第一章 多项式 1.5 复、实系数多项式的因式分解

第一章多项式F=r+rF=nfrn)Mg1.5复、实系数多项式的因式分解-nx(nx)手r-n(n)主讲人：黄影

1.5 复、实系数多项式的因式分解 第一章 多项式 主讲人：黄影

1.5复、实系数多项式的因式分解一、重因式标准分解式: 对 Vf(x)e P[x],a(f(x)≥1,f(x）总可表成f(x) =cpr(x)pz(x)..- p,(x)其中c为f(x)的首项系数，p.(x)为互不相同的首项系数为1的不可约多项式，r;EZ+.称之为f(x)的标准分解式

f x( ) 总可表成 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x cp x p x p x = 对     f x P x f x ( ) [ ], ( ) 1, ( ) 其中 c 为 f x( ) 的首项系数， p x i ( ) 为互不相同的， 首项系数为1的不可约多项式， . i r Z+  的标准分解式. 称之为 f x( ) 标准分解式： 一、重因式 1.5 复、实系数多项式的因式分解

1.5复、实系数多项式的因式分解定义设p(x)为数域P的不可约多项式，f(x)EP[网若p*(x)If(x),但pk+I(x)+f(x),则称p(x)为f(x)的k重因式若 k >1,则称 p(x) 为f(x) 的重因式若 k =1, 则称 p(x)为 f(x)的单因式(若k=0,p(x)不是f(x)的因式）

设 p x( ) 为数域P的不可约多项式， f x x ( ) P[ ] ,  则称 p x( ) 为 f x( ) 的 k 重因式. 若 k >1, 则称 为 的重因式. p x( ) f x( ) （若 k =0， 不是 f x( ) 的因式) p x( ) 若 ( ) | ( ) ，但 k p x f x 1 ( ) | ( ) , k p x f x + 定义 若 k ＝1, 则称 为 的单因式. p x( ) f x( ) 1.5 复、实系数多项式的因式分解

1.5复、实系数多项式的因式分解二、多项式函数与多项式的根定义 设f(x)=apx" +ax"-I +..+an,数αE P,将f(x)的表达式里的x用α代替，得到P中的数aga" +ajα"- +...+an,称为当 x=α 时f(x)的值，记作f(α)对P中的每一个数α，由多项式f(x)确定P中唯一的一个数f(α）与之对应，于是称f(x）为P上的一个多项式函数

1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a − 定义 = + + + 数 将 f x( ) 的表达式里的 x 用  代替，得到P中的数 1 0 1 , n n n a a a   − + + + 称为当 x =  时 f x( ) 的值，记作 f ( ).  对P中的每一个数 ，由多项式 确定P中唯一 的一个数 与之对应，于是称 为P上 的一个多项式函数．  f x( ) f ( )  f x( ) 1.5 复、实系数多项式的因式分解 二、多项式函数与多项式的根 设 𝜶 ∈ 𝑷

1.5复、实系数多项式的因式分解定义若多项式函数f(x)在x=α处的值为O，即f(α) =0,则称α为f(x）的一个根或零点

若多项式函数 f x( ) 在 x =  处的值为0，即 f ( ) 0,  = 则称  为 f x( ) 的一个根或零点． 定义 1.5 复、实系数多项式的因式分解

1.5复、实系数多项式的因式分解f(x) = (x - α)g(x) +r(x) = f(α) = (α-α)g(α) +r(α)=r(α)余数定理用一次多项式x一α去除多项式f(x），所得余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α)推论 α是 f(x)的根 (x-α)If(x)

余数定理 用一次多项式 x − 去除多项式 f x( ), 所得余式是一个常数，这个常数等于函数 值 f ( ).  推论  是 f x( ) 的根  − ( ) | ( ). x f x  1.5 复、实系数多项式的因式分解 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝜶 𝒒 𝒙 + 𝒓 𝒙 ⇒ 𝒇 𝜶 = 𝜶 − 𝜶 𝒒 𝜶 + 𝒓 𝜶 = 𝒓 𝜶

1.5复、实系数多项式的因式分解定义若x-α是f(x)的k重因式，则称α为f(x)的k重根当k=1时，称α为f(x)的单根当 k>1时，称α为f(x)的重根

若 x − 是 f x( ) 的 k 重因式， 则称  为 f x( ) 的 k 重根. 当 k = 1 时，称  为 f x( ) 的单根． 当 k  1 时，称  为 f x( ) 的重根． 定义 1.5 复、实系数多项式的因式分解

1.5复、实系数多项式的因式分解注：① α 是f(x)的重根 台x-α是f(x)的重因式②f(x)有重根=f(x)必有重因式反之不然，即f(x)有重因式未必f(x)有重根例如, f(x)=(x° + 1)° e R[x],x2+1为 f(x)的重因式，但在R上f(x)没有根

注： ①  是 f x( ) 的重根  − x  是 f x( ) 的重因式． ② f x( ) 有重根  f x( ) 必有重因式． 反之不然，即 f x( ) 有重因式未必 f x( ) 有重根． 2 2 例如， f x x R x ( ) ( 1) [ ], = +  为 f x( ) 的重因式，但在R上 f x( ) 没有根． 2 x + 1 1.5 复、实系数多项式的因式分解

1.5复、实系数多项式的因式分解三、复系数多项式的因式分解代数基本定理vf(x)C[xl,若a(f(x))≥1，则f(x)在复数域C上必有一根，推论1Vf(x)C[x], 若 a(f(x)≥1,则存在x-aEC[x]使 (x-a)I f(x).即，f(x)在复数域上必有一个一次因式

代数基本定理 三、复系数多项式的因式分解   f x C x ( ) [ ] , 若   ( ( )) 1 , f x 则 f x( ) 在复数域 C 上必有一根． 推论1   f x C x ( ) [ ] , 若   ( ( )) 1 , f x 则存在 x a C x −  [ ] , 使 ( ) | ( ) . x a f x − 即， f x( )在复数域上必有一个一次因式． 1.5 复、实系数多项式的因式分解

1.5复、实系数多项式的因式分解推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即Vf(x) EC[x], a(f(x)>1, 则 f(x)可约复系数多项式因式分解定理vf(x)EC[xl,若a(f(x))≥l,则f(x)在复数域C上可唯一分解成一次因式的乘积

推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即   f x C x ( ) [ ],   ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 可约． 复系数多项式因式分解定理   f x C x ( ) [ ], 若   ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积． 1.5 复、实系数多项式的因式分解