沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第四章 矩阵 4.3 初等矩阵

第四章矩阵F=r+r=nfrn)Mg4.3初等矩阵-n*(nxn)=r-n(n主讲人：黄影

4.3 初等矩阵 第四章 矩阵 主讲人：黄影

4.3初等矩阵一、初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的定义正矩阵，称为初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵1.对调两行或两列；2.以数k ≠0乘某行或某列;3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去

由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的 矩阵，称为初等矩阵. 定义 一、初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵: ൞ 1. 对调两行或两列； 2. 以数 𝒌 ≠ 𝟎 乘某行或某列； 3. 以数 𝒌 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵对换 E 中第i,j两行，即(ri→ri)，得初等矩阵←第i行P(i,i)=←第i行

1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 P i j     =    第 i 行  第 j 行 对换 𝑬 中第 𝒊,𝒋 两行，即 (𝒓𝒊 ↔ 𝒓𝒋)，得初等矩阵 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵以数 k±0 乘单位矩阵的第i行(r;×k)，得初等矩阵←第行P(i(k))=

1 1 ( ( )) 1 1 P i k k       =           以数 k  0 乘单位矩阵的第 i 行 ( ), r k i  得初等矩阵 4.3 初等矩阵 ← 第𝒊行

4.3初等矩阵以数k≠0乘某行（列）加到另一行（列）上去（倍加）以k乘E的第j行加到第i行上(ri+kr)[或以k乘E的第i列加到第j列上(c;+kci)]←第行.:KP(i, j(k) =←第j行

1 1 ( , ( )) 1 1 k P i j k       =           以数𝒌 ≠ 𝟎乘某行(列)加到另一行(列)上去（倍加） 以 𝒌 乘 𝑬 的第𝒋 行加到第 𝒊 行上 (𝒓𝒊 + 𝒌𝒓𝒋) [或以 𝒌 乘 𝑬 的第 𝒊 列加到第 𝒋 列上 𝒄𝒋 + 𝒌𝒄𝒊 ] ← 第𝑖行 ← 第𝑗行 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵初等矩阵的性质初等矩阵皆可逆，且其逆仍为初等矩阵P(i, j)-" = P(i,j),P(k)" = P(i(),kP(i, j(k))- = P(i, j(-k)

初等矩阵皆可逆，且其逆仍为初等矩阵. 初等矩阵的性质 1 P i j P i j ( , ) ( , ), − = 1 1 P i k P i ( ( )) ( ( )), k − = 1 P i j k P i j k ( , ( )) ( , ( )). − = − 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵引理对任一矩阵A作一初等行（列）变换相当于对A左（右乘一个相应的初等矩阵P(i,j)A：对换A 的i,j两行;AP(i,j)：对换A 的i,j两列P(i(k))A：用非零数k乘A的第i行；AP(i(k))：用非零数 k乘 A的第 i列P(i,j(k))A ：A的第j行乘以k加到第i行;AP(i,j(k))：A的第j列乘以k加到第i列

引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵． P i j A ( , ) : 对换 A 的 i j , 两行； AP i j ( , ) : 对换 A 的 i j , 两列． P i k A ( ( )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 行； AP i k ( ( )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列． P i j k A ( , ( )) ： A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ; AP i j k ( , ( )) ：A 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列． 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵二、等价矩阵定义若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的注：（①矩阵的等价关系具有：反身性、对称性、传递性②等价矩阵的秩相等

若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到， 则称A与B等价的. ① 矩阵的等价关系具有： 反身性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等． 二、等价矩阵 定义 注： 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵矩阵等价的有关结论1）定理任一S× n矩阵 A都与一形式为0的矩阵等价，称之为 A 的标准形,且主对角线上1的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零）

1) 定理 任一 s n  矩阵 A 都与一形式为 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er                     矩阵等价的有关结论 的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数 等于R(A)(1 的个数可以是零). r 4.3 初等矩阵

4.3初等矩阵2）矩阵A、B等价<>存在初等矩阵P,P2,,P,,Q,O2,,Qt,使B= PP... P,AQQ,..Q..3)n级矩阵A可逆<>A的标准形为单位矩阵EA与单位矩阵E等价4)n级矩阵A可逆<>A能表成一些初等矩阵的积即 A=Q,Q·Q

2) 矩阵A、B 等价 1 2 1 2 . B P P P AQ Q Q = s t 存在初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , , P P P Q Q Q s t 使 3) n 级矩阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价. 1 2 . 即 A Q Q Q = t 4) n 级矩阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积, 4.3 初等矩阵