沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.4 条件分布

-3.4条件分布一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布沈阳师范大学

一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 3.4 条件分布

一、离散型随机变量的条件分布定义设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X = x,Y =y,} = Pii, j = 1,2,又Y的边缘分布律为P(Y=y,}=p.j,j=1,2,,若p.,>0,则称P(X =x,Y =y,) - PijP(X = x,Y = y,) =P(Y = y,)p.j为在Y=条件下随机变量X的条件分布律沈阳师范大学

. , { } { , } { } { } , 1,2, , 0, { , } , 1,2, , ( , ) 为在 条件下随机变量 的条件分布律 又 的边缘分布律为 若 则称 ， 设二维离散型随机变量 的联合分布律为 Y y X p p P Y y P X x Y y P X x Y y Y P Y y p j p P X x Y y p i j X Y j j i j j i j i j j j j i j i j = = = = = = = = = = =  = = = = • •  •  定义 一、离散型随机变量的条件分布

类似地,若p>0,则称P(X =xi,Y = y)PiP(Y = y, X = x,} =P(X = x,)Pi为在X=x,条件下随机变量Y的条件分布律条件分布列具有一般概率的基本性质：(1)P(X= x;Y= y,)≥0;(2)ZP(X = x,Y=y,)=1.Zpyp.i=11p(x-x/-)-P.jP.j沈阳师范大学

. , { } { , } { } , 0, 为在 条件下随机变量 的条件分布律 类似地 若 则称 X x Y p p P X x P X x Y y P Y y X x p i i i j i i j j i i = = = = = = = =  • •   (2)   1. (1) 0; = = = = =   i i j i j P X x Y y P X x Y y 条件分布列具有一般概率的基本性质：   ij i j i i j p P X x Y y p•   = = = ij i j p p• =  1 j j p p • • = =

例1设(X,Y)的联合分布律如下，求Y=0的条件下,X的条件概率分布分布YPi. = P(X = x;}01XV4 Y4y2% y252 7/2P., = P(Y = y,}1沈阳师范大学

X Y −1 0 1 1 4 4 2 1 { } i i p = P X = x • { } j j p = P Y = y • 例1 设 (X,Y)的联合分布律如下， 求Y X =0的条件下, . 的条件概率分布分布 1 2 1 2 5 12 7 12 1 1 6 3 1

r中---二、连续型随机变量的条件分布设二维随机变量（X,Y)的概率密度为定义f(x,J),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f(y).若f(x,y)为在Y=y对于固定的 y,,(y)>0,则称fr(y)的条件下X的条件概率密度，记为f(x,y)fxr (xly)= Jfr(y)沈阳师范大学

定义 二、连续型随机变量的条件分布 . ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) , ( ) 0, ( , ),( , ) ( ). ( , ) f y f x y f x y X Y y f y f x y y f y f x y X Y Y f y X Y Y Y Y Y X Y =  = 的条件下 的条件概率密度 记为 对于固定的 则称 为在 关于 的边缘概率密度为 若 设二维随机变量 的概率密度为

中f(u,y)称「*du为在Y=y的条件下,X的条件分布函数fr(y)记为P(X≤xY =)或 Fxlr(x|y),f(u,y)即 Fxir(x)=P(X≤xY=)=["du.fr(y)同理定义在X=x的条件下Y的条件分布函数为f(x,v)Fyx(|x)= P(Y ≤|X = x)= [dv. fx(x)沈阳师范大学

( , ) , , ( ) { } ( ), ( , ) ( ) { } d . ( ) x Y X Y x X Y Y f u y du Y y X f y P X x Y y F x y f u y F x y P X x Y y u f y − − =  = =  = =   称 为在 的条件下 的条件分布函数 记为 或 即 同理定义在 X = x的条件下Y 的条件分布函数为 ( , ) ( ) { } d . ( ) y Y X X f x v F y x P Y y X x v f x − =  = = 

国例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度8xy2, 0<x</y<1,f(x,[o，其它.求条件概率密度fxlr(xy)和fyx(ylx)0<x</y<1解题思路1.(1,1)f(x,y)fxlr(αxy)= fr(y)f(x,y)=x)二rlx(ylx)fx(x)ox沈阳师范大学

( ) ( ). 0, . 8 , 0 1, ( , ) ( , ) 2 f x y f y x xy x y f x y X Y 求条件概率密度 X Y 和 Y X 其它 设 二维随机变量 具有概率密度        = 例2 2 y = x O x y (1,1) 解题思路 ( ) ( , ) ( ) f y f x y f x y Y X Y = ( ) ( , ) ( ) f x f x y f y x X Y X = 0  x  y 1

例3设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0<x<1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度f(y)解，由题意知X具有概率密度[1, 0<x<1,fx(x)0，其它.对于任意给定的值 x(0< x<1),在X =x的条件下Y的条件概率密度为10<x<y<1,frx(yx) = 31-x其它.0,沈阳师范大学

. ( ). (0 1) , ( , 1) (0,1) , Y f y X x x Y x X 值 求 的概率密度 Y 时 数 在区间 上随机地取 设数 在区间 上随机地取值 当观察到 =   解 由题意知 X 具有概率密度    = 0, . 1, 0 1, ( ) 其它x fX x 对于任意给定的值 x(0  x  1), 在X = x的条件下, Y 的条件概率密度为    = −0, . , 0 1, 1 1 ( ) 其它x y fY X y x x 例 3

--因此X和Y的联合概率密度为f(x,y) = frix(yx)fx(x)10<x<y<1,=31-x其它.[0,故得Y的边缘概率密度fr(y) = fm f(x,j)dxdx =-ln(1-y),0 < y<1,Jo 1 - x其它.0,沈阳师范大学

因此 X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y) f ( y x) f (x) = Y X X         = − 0, . , 0 1, 1 1 其它 x y x 故得Y 的边缘概率密度 fY ( y) f (x, y)d x   − =      = − −   = −  0, . d ln(1 ),0 1, 1 1 0 其它 y x y y x

4小结1.设(X,Y)是二维离散型随机变量，P（i,j=1,2,…为其联合分布律,在给定Y=y；条件下随机变量X的条件分布律为P(X = x,,Y = y;}- PijP(X = x;Y = J,} =P(Y = y;}P在给定X=x，条件下随机变量Y的条件分布律为P(X = X,,Y = y;_ PjP[Y = y,;X = x,} =P(X = x;}Pi.其中i,j=1,2,…沈阳师范大学

小 结 其中i, j = 1,2,  . , { } { , } { } • = = = = = = = = i ij i i j j i i p p P X x P X x Y y P Y y X x 在给定 X x 条件下随机变量 Y 的条件分布律为 , { } { , } { } , 1. ( , ) , ( , 1,2, ) j ij j i j i j j ij p p P Y y P X x Y y P X x Y y Y y X X Y p i j • = = = = = = = = = 的条件分布律为 为其联合分布律 在给定 条件下随机变量 设 是二维离散型随机变量 