沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第一章 多项式 1.4 因式分解定理

第一章多项式F=r+rF=nfrn)Mg1.4因式分解定理-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

1.4 因式分解定理 第一章 多项式 主讲人：黄影

算术基本定理Fundamental theorem-of arithmetic欧几里得古希腊数学家任何一个大于1的公元前330年~275年自然数可以分解成一些被称为几何之父素数的乘积：并且在不计次序的情况下，这种分解方式是唯一的

任何一个大于 1 的 自然数可以分解成一些 素数的乘积；并且在不 计次序的情况下，这种 分解方式是唯一的。 算术基本定理 Fundamental theorem of arithmetic 古希腊数学家 公元前330年~275年 被称为几何之父 欧几里得

算术基本定理Fundamentaltheorem-ofarithmetic此儿E海儿何原本《几何原本》是欧几里得利用公Euclid'sElements国全理化的方法对当时的数学知识进行了系统化、公理化的总结，形成了演绎数学的公理化体系。算术基本定理的雏形就来源于其中的数论部分。系统总结拓展思维→深入探索

《几何原本》是欧几里得利用公 理化的方法对当时的数学知识进行了 系统化、公理化的总结，形成了演绎 数学的公理化体系。 算术基本定理 Fundamental theorem of arithmetic 算术基本定理的雏形就来源于其中的数论部分。 系统总结→拓展思维→深入探索

1.4因式分解定理有理数域的因式分解x4 - 4 = (x2 - 2)(x2 + 2)实数域的因式分解= (x - V2)(x + V2)(x2 + 2)复数域的因式分解= (x - V2)(x + V2)(x - iV2)(x + iV2)一元多项式的因式分解是否与数域有关？一元多项式的因式分解“最小单位”是什么？

有理数域的因式分解 复数域的因式分解 实数域的因式分解 一元多项式的因式分解是否与数域有关？ 一元多项式的因式分解“最小单位”是什么？ 1.4 因式分解定理 𝒙 𝟒 − 𝟒 = (𝒙 𝟐 − 𝟐)(𝒙 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝒊 𝟐 )(𝒙 + 𝒊 𝟐)

1.4因式分解定理一、不可约多项式定义p(x)为数域P上的不可约多项式，如果①p（x）次数为正数（非常数）；②p(x）不能分解为两个次数更低的多项式之积（不能进一步分解）注①一次多项式是任意数域上的不可约多项式。②不可约多项式与数域有关。③零多项式与零次多项式不讨论它们的可约性。例x2一3在有理数域上不可约，在实数域上可约

定义 𝒑 𝒙 为数域P上的不可约多项式，如果 ① 𝒑 𝒙 次数为正数（非常数）； ② 𝒑 𝒙 不能分解为两个次数更低的多项式之积。 （不能进一步分解） 1.4 因式分解定理 一、不可约多项式 注 ① 一次多项式是任意数域上的不可约多项式。 ② 不可约多项式与数域有关。 ③ 零多项式与零次多项式不讨论它们的可约性。 例 𝑥 2 − 3在有理数域上不可约，在实数域上可约

1.4因式分解定理因式分解及唯一性定理二定理 vf(x) E P[x], 若a(f(x)≥1 ,则 f(x)可唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说，若有两个分解式f(x) = pi(x)p2(x). p,(x) = qi(x)q2(x)..*q(x)则s=t，且适当排列因式的次序后，有p;(x) =c;q;(x)其中c,(i=1,2,,)是一些非零常数

若   ( ( )) 1 f x ，则 f x( ) 可 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t f x p x p x p x q x q x q x = = 定理 则 s t = ，且适当排列因式的次序后，有 ( ) ( ) i i i p x c q x = 其中 c i s i ( 1,2, , ) = 是一些非零常数． 二、因式分解及唯一性定理 1.4 因式分解定理 ∀𝒇(𝒙) ∈ 𝑷[𝒙]

1.4因式分解定理证明对f（x）的次数作数学归纳a(f(x）=1时，结论成立.（一次多项式都不可约）1°a2°设对次数低于n的多项式结论成立。下证 a(f(x)=n的情形若f(x）是不可约多项式.结论显然成立若f(x)不是不可约多项式，则存在f(x),fz(x)且a(f(x)<n, i=1,2 ，使f(x)= fi(x)f2(x)由归纳假设fi(x）,f(x）皆可分解成不可约多项式的积

证明 对 f x( ) 的次数作数学归纳. 1 ( ( )) 1  = f x 时，结论成立． 下证  = ( f x n ( )) 的情形. 2 设对次数低于n的多项式结论成立． （一次多项式都不可约） 若 f x( ) 是不可约多项式. 若 f x( ) 不是不可约多项式，则存在 1 2 f x f x ( ), ( ), 且   = ( ( )) , 1,2 f x n i i ，使 1 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) = 结论显然成立． 由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积. 1 2 f x f x ( ), ( ) 1.4 因式分解定理

1.4因式分解定理：f(x）可分解为一些不可约多项式的积再证唯一性，设f（x）有两个分解式f(x) = p(x)p2(x).c p,(x)(1)= q1(x)q2(x).q,(x)P,;(x),q;(x)(i= 1,2,,s; j =1,2,",t.) 都是不可约多项式对s作归纳法若=1, 则必有 s=t=1, (x)=p(x)=(x)

再证唯一性 . 1 2 ( ) ( ) ( ) t = q x q x q x ⑴  f x( ) 可分解为一些不可约多项式的积. ( ), ( ) 1,2, , ; 1,2, , . ( ) i j p x q x i s j t = = 都是不可约 设 f x( ) 有两个分解式 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s f x p x p x p x = 多项式. 对 s 作归纳法． 若 s = 1, 则必有 s t = = 1, 1 1 f x p x q x ( ) ( ) ( ) = = 1.4 因式分解定理

1.4因式分解定理假设不可约多项式个数为s-1时唯一性成立由(1 ) P(x)qi(x)q2(x).*-q,(x)=q;(x), 使得 pi(x)q;(x),不妨设 ;(x)=q(x), 则 P(x)(x)= qi(x)=ciP(x), ± 0(1）两边消去%(x），即得P2(x)-.- p,(x) =c-q2(x)..-q,(x)由归纳假设有 s-1=t-1,：s=t

假设不可约多项式个数为 s − 1 时唯一性成立. 由(１) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t p x q x q x q x 不妨设 q x q x j ( ) ( ), = 1 则 1 1 p x q x ( ) ( ) 1 1 1 1  =  q x c p x c ( ) ( ), 0 1 ( ) ( ). j ( ), 使得 p x q x j  q x (1)两边消去 1 q x( ), 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s t p x p x c q x q x − = 由归纳假设有 s t − = − 1 1, 即得  =s t. 1.4 因式分解定理

1.4因式分解定理定义 对 Vf(x)e P[x]l,a(f(x))≥1,f(x）总可表成f(x) = cpl"(x)pz"(x).* p,(x)其中c为f(x）的首项系数，p(x）为互不相同的，首项系数为1的不可约多项式，r,Z+i=1,2,,s称之为f(x）的标准分解式

f x( ) 总可表成 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x cp x p x p x = 对     f x P x f x ( ) [ ], ( ) 1, ( ) 其中 c 为 f x( ) 的首项系数， p x i ( ) 为互不相同的， 首项系数为1的不可约多项式， . i r Z+  称之为 f x( ) 的标准分解式. 定义 1.4 因式分解定理 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒔