沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第二章 行列式 2.3 行列式按行（或列）展开

第二章行列式F=r+r=nfrn)Mg2.3行列式按一行（列）展开-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

2.3 行列式按一行（列）展开 第二章 行列式 主讲人：黄影

2.3行列式按一行（列）展开a13l1112a1122a33+a1223a31+a13a21a32ab221—a11a23432a12421433-1322431=a(a22433 -a23432 ) + a12(a23431 - a21433)+ a13(a21432 -a22a31)型堂a21233 + (13a31 A33aia32a33三级行列式可通过二级行列式来表示

11 23 32 12 21 33 13 22 31, 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ( ) 11 22 33 23 32 = a a a − a a ( ) 12 23 31 21 33 + a a a − a a ( ) 13 21 32 22 31 + a a a − a a 22 23 11 32 33 a a a a a = 三级行列式可通过二级行列式来表示． 21 23 12 31 33 a a a a a − 21 23 13 31 33 a a a a a + 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开一、余子式、代数余子式定义在n级行列式det(a）中将元素ij所在的第i行与第j列划去，剩下(n-1)个元素按原位置次序构成一个n一1级的行列式，anain(1,j+1ai,j-1.:·1 .. aij-1,nai-1,1 . aj-1,j-1 ai-1, j+1ai+1, ... ai+1,j-1 ai+,j+1ai+l,n·anann.an,j-1an,j+1..称之为元素 a,的余子式,记作 M·

一、余子式、代数余子式 定义 在 n 级行列式 det( ) aij 中将元素 aij 所在的 第 i 行与第 j 列划去，剩下 ( 1) n − 2 个元素按原位置 次序构成一个 n − 1 级的行列式， 11 1, 1 1 , 1 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 , 1 ,1 1 , 1 1, 1 1 , 1 , 1 , 1 j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − + + − + + + − + 称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ． 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开令A, =(-1)+i M称A.为元素aij的代数余子式注：①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式②元素的余子式和代数余子式与‘的大小无关，只与该元素在行列式中的位置有关

( 1)i j A M ij ij + 令 = − 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式． 注： ① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和代数余子式． 无关，只与该元素在行列式中的位置有关． ② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开二、行列式按一行（列）展开法则引理若n级行列式D=det(a）的第i行所有元素除外都为0，则D=ajAj

元素除 aij 外都为 0，则 . D a A = ij ij 引理 二 、行列式按一行(列)展开法则 若n 级行列式 D = det( ) aij 的 第 i 行所有 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开证明：先证a=amm的情形，即anal1,n-1ain-D=an-1,1:... an-1,n-1an-1,n00ann..由行列式的定义，有D= Z (-1)(-a,2i- a-1,j-.m.ii...j.- 2 (-1(- a,/ -/...m*jjnnZ (- - .=amjir.-jn-

证明：先证 a a ij nn = 的情形，即 11 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 0 0 n n n n n n n nn a a a D a a a a − − − − − = 由行列式的定义，有 1 1 2 1 1 2 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n n j j j j n j nj j j j D a a a a  − − = −  1 1 1 2 1 1 1 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n j j n j j n j nn j j n a a a a  − − − = −  − 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1, ( 1) n n n j j nn j n j j j a a a  − − − = −  − 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开anar(1,n-1=amM.m=ammA.. 结论成立。=a..nna1n-1,11一般情形：a1al,j-1anarj...ar,j+1..........ai1, ai-1,j- aj-1, i-1,j+11a;-1,n0:00...0aijai+1,1"ai+1,n.. ali+1,j-1Ai+1,j+1ai+1,j........·.ananan,j-1anj.an,j+1

11 1, 1 1,1 1, 1 n nn n n n a a a a a − − − − = . nn nn = a Mnn nn = a A 结论成立。 一般情形： 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 0 0 0 0 j j j n i i j i j i j i n ij i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − + + − + + + + − + 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开aanja1,j-1l1,j+1ain.............ai .. (a;-1,j-1aj-1,j+1 ... ai-1,nai-1,jai+1,j++ **. ai+1,nai+1, **. ai+1,j-1ai+1j.........ananjannan,j+1an,j-1...**0000aj...aa1,j+1ainayja1,j-1..ai-1, *.. a,j-,j-1a;-1,j;-1,j+11ai-1.n=(-1)ai+1,1ai+1,j...Ai+1,j-1a;+1,j+1ai+l,n1...........aanjan,j-1an,j+1ann0000aij= (-1)2n-(i+i)a.,M+ia,M,=a,(-1)i+i M, =ajAj。 结论成立。=

11 1, 1 1, 1 1 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 , 1 , 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i n i j n n j n j nn nj ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − − − − + + − + + + + − + = − −( 1)i j ij ij a M + = − 2 ( ) ( 1) n i j ij ij a M − + = − ( 1) . i j ij ij ij ij a M a A + = − = 结论成立。 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 ( 1) 0 0 0 0 j j j n i i j i j i j i n n i i i j i j i j i n n n j nj n j nn ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − − + + − + + + + − + = − 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开定理行列式按一行（列）展开法则行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=aiAin +ai2Ai2+...+ainAin-EaxAi=1,2,..",n或D= a,A1, +a2,A, +...+awjAn, -ZagAk=j=1,2,.,n

定理 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即 D a A a A a A = + + + 1 1 2 2 j j j j nj nj D a A a A a A = + + + i i i i in in 1 1 2 2 1 n ik ik k a A = =  i n = 1,2, , 1 n kj kj k a A = =  j n = 1,2, , 或 行列式按一行（列）展开法则 2.3 行列式按一行（列）展开

2.3行列式按一行（列）展开证明：aua12an.....D=ai +0+..+0 0+ai2 +..+00+...+0+ain............anannan2..ana.al2...a.a,a12az..ain...11111n......000000a..+.+ail..a.................a.a.an2aaaaan2"nl"nl"n2"nlnnnnn= ai1Ait + ai2A2 +...+ ainAin (i = 1,2,,n)

证明： 11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a D a a a a a a = + + + + + + + + + i i i i in in 1 1 2 2 = + + + a A a A a A 11 12 1 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n n n i i in n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + (i = 1,2,  ,n) 2.3 行列式按一行（列）展开