沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第二章 行列式 2.4 克拉默法则

第二章行列式F=r+r=nfrn)Mg2.4克拉默法则-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

2.4 克拉默法则 第二章 行列式 主讲人：黄影

2.4克拉默法则a11x1+a12x2+a13x3=b1a11x1+a12x2=b1a21x1+a22X2+a23x3=b2a21x1+a22x2=b2a31xi+a32x2+a33x3=b3a13a11a12a11a12当D=a21±0时当D：± 0时a22a23a21a22a31a32a33D1D2D3D1D2X1 =X1 =X2X3X2==DDDDD[b1[a11bia13a13a12b1bia12a11D2b2D1=D1=b2D2=a22a23a21a23b2b2a22a21b3b3a31a33a32a33bi[a11a12b2D3=a21a22b3a31a32

ቊ 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 = 𝒃𝟐 𝑫𝟏= 𝒃𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟐𝟐 , 𝑫𝟐= 𝒂𝟏𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝒃𝟐 当D = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ≠ 𝟎时 ቐ 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑𝒙𝟑 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝒙𝟑 = 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝟑𝒙𝟑 = 𝒃𝟑 当D = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑 ≠ 𝟎时 𝑫𝟏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒃𝟐 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒃𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑 , 𝑫𝟐 = 𝒂𝟏𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟏 𝒃𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 𝒃𝟑 𝒂𝟑𝟑 , 𝑫𝟑 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝒂32 𝒃𝟑 𝒙𝟏 = 𝑫𝟏 𝑫 , 𝒙𝟐 = 𝑫𝟐 𝑫 𝒙𝟏 = 𝑫𝟏 𝑫 , 𝒙𝟐 = 𝑫𝟐 𝑫 , 𝒙𝟑 = 𝑫𝟑 𝑫 2.4 克拉默法则

2.4克拉默法则克拉默法则如果线性方程组(1）的系数行列式不等于零a11a12aina21a22a2nbi送0，a11xi+a12X2+...+a1nXn即 D=b2a21x1+a22x2+.*+a2nxn(1)[an1annlan2..bnan1Xi+an2x2+.".+annXn=D1D2D3Dn则线性方程组（1）有唯一解X1X2X3-DDDD其中D，是把系数行列式D中第ja11.a1j-1a1j+1**-ainDj =列的元素用方程组右端的常数项ani..anj-1anj+1.. ann代替后所得到的n阶行列式，即

如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒏 (𝟏) 𝑫 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 即 ≠ 𝟎， 则线性方程组(1)有唯一解， 𝒙𝟏 = 𝑫𝟏 𝑫 , 𝒙𝟐 = 𝑫𝟐 𝑫 , 𝒙𝟑 = 𝑫𝟑 𝑫 , ⋯ , 𝒙𝒏 = 𝑫𝒏 𝑫 , 其中Dj 是把系数行列式 D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项 代替后所得到的 n 阶行列式，即 𝑫𝒋 = 𝒂𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏,𝒋−𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟏,𝒋+𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏 ⋯ 𝒂𝒏,𝒋−𝟏 𝒃𝒏 𝒂𝒏,𝒋+𝟏 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 . 2.4 克拉默法则 克拉默法则

2.4克拉默法则适用方程组1.方程个数=未知量个数2.系数行列式≠0

适用方程组 1.方程个数 = 未知量个数 2.系数行列式 ≠ 0 2.4 克拉默法则

2.4克拉默法则重要结论结论1如果线性方程组（1的系数行列式D￥0则()一定有解,且解是唯一的，结论2如果线性方程组（1）无解或有两个或两个以上不同的解，则它的系数行列式必为零

重要结论 结论1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D  0, 结论2 如果线性方程组 无解或有两个或两个 以上不同的解，则它的系数行列式必为零. (1) 2.4 克拉默法则

2.4克拉默法则定义a11xi+a12x2+...+ainXn=bia21Xi+a22X2+..+a2nxn=b2设线性方程组(an1Xi +an2X2 +**+ annxn = bn若常数项b1,b2,,bn不全为零,则称此方程组为非若常数项b1，b2,,bn全为零齐次线性方程组：此时称方程组为齐次线性方程组

𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒏 设线性方程组 若常数项𝑏1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏𝑛不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 𝑏1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏𝑛 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组. 2.4 克拉默法则 定义

2.4克拉默法则对于齐次线性方程组aux, +a2x, ++ainx, =0a21 + a22X2 + ... + a2nx, = 0(2)..[anx +an2, +...+amnx, =0X,= X2=…=x,=0 一定是它的解，称之为零解（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =  + + + =   + + + =  （2） 对于齐次线性方程组 （2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解． 1 2 0 n x x x = = = = 一定是它的解，称之为零解． 2.4 克拉默法则

2.4克拉默法则重要结论结论1如果线性方程组1)的系数行列式D≠0.则(1)则一定有解，且解是唯一的，结论2如果线性方程组）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零结论3如果齐次线性方程组（2)的系数行列式D±0则齐次线性方程组（2）没有非零解结论4如果齐次线性方程组（②）有非零解，则它的系数行列式必为零

重要结论 结论1 如果线性方程组 的系数行列式 则 则一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D  0, 结论2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1) 2.4 克拉默法则 结论3 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解. (2) D  0 (2) 结论4 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它 的系数行列式必为零

2.4克拉默法则克拉默法则及其逆定理线性方程组a11x1+a12x2+.+a1nxn=ba21x1+a22x2+..+a2nxn=b21anixi+an2x2+...+annxn=bn有唯一解的充要条件是aina11a12-a21a22a2n￥0D=an1an2ann

线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒏 (𝟏) 有唯一解的充要条件是 𝑫 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 ≠ 𝟎 2.4 克拉默法则 克拉默法则及其逆定理

2.4克拉默法则齐次线性方程组的克拉默法则及逆定理齐次线性方程组a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+.*+a2nxn=0(2)an1xi+an2x2+..+annxn=0[a11a12aina21a22a2n±0只有零解的充分必要条件是D≠0，其中D=[aniannan2

𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 (2) 齐次线性方程组的克拉默法则及逆定理 只有零解的充分必要条件是𝑫 ≠ 𝟎，其中 𝑫 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 ≠ 𝟎. 齐次线性方程组 2.4 克拉默法则