沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第一章 多项式 1.6 有理系数多项式

第一章 多项式F=r+rF=nfrn)Mg1.6有理系数多项式-nx(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

1.6 有理系数多项式 第一章 多项式 主讲人：黄影

1.6有理系数多项式命题有理系数多项式的问题可归结为整系数多项式的问题证明任一有理数可表成两个整数的商。设f(x)=a,x" + an-x"-I +..+ ao,取整数c，使cf(x）为整系数多项式若cf(x）的各项系数有公因子，dcf(x) = dg(x), 也即 f(x) ==g(x),C其中g(x）是整系数多项式，且各项系数没有异于±1 的公因子

命题 有理系数多项式的问题可归结为整系数多项式的问题． 证明 任一有理数可表成两个整数的商． 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − 设 = + + + − 取整数 c, 使 cf x( ) 为整系数多项式． cf x dg x ( ) ( ), = 若 cf x( ) 的各项系数有公因子， 也即 ( ) ( ), d f x g x c = 其中 g x( ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于  1 的公因子． 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式一、本原多项式定义 设 g(x)=b,x" + bn-ix"-I +...+b,x + b, ± 0,b, e Z, i= 0,1,2,,n. 若 bn,bn-1,.,br,b, 没有异于±1的公因子，即bn,bn-1,"",br,bo是互素的则称g(x）为本原多项式

一、本原多项式 设 1 1 1 0 ( ) 0, n n n n g x b x b x b x b − 定义 = + + + +  − , 0,1,2, , . i b Z i n  = 若 b b b b n n , , , , −1 1 0 没有 则称 g x( ) 为本原多项式． 异于 的公因子，即 1 1 0 , , , , n n b b b b 1 − 是互素的， 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式性质 1. Vf(x)eQ[xl, 日r EQ, 使 f(x)=rg(x),其中g(x）为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）、2. Gauss引理定理两个本原多项式的积仍是本原多项式

性质 1．    f x Q x r Q ( ) [ ], , 使 f x rg x ( ) ( ), = 其中 g x( ) 为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理 两个本原多项式的积仍是本原多项式． 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式二、整系数多项式的因式分解定理若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式乘积，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积

定理 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式乘积，则它一定 可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积． 二、整系数多项式的因式分解 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式证明设整系数多项式f（x）有分解式f(x) = g(x)h(x)其中 g(x),h(x) eQ[xl, 且a(g(x)),a(h(x))<a(f(x)令 f(x)=afi(x), g(x)=rgi(x), h(x)= shi(x)这里，f,(x),g,(x),h(x)皆为本原多项式，aE Z,r,seQ. 于是 afi(x)=rsgi(x)h(x)g (x)h(x)本原，从而有a=土rs,即 rs E Z. . f(x) =(rsgi(x))h,(x). 得证

设整系数多项式 f x( ) 有分解式 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 其中 g x h x Q x ( ), ( ) [ ],  且     ( g x h x f x ( ) , ( ) ( ) . ) ( ) ( ) 证明 令 1 1 1 f x a f x g x r g x h x sh x ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) = = = 这里， f x g x h x 1 1 1 ( ), ( ), ( ) 皆为本原多项式， a Z  , r s Q , .  于是 1 1 1 a f x rsg x h x ( ) ( ) ( ). = g x h x 1 1 ( ) ( ) 本原， 即 rs Z  .  = f x rsg x h x ( ) ( ) ( ). ( 1 1 ) 从而有 a rs =  , 得证． 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式推论设f(x),g(x）是整系数多项式，且g(x）是本原的, 若 f(x)= g(x)h(x), h(x)EQ[x], 则 h(x)必为整系数多项式

推论 设 f x g x ( ), ( ) 是整系数多项式，且 g x( ) 是本原 的，若 f x g x h x h x Q x ( ) ( ) ( ), ( ) [ ], =  则 h x( ) 必为整系数多项式． 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式证明 令f(x)=afi(x), h(x)=ch(x)ae Z,ceQ, fi(x),h(x)本原,afi(x) = g(x)ch(x) = cg(x)h (x)→c=±a, 即 ceZ.： h(x) = ch,(x)为整系数多项式

令 1 1 f x a f x h x ch x ( ) ( ), ( ) ( ), = = 1 1 f x h x ( ), ( ) 本原， 1 1 1 a f x g x ch x cg x h x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 即 c Z  . 1  = h x ch x ( ) ( ) 为整系数多项式． 证明 a Z c Q   , ,  =  c a, 1.6 有理系数多项式

1.6有理系数多项式三、整系数多项式的有理根定理设f(x)=a,x"+an-x"-+...+ax+ao是一个整系数多项式，而一是它的一个有理根其中r,s是互素的，则必有slan, rlao.特别地，如果f(x）的首项系数an=1,那么f(α）的有理根都是整数，而且是ao的因子

定理 设 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根， r s 其中 r s, 是互素的，则必有 0 | , | . n s a r a 1.6 有理系数多项式 三、整系数多项式的有理根 特别地，如果𝒇(𝒙)的首项系数𝒂𝒏 = 𝟏, 那么𝒇(𝒙) 的有理根都是整数，而且是𝒂𝟎的因子

1.6有理系数多项式：二 是f(x)的有理根,证明S：在有理数域上，(x-If(x),从而 (sx-r)If(x).又r,s互素，..sx-r本原.f(x) =(sx -r)(bu-i+"-+ +. + bix+ bo)b, e Z，i=0,1,,n-1． 比较两端系数，得a, = sbn-1, ao =-rbo. 所以, slan,rlao

是 的有理根， r s f x( ) 从而 ( ) | ( ). sx r f x − 又 r s, 互素， 1 1 1 0 ( ) ( )( ) n n f x sx r b x b x b − = − + + + − , 0,1, , 1. i b Z i n  = − 比较两端系数，得 证明 ( ) | ( ) , r x f x s ∴ 在有理数域上， −  − sx r 本原． 1 0 0 , . n n a sb a rb = = − − 所以， 1.6 有理系数多项式 𝒔|𝒂𝒏, 𝒓|𝒂𝟎