沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 7.3 区间估计

47.3 区间估计一、区间估计的基本概念二、 典型例题沈阳师范大学

7.3 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

一、区间估计的基本概念1.置信区间的概念设样本X,X2,,X,来自分布函数为F(x;0)为未知参数)的总体,对于给定的常数α(0<α<1)如果存在两个统计量 =(X,X2,",X,)和2 =0,(Xi,X2,.:,X,) 满足P(Q<0<0)=1-α, V00则称随机区间(0,0,)是0的置信水平为1-α的置信区间0和,分别称为置信下限和置信上限,1-α为置信水平

一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的概念 ( ) 满足 如果存在两个统计量 和 为未知参数的总体 对于给定的常数 设样本 来自分布函数为 ( , , , ) ( , , , ) , (0 1), , , , ( ; ) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 n n n X X X X X X X X X F x            = =   ,1 . ( , ) 1 , 1 2 1 2 和 分别称为置信下限和置信上限 为置信水平 则称随机区间 是 的置信水平为 的置信区间        − −   1 , P 1  2 = −  

关于定义的说明没有随机性被估计的参数9虽然未知，但它是一个常数而区间(α，,)是随机的因此定义中下表达式P[0 <<,}=1-α的本质是:随机区间(0,0,)以1-α的概率包含着参数的真值而不能说参数以1-α的概率落入随机区间(①,0)

关于定义的说明 1 2 , , , ( , ) .    被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数 没有随机性 而区间 是随机的 1 2 因此定义中下表达式P{ } 1 :       = − 的本质是 1 ( , ). ( , ) 1 , 1 2 1 2         而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值 − −

例如若α=0.01，反复抽样1000次则得到的1000个区间中不包含真值的约为10个福

例如 若 = 0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000 个区间中不包含 真值的约为10个

评价一个区间估计优劣有两个要素：(1）置信水平(或可靠度)，即区间包含未知参数概率的大小；(2) 精确度.即衡量置信区间的长度，长度俞小俞好.但在样本大小一定的条件下，这两者是矛盾的Neyman的理论是给定置信水平，以保证有一定的可靠度，尽可能选择精度更高的区间估计

评价一个区间估计优劣有两个要素： （1）置信水平(或可靠度)，即区间包含未知参数概 率的大小； （2） 精确度. 即衡量置信区间的长度，长度俞小俞 好. 但在样本大小一定的条件下，这两者是矛盾的， Neyman的理论是给定置信水平，以保证有一定的 可靠度，尽可能选择精度更高的区间估计．

2.求置信区间的一般步骤（共3步）(1)寻求一个样本 X,X2,,X,的函数:Z = Z(X,X2,",Xn;0)其中仅包含待估参数θ,并且Z的分布已知且不依赖于任何未知参数(包括θ)(2）对于给定的置信度1-α,定出两个常数a,b使 P(a<Z(Xi,X2,",Xn;0)<b) = 1 -α

2. 求置信区间的一般步骤(共3步) ( ). , ( , , , ; ) (1) , , , : 1 2 1 2    且不依赖于任何未知参数 包括 其中仅包含待估参数 并且 的分布已知 寻求一个样本 的函数 Z Z Z X X X X X X n n   = { ( , , , ; ) } 1 . (2) 1 , , , 1 2      = − − P a Z X X X b a b 使  n 对于给定的置信度 定出两个常数

(3)若能从α<Z(Xi,X2,,X,;の)<b得到等价的不等式 <0<02,其中 =(X1,X2,,Xn),,=2(Xi,X2,,X,)都是统计量,那么(Q,0)就是0的一个置信度为1一α的置信区间

1 . ( , , , ) , ( , ) , ( , , , ), (3) ( , , , ; ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 是 的一个置信度为 的置信区间 都是统计量 那么 就 不等式 其中 若能从 得到等价的             − =   =   n n n X X X X X X a Z X X X b   

二、典型例题例1 设X,X2,,X,是来自正态总体N(μ,α")的样本,其中。2为已知,u为未知,求μ的置信水平为1一α的置信区间解 因为X是μ的无偏估计X-μμ~ N(0,1);且U=α//n圣-"~ N(0,1)是不依赖于任何未知参数的,g/n

解 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体       − X X  Xn N 因为 X 是  的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U  −  且 = ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X  −  例1 二、典型例题

由标准正态分布的上α分位点的定义知1-αOx-μ-α<uα12O即 PX-uα/2<u<X+-XVnn

/ 2 1 , / X P u n         −    = −     /2 /2 1 , P X u X u n n           −   + = −   即 由标准正态分布的上 分位点的定义知 1 − 2 u 2 u− 

于是得u的一个置信水平为 1一α的置信区间X+u~/2nX±这样的置信区间常写成0其置信区间的长度为2 xα12

/ 2 / 2 1 , . X u X u n n       −   − +     于是得 的一个置信水平为 的置信区间 这样的置信区间常写成 / 2 X u . n          其置信区间的长度为 / 2 2 . u n   