沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第一章 多项式 1.2 一元多项式及其运算

第一章多项式F=r+rF=nfrn)Mg1.2一元多项式及其运算-nx(nxn)=r-n(np)主讲人：黄影

1.2 一元多项式及其运算 第一章 多项式 主讲人：黄影

1.2一元多项式及其运算一、一元多项式的定义定义设x是一个符号（或称文字），n是一个非负整数，形式表达式a,x" +an--x"- +.+ax+ ao其中αo,a1,,anEP,称为数域P上的一元多项式

一、一元多项式的定义 个非负整数，形式表达式 设 x 是一个符号（或称文字）， n 是一 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a − + + + + − 其中 称为数域P上的一元多项式． 定义 𝒂𝟎, 𝒂𝟏,⋅⋅⋅, 𝒂𝒏 ∈ P, 1.2 一元多项式及其运算

1.2一元多项式及其运算注：多项式f(x)=a,x"+an-ixn-l+...+ax+a,中,①a,x'称为次项，a,称为次项系数②若a,±0,则称a,x"为f(x)的首项，a,为首项系数，n称为多项式f(x)的次数，记作a(f(x)=n.或degf(x)=n③若 a=a, =.·=a,=0 ，即 f(x)= 0,则称之为零多项式．零多项式不定义次数零多项式 f(x)=0区别：零次多项式 f(x)=a,0，a(f(x))=0

系数，n 称为多项式 f x( ) 的次数，记作 ( ( )) . f x n= ③ 若 a a a 0 1 = =    = = n 0 ，即 f x( ) 0 = ，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 区别： 零次多项式 f x a a ( ) , 0 , =  多项式 中， 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 称为i次项， 称为i次项系数． i i ① a x i a 注： ② 若 则称 为 f x( ) 的首项， 为首项 n n 0, a x n a  n a  零多项式 f x( ) 0 =   ( ( )) 0. f x = 1.2 一元多项式及其运算 或𝒅𝒆𝒈𝒇 𝒙 = 𝒏

1.2一元多项式及其运算二、多项式的运算：加法（减法）、乘法、带余除法f(x)= a,x" +an-ix"-+ +.+ax+a, = Eax,i=0g(x) =b.*" + bm+m-I +..+bix+b, = Eb,x',j=0加法：若n≥m,在g(x)中令b, = bn-1 = ... = bm+1 = 0则f(x)+ g(x)=(a, +b,)x* .i=0减法: f(x)-g(x)=Z(a, -b)xii=0

二、多项式的运算：加法（减法）、乘法、带余除法 1 1 1 0 0 ( ) ,i i n n n n n i f x a x a x a x a a x − − = = + + + + =  1 1 1 0 0 ( ) ,j j m m m m m j g x b x b x b x b b x − − = = + +  + + =  加法： 若 n m , 在 g x( ) 中令 1 1 0 n n m b b b = = = = − + 则 0 ( ) ( ) ( ) . i i n i i f x g x a b x = + = +  0 ( ) ( ) ( ) i i n i i f x g x a b x = 减法： − = −  1.2 一元多项式及其运算

1.2一元多项式及其运算乘法: f(x)g(x)= a,bmxn+m +(a,bm-1 +an-Ibm)xn+m-I +...+(a,b, + a,b)x+agb=ZZ (ab,)xs=l i+j=s注：f(x)g(x) 中s 次项的系数为a,b, +a,-b +...+abs-- +aob, = E ab,.i+j=s

1 0 1 0 0 ( ) o  + + + a b a b x a b 1 ( ) n m i i j s i j s a b x + = + = =   f x g x ( ) ( ) 中s 次项的系数为 1 1 1 1 0 . s o s s s i j i j s a b a b a b a b a b − − + = + +  + + =  注: 乘法： f x g x ( ) ( ) = 1 1 1 ( ) n m n m n m n m n m a b x a b a b x + + − + + + − − 1.2 一元多项式及其运算

1.2一元多项式及其运算定义所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作 P[x].P称为P[x]的系数域

所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域 P上的一元多项式环，记作 P x[ ] . P称为 P x[ ] 的系数域． 定义 1.2 一元多项式及其运算

1.2一元多项式及其运算带余除法定理对 Vf(x),g(x)e P[xl, g(x)± 0一定存在 q(x),r(x)e P[x], 使f(x) = q(x)g(x) +r(x)成立,其中 a(r(x)<a(g(x)或 r(x)=0,并且这样的 q(x),r(x)是唯一决定的称 q(x)为 g(x)除f(x)的商, r(x)为g(x)除f(x)的余式

对    f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ],  使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立，其中    ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0, = 带余除法定理 并且这样的 是唯一决定的． 称 q x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的商， r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式． 1.2 一元多项式及其运算 𝒒(𝒙), 𝒓(𝒙)

1.2一元多项式及其运算定义 设 f(x),g(x)e P[x], 若存在 h(x) e P[x] 使f(x) = g(x)h(x)则称g(x)整除 f(x), 记作 g(x)l f(x)g(x)f(x)时， 称g(x)为 f(x)的因式, f(x)为g(x)的倍式

设 f x g x P x ( ), ( ) [ ],  若存在 h x P x ( ) [ ]  使 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 则称 g x( ) 整除 f x( ), 记作 g x f x ( ) | ( ). g x f x ( ) | ( ) 时， 称 g x( ) 为 f x( ) 的因式， f x( ) 为 g x( ) 的倍式． 1.2 一元多项式及其运算 定义

1.2一元多项式及其运算f(x)=g(x)g(x)+r(x)存在性证明流程图：degf(x)=n,degg(x）=mf(x)=0q(x) = 0,r(x) =0degf (x)0r(x)=0或 degr(x)<degg(x)degf (x)=n存在q(x),r(x)(s)=g() g(x)++()J()=a,x"+aw+++a,x+as代入使得 fi(x)=g(x)g1(x)+(x),g(x)=b_x"+b..x"+.+b,x+b,其中q(x)=(x)+,r(x)=(x)且r1(x)=0或()-()+2(*)(x)=()-g(x)-degri(x)<degg(x)2deg/f.(x)<n存在性分析完毕！

f(x)= 0 deg deg f x 0 归纳假设 deg deg r x < g x ( ) ( ) 假设 degf x < n ( ) ，f x = g x q x + r x , ( ) ( ) ( ) ( ) r x = ( ) 0 或 degf x = n ( ) ， ( ) n n n n f x a x a x a x a = + + + + -1 -1 1 0， ( ) , m m m m g x b x b x b x b = + + + + -1 -1 1 0 ( ) ( ) ( ) n n m m a f x f x g x x b − = −  1 degf x n 1 ( )  q x = ,r x = f x ( ) 0 ( ) ( ) 代入 ( ) ( ) ( ) − = +  1 n n m m a f x f x g x x b ( ) ( ) ( ) ( ) −   = + +     1 1 n n m m a f x g x q x x r x b 其中 ( ) ( ) , ( ) ( ) − = + = 1 1 n n m m a q x q x x r x r x b 存在性分析完毕！ 存在性证明流程图：deg f(x)=n, deg g(x) =m. f(x) f(x) ≠ 0 1.2 一元多项式及其运算 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 𝒒 𝒙 = 𝟎, 𝒓 𝒙 =0 存在 𝒒𝟏 𝒙 , 𝒓𝟏 𝒙 ， 使得 𝒇𝟏 𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒒𝟏 𝒙 + 𝒓𝟏 𝒙 ， 且 𝒓𝟏 𝒙 = 𝟎或 𝒅𝒆𝒈𝒓𝟏 𝒙 < 𝒅𝒆𝒈𝒈 𝒙

1.2一元多项式证明：先证存在性，① 若 f(x) = 0, 则令 q(x)= r(x)= 0. 结论成立。②若f(x)±0, 设 f(x),g(x)的次数分别为 n,m,当 n<m 时,显然取 q(x)=0,r(x)=f(x) 即有f(x)=q(x)g(x)+r(x), 结论成立.下面讨论n≥m的情形，对n作数学归纳法次数为0时结论显然成立。假设对次数小于n的(x），结论已成立

① 若 f x( ) 0, = 则令 q x r x ( ) ( ) 0. = = 结论成立． ② 若 f x( ) 0,  设 f x g x ( ), ( ) 的次数分别为 n m, , 证明： 当 n m 时， 结论成立． 显然取 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即有 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 下面讨论 n m 的情形， 假设对次数小于n的 f x( ) ，结论已成立． 先证存在性． 对 n 作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立． 1.2 一元多项式