沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第三章 线性方程组 3.2 向量组的相关性

第三章线性方程组F=r+r=nfrn)Mg3.2向量组的线性相关性-nx(nxn)=r-n(np)主讲人：黄影

3.2 向量组的线性相关性 第三章 线性方程组 主讲人：黄影

3.2向量组的线性相关性一、n 维向量空间的概念定义由数域P上的n个数组成的有序数组（ar,z",an）称为数域P上的一个n维向量；a称为该向量的第i个分量注：①向量常用小写希腊字母α,β,来表示；2②向量通常写成一行α=（a,az,",an),称之为行向量：aa2，称之为列向量向量有时也写成一列α =·an)

称为数域P上的一个n维向量； 由数域P上的n个数组成的有序数组 1 2 ( , , , ) n a a a ai 称为该向量的第i个分量． 注:① 向量常用小写希腊字母    , , , 来表示； ② 向量通常写成一行  = ( , , , ) a a a 1 2 n , 称之为行向量； 一、n 维向量空间的概念 定义 3.2 向量组的线性相关性 向量有时也写成一列 1 2 , n a a a      =       称之为列向量．

3.2向量组的线性相关性定义向量的相等如果n维向量α=(ai,az,"",an）β=（bi,b2,bn）的对应分量皆相等，即i=1,2,.",na, =bi,则称向量α与β相等，记作α=β

如果n维向量 , 1 2 ( , , , ) n  = b b b 1 2 ( , , , ) n  = a a a 的对应分量皆相等，即 , 1,2, , i i a b i n = = 则称向量  与  相等，记作   = ． 定义 向量的相等 3.2 向量组的线性相关性

3.2向量组的线性相关性定义向量的运算（加法、数量乘法）设向量 α =(ai,a2,"",an),β=(b,b2,",bn),k为数域P中的数，定义向量α+β=(a, + bi,a, +b2,",an +bn)称α+β为向量α与β的和；定义向量kα=(kar,kaz,"",kan)称kα为向量α与数k的数量乘积

k 为数域 P 中的数，定义向量 1 1 2 2 ( , , , ) n n   + = + + + a b a b a b 称   + 为向量  与  的和； 1 2 ( , , , ) n k ka ka ka  = 称 k 为向量  与数 k 的数量乘积． 设向量 1 2 ( , , , ) , n  = a a a 1 2 ( , , , ) , n  = b b b 定义向量 3.2 向量组的线性相关性 定义 向量的运算（加法、数量乘法）

3.2向量组的线性相关性特殊向量分量全为零的向量称为零向量，记作00 = (0,0,.,0) .向量α=（a,az,,an），则向量(-a,-az,"",-an)称为向量α的负向量，记作-α

特殊向量 分量全为零的向量称为零向量，记作O． 1 2 ( , , , ) n − − − a a a 向量  = ( , , , ) , a a a 1 2 n 则向量 称为向量  的负向量，记作 − . 3.2 向量组的线性相关性 𝑶 = (𝟎, 𝟎, ⋯ , 𝟎)

3.2向量组的线性相关性向量运算的基本性质1)α+β=β+α2 ) (α+β)+=α+(β+)4) α+(-α)=03）α+0=α6) (k+l)α = kα+la5) k(α+β)=kα+kβ8)1.α=α7) k(lα)=(kl)α9)0.α=0, k.0=0 ,(-1)-α=-α10）若k±0,α±0则k.α0.即，若·α=０，则α=或=０·

1）     + = + 2） ( ) ( )       + + = + + 3） 7） k l kl ( ) ( )   = 8） 1 =   4） 5） k k k ( )     + = + 6） ( ) k l k l + = +    向量运算的基本性质 3.2 向量组的线性相关性 9） ， ， ( 1) −  = −   10）若 ,则 即，若 ，则 或 ． 𝟎 ⋅ 𝜶 = 𝑶 𝒌 ⋅ 𝑶 = 𝑶 𝜶 + 𝑶 = 𝜶 𝜶 + (−𝜶) = 𝑶 𝒌 ≠ 𝟎, 𝜶 ≠ 𝑶 𝒌 ⋅ 𝜶 ≠ 𝑶. 𝒌 ⋅ 𝜶 = 𝑶 𝜶 = 𝑶 𝒌 = 𝟎

3.2回量组的线性相关件定义数域P上的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间，记作P

定义 数域P上的 n 维向量的全体，同时考虑到 定义在它们上的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间，记作 ． n P 3.2 向量组的线性相关性

3.2向量组的线性相关性二、线性组合与向量组的等价定义设 αj,α2,"",α, P", Vki,k2,",k, P和ka, +k,a,+..+k,a,称为向量组αj,α2,α,的一个线性组合若向量β可表成向量组α，αz，，α的一个线性组合，则称向量β可由向量组αα2α，线性表出

设 1 2 , , , , n    s  P 1 2 , , , s   k k k P 二、线性组合与向量组的等价 定义 1 1 2 2 s s 和 k k k    + + + 称为向量组 的一个线性组合. 1 2 , , ,    s 若向量  可表成向量组    1 2 , , , s 的一个线性组 合，则称向量 可由向量组 1 2 线性表出. , , ,    s  3.2 向量组的线性相关性

3.2向量组的线性相关性注 1）若α=kβ，也称向量α与β成比例2）零向量0可由任一向量组的线性表出3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出4）任一n维向量α=（ai,az,an）都是向量组81 =(1,0,.,0), 8, = (0,1,...,0), .", 8, = (0,0,.,1)的一个线性组合事实上，有对任意 α=(ai,az,",an),皆有α=a8+a2+.+ane26也称为n维单位向量组

注 1) 若   = k ，也称向量  与  成比例. 3.2 向量组的线性相关性 2）零向量O可由任一向量组的线性表出. 3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. 4）任一 n 维向量  = ( , , , ) a a a 1 2 n 都是向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n    = = = 的一个线性组合． 事实上，有对任意  = ( , , , ) , a a a 1 2 n 皆有 1 1 2 2 . n n     = + + + a a a    1 2 , , , n 也称为 n 维单位向量组．

3.2向量组的线性相关性例判断向量α能否由向量组αiα2α线性表出若能，写出它的一个线性组合，α =(2,-1,3,4)α, =(1,2,-3,1), αz =(5,-5,12,11), αs =(1,-3,6,3)解：设α=kiαi+k2α2+k3α，即有方程组[ ki+5kz+k, =22k, -5k, -3k, =-1(1)-3k, +12kz + 6k, = 3k,+11k,+3k,=4

若能，写出它的一个线性组合． 1 2 3    = − = − = − (1,2, 3,1), (5, 5,12,11), (1, 3,6,3) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 2 2 5 3 1 3 12 6 3 11 3 4 k k k k k k k k k k k k  + + =  − − = − − + + =  + + =  (1) 例 判断向量  能否由向量组 1 2 3 线性表出.    , ,  = − (2, 1,3,4) 3.2 向量组的线性相关性 解：设 𝜶 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + 𝒌𝟑𝜶𝟑 ,即有方程组