沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第三章 随机变量及其分布

第三章随机变量及其分布多维随机变量（主要是二维随机变量）的概念；二维随机变量的联合分布函数、离散1.型随机变量的联合分布律、连续型随机变量的联合概率密度的概念和性质，本章2.二维随机变量的边缘分布函数、边缘分布律（离散型）、边缘密度（连续型）.3.二维随机变量条件分布内容4.随机变量独立性的概念，离散型和连续型随机变量独立的条件.提要5.利用二维随机变量的分布计算有关事件的概率，6.二维均匀分布和二维正态分布7.两个随机变量的简单函数的分布.F(x,y), Py*f(x,y)联合分布：一维随机变量及其分布本章边缘分布：Fx(x),Fy(y); Pi,P.,;Jx(x),fr(y)知识条件分布：条件分布列；条件概率密度结构立：独充分必要条件体系两个rv函数的分布1.二维随机变量的联合分布函数，联合分布律，联合概率密度，常见的随机变量的分布重点2.边缘分布与联合分布的关系分析3.随机变量的独立性.1．边缘分布及其独立性难点2.条件分布分析3.随机变量函数的分布

第三章 随机变量及其分布 本章 内容 提要 1． 多维随机变量（主要是二维随机变量）的概念；二维随机变量的联合分布函数、离散 型随机变量的联合分布律、连续型随机变量的联合概率密度的概念和性质． 2． 二维随机变量的边缘分布函数、边缘分布律（离散型）、边缘密度（连续型）． 3． 二维随机变量条件分布 4． 随机变量独立性的概念，离散型和连续型随机变量独立的条件． 5． 利用二维随机变量的分布计算有关事件的概率． 6． 二维均匀分布和二维正态分布． 7． 两个随机变量的简单函数的分布． 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1． 二维随机变量的联合分布函数，联合分布律，联合概率密度，常见的随机变量的分布 2． 边缘分布与联合分布的关系 3. 随机变量的独立性． 难点 分析 1． 边缘分布及其独立性 2． 条件分布 3. 随机变量函数的分布． 二 维 随 机 变 量 及 其 分 布 联合分布： F x y ( , ) ， ij p ， f x y ( , ) 边缘分布： ( ), ( ) F x F y X Y ； , i j p p   ； ( ), ( ) X Y f x f y 条件分布： 条件分布列；条件概率密度 独 立： 充分必要条件 两个 rv 函数的分布

第十一讲3.1二维随机变量及其联合分布本节一、二维随机变量及其联合分布函数内容二维离散型随机变量及其联合分布列提要三、二维连续型随机变量及其联合概率密度教学目的理解二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合概率密度的概念和性质要求重点二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合概率密度的概念和性质难点联合概率密度的概念和性质，概率的计算学时2学时与主要二维随机变量及其联合分布函数15分钟内容二维离散型随机变量及其联合分布列15分钟时间二维连续型随机变量及其联合概率密度50分钟分配小结及练习10分钟教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第十一讲 3.1 二维随机变量及其联合分布 本节 内容 提要 一、二维随机变量及其联合分布函数 二、二维离散型随机变量及其联合分布列 三、二维连续型随机变量及其联合概率密度 教学 目的 要求 理解二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合概率密度的概念和性质 重点 二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合概率密度的概念和性质 难点 联合概率密度的概念和性质，概率的计算 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 二维随机变量及其联合分布函数 15 分钟 二维离散型随机变量及其联合分布列 15 分钟 二维连续型随机变量及其联合概率密度 50 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附 注引入：在上一章我们只限于讨论一个随机变量的情况。而在很多随机现象中，只有一个随机变量来描述往往是不够的，而要涉及到多个随机变量，并且这些随机变量之间往往都有一定的联系例如：为了研究某地区学龄前儿童的生长发育情况，对于每个儿童观察他的身高X和体重Y，X和Y是两个定义在同一样本空间中的两个随机变量，并且X与Y之间有一定的相关性。因而我们有必要将X、Y放在一起作为一个整体进行研究，记作（X，Y）：炮弹的弹着点的平面位置也需要两个随机变量共同来描述（X，Y），称为二维随机变量（或二维随机向量）：飞机在空间的位置需要三个随机变量来描述(X,X2，X），称为三维随机变量（或三维随机向量），再如，地震现象需要经度X，纬度X，深度X，，裂度X，等多个指标来描述（X,X2,XX），依此类推…设Xi,X2,.X，是定义在同一样本空间中的n个随机变量，则称(Xi,X,.X）为n维随机变量（或n维随机向量）.其中第i个随机变量X,称为第i个分量，和一维随机变量类似，n维随机变量也借助“分布函数”来研究，对任意的n个实数x2,x，则n个事件(X,≤x),(X,≤x),,{X,≤x)同时发生的概率F(x,x2,*,x)=P(X,≤X,X, ≤x2,*,X,≤x) (X,X2,,xeR)称为n维随机变量(X,X2,X,）的联合分布函数上一章讨论的随机变量实际上是一维随机变量，本章重点讨论二维随机变量.讲授新课、二维随机变量及其联合分布函数定义1设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数，它表示随机事件(X≤x)与(Y≤y)同时发生的概率

教学过程 附 注 引入： 在上一章我们只限于讨论一个随机变量的情况． 而在很多随机现象中，只有 一个随机变量来描述往往是不够的，而要涉及到多个随机变量，并且这些随机变量 之间往往都有一定的联系． 例如：为了研究某地区学龄前儿童的生长发育情况，对于每个儿童观察他的身 高 X 和体重 Y ，X 和 Y 是两个定义在同一样本空间中的两个随机变量，并且 X 与 Y 之间有一定的相关性． 因而我们有必要将 X、Y 放在一起作为一个整体进行研 究，记作 ( , ) X Y ；炮弹的弹着点的平面位置也需要两个随机变量共同来描述 ( , ) X Y ，称为二维随机变量（或二维随机向量）；飞机在空间的位置需要三个随机 变量来描述 1 2 3 ( , , ) X X X ，称为三维随机变量（或三维随机向量），再如，地震现 象需要经度 X1 ，纬度 X2 ，深度 X3 ，裂度 X4 等多个指标来描述 1 2 3 4 ( , , , ) X X X X ， 依此类推. 设 1 2 , , X X X n 是定义在 同 一 样 本 空 间 中 ． ． ． ． ． ． ．的 n 个 随 机 变 量 ， 则 称 1 2 ( , , ) X X X n 为 n 维随机变量（或 n 维随机向量）．其中第 i 个随机变量 Xi 称为 第 i 个分量． 和一维随机变量类似， n 维随机变量也借助“分布函数”来研究． 对 任 意 的 n 个实数 1 2 , , , n x x x ， 则 n 个 事 件 X x X x X x 1 1 2 2    , , ,    n n 同时发生的概率 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) { , , , } ( , , , ) F x x x P X x X x X x x x x R n n n n =     称为 n 维随机变量 1 2 ( , , ) X X X n 的联合分布函数． 上一章讨论的随机变量实际上是一维随机变量，本章重点讨论二维随机变量． 讲授新课 一、二维随机变量及其联合分布函数 定义 1 设 ( , ) X Y 是二维随机变量，对于任意实数 x、y ，称二元函数 F x y P X x Y y ( ) { } , , =   为二维随机变量 (X，Y) 的分布函数或随机变量 X 与 Y 的联合分布函数，它表示随 机事件 {X  x} 与 {Y  y} 同时发生的概率．

教学过程附注如果将二维随机变量（X,Y)视为平面上随机点的坐标，则分布函数F(x，y)描述的就是随机点(X,Y)落入点(x，y)左下方无限矩形内的概率，如图3.1中阴影部分所示.J4(x,y)...8x88888888888888888888888888888图3.1联合分布函数示意图由分布函数的定义及概率的性质可以证明二维随机变量分布函数F(x，y）具有以下基本性质：(1) 0≤F(x,y)≤1;对任意固定的y，F(-oo,y)=lim F(x,y)=0,对任意固定的x，F(x,-co)=limF(x,y)=0,limF(x,y)=0,F(-00,-00)=,(3,J)→(000)F(+o0,+)=limF(x,y)=1(x,y)→(+,+o0)（2）F(x,y)关于变量x或y均是单调不减函数，即对任意固定的y，当x>xz，则F(,y)≥F(x2)；对任意固定的x，当>，则F(x,y)≥F(x,y2);(3）右连续，即有F(x+0,y)=F(x,y)及F(x,y+O)=F(x,y)(4)对任意的(,),(2,y2）x<x,J<y2，随机点(X,)落入区域D=(x,J)x,<x≤x2,Ji<y≤y2)内的概率（如图3.2):P=F(x, y2)-F(x2, y)-F(xp y2)+F(x, )上式≥0

教学过程 附 注 如果将二维随机变量 ( , ) X Y 视为平面上随机点的坐标，则分布函数 F x y ( ) , 描 述的就是随机点 ( , ) X Y 落入点 ( ) x y ， 左下方无限矩形内的概率，如图 3．1 中阴影 部分所示． 图 3．1 联合分布函数示意图 由分布函数的定义及概率的性质可以证明二维随机变量分布函数 F x y ( ) , 具有 以下基本性质： （1） 0 ( ) 1   F x y, ； 对任意固定的 y ， ( ) lim ( ) 0 x F y F x y →− − = = , , ， 对任意固定的 x ， ( ) lim ( ) 0 y F x F x y →− ，−  = = , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 0 x y F F x y → − − − −  = = ， , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 1 x y F F x y → + + + +  = = ， , （2） F x y ( ) , 关于变量 x 或 y 均是单调不减函数，即对任意固定的 y ，当 1 2 x x  ， 则 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , ,  ； 对 任 意 固 定 的 x ， 当 1 2 y y  ， 则 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , ,  ； （3）右连续，即有 F x y F x y ( 0 ) ( ) + = , , 及 F x y F x y ( 0) ( ) , , + = ； (4) 对 任 意 的 1 1 2 2 ( ),( ) x y x y , , 1 2 1 2 x  x , y  y ，随机点 (X,Y) 落 入 区 域 {( , ) , } 1 2 1 2 D = x y x  x  x y  y  y 内的概率（如图 3．2）： P = 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y F x y F x y F x y ( ) ( ) ( ) ( ) ， −−+ ， ， ， 上式  0 ． O ( , ) x y x y y

教学过程附注(x, y2)(x2, y2)x(x,y)(x2, y)图3.2区域D内的概率二维随机变量根据其取值，大体上分为两类：离散型和连续型，下面分别讨论。二、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量（X,Y）可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称显然二维离散型随机变量(X,Y)的每个分量也(X,Y）为二维离散型随机变量.是离散型随机变量，定义2设二维离散型随机变量（X,Y）所有可能的取值为(x,y)，(i,j=1,2)，且对应的概率为P(X =x, Y=y,}= P,i,j=1,2,...则称上式为二维随机变量（X，Y）的分布律或X与Y的联合分布律也常用表格表示X与Y的联合分布律，如下表所示.P............yiy2y,X.........XPlPi2PujX2.....P21P2..P2j::::....青....PiiP.2Pu::::.....由概率的定义，二维离散型随机变量的分布律应满足如下基本性质：(1) p, ≥0, i, j=1, 2,...,特节(2)ZZp,=1i=l j=l例1将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒

教学过程 附 注 二维随机变量根据其取值，大体上分为两类：离散型和连续型．下面分别讨论． 二、二维离散型随机变量及其联合分布律 如果二维随机变量 ( , ) X Y 可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称 ( , ) X Y 为二维离散型随机变量． 显然二维离散型随机变量 ( , ) X Y 的每个分量也 是离散型随机变量． 定 义 2 设 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ( ) X Y, 所 有 可 能 的 取 值 为 ( ) i j x y, , ( 1 2 ) i j , = ， ,且对应的概率为 { } 1 2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij , ， , , 则称上式为二维随机变量 ( , ) X Y 的分布律或 X 与 Y 的联合分布律．也常用表格表 示 X 与 Y 的联合分布律，如下表所示． Y X 1 y 2 y . j y . 1 x 11 p 12 p . p1 j . 2 x 21 p 22 p . p2 j .    .  . i x pi 1 i2 p . pij .    .  . 由概率的定义，二维离散型随机变量的分布律应满足如下基本性质： （1） 0 1, 2, ij p i j  = ， ， （2） 1 1 1 ij i j p + + = =  = 例 1 将两封信随意地投入 3 个空邮筒，设 X 、Y 分别表示第 1、第 2 个邮筒 2 2 ( ) x y 1 2 ， ( ) x y ， 1 1 ( ) x y ， 2 1 ( ) x y ， O x 图 3．2 区域 D 内的概率

教学过程附注中信的数量，求（1）X与Y的联合分布列（2）第3个邮筒里至少投入一封信的(31)(31处的值H概率（3）联合分布函数在点2'2)22解（1）X、Y各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，（X，Y)取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能取其它值的概率可由古典概率计算如下：11P(X = 0,Y =0) = 3292_2P(X = 0,Y =1) = P(X =1,Y =0) =3"92P(X =1, Y =1) =9P(X = 2, Y = 0 = P(X =0,Y = 2) =O于是，（X，Y）的联合概率分布律为Y201X2-91-91-902192191012009（2）P（第三个邮筒里至少有一封信）一P第一、二个邮筒里最多只有一封信）1.2.25= P(X+Y ≤1) = P(X =0,Y =0)+P(X =0,Y=I)+P(X=1,Y =0) =9999即第三个邮简里至少有一封信的概率为否，9(31(3)(X,Y)的联合分布函数F(x,J)在点处的值(2°2)()-+-(x-0+(-)712~2-121993三、二维连续型随机变量及其联合概率密度

教学过程 附 注 中信的数量，求（1） X 与 Y 的联合分布列（2）第 3 个邮筒里至少投入一封信的 概率（3）联合分布函数在点 3 1 , 2 2       处的值 3 1 , 2 2 F       ． 解 （1） X 、Y 各自可能的取值均为 0、1、2，由题设知， (X，Y) 取（1，2）、 （2，1）、（2，2）均不可能． 取其它值的概率可由古典概率计算如下： 2 2 1 1 { 0, 0} 3 9 2 2 { 0, 1} { 1, 0} 3 9 2 { 1, 1} 9 1 { 2, 0} { 0, 2} 9 P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 于是， ( , ) X Y 的联合概率分布律为 Y X 0 1 2 0 9 1 9 2 9 1 1 9 2 9 2 0 2 9 1 0 0 （2） P P { } { } 第三个邮筒里至少有一封信 ＝ 第一 、二个邮筒里最多只有一封信 1 2 2 5 { 1} { 0, 0} { 0, 1} { 1, 0} 9 9 9 9 = +  = = = + = = + = = = + + = P X Y P X Y P X Y P X Y 即第三个邮筒里至少有一封信的概率为 9 5 ． (3) ( X Y, ) 的联合分布函数 F x y ( , ) 在点 3 1 , 2 2       处的值     3 1 3 1 , , 0, 0 1, 0 2 2 2 2 1 2 1 . 9 9 3 F P X Y P X Y P X Y       =   = = = + = =       = + = 三、二维连续型随机变量及其联合概率密度

附 注教学过程将二维随机变量（X，Y）视为平面上的随机点，如果其取值充满某一区域，则(X,Y）为二维连续型随机变量.下面给出二维连续型随机变量及其联合概率密度的定义.1.二维连续型随机变量的定义定义3设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对任意实数x、y，有F(x, y)=ff(u,v)dudhy则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称函数f(x，J)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合密度.与一维连续型随机变量类似，二维连续型随机变量联合概率密度函数具有以下基本性质：(1）非负性：f(x,y)≥0;(2)规范性：[ff(x,y)dxdy=1;反之，若一个二元函数具有以上两条性质就可以作为某二维随机变量的联合概率密度函数.此外，联合密度函数还具有下列性质："F(x, = f(x, ):(3）若f(x,J)在点(x,J)处连续，则有axoy（4）设D是xoy平面上任一区域，则点(x,y)落在D内的概率为P((X, Y)e D)= [[ f(x, y)dxd)F几何上，二元函数f(x,y）表示三维空间中的一张曲面，f(x,y)dxdy在几何上就表示xOy平面以上，曲面f(x,y)以下，小区域dxdy为底面积的曲顶柱体的体积．如图3.3所示

教学过程 附 注 将二维随机变量 ( , ) X Y 视为平面上的随机点，如果其取值充满某一区域，则 ( , ) X Y 为二维连续型随机变量．下面给出二维连续型随机变量及其联合概率密度的 定义． 1．二维连续型随机变量的定义 定义 3 设二维随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( ) , ，如果存在非负可积的 二元函数 f x y ( ) , ，使得对任意实数 x、y ，有 ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − =   , 则称 ( , ) X Y 为二维连续型随机变量，称函数 f (x，y) 为二维随机变量 ( , ) X Y 的 联合概率密度函数，简称联合密度． 与一维连续型随机变量类似，二维连续型随机变量联合概率密度函数具有以下 基本性质： （1）非负性： f x y ( , ) 0  ； （2）规范性： f x y dxdy ( , ) 1 + + − − =   ； 反之，若一个二元函数具有以上两条性质就可以作为某二维随机变量的联合概 率密度函数． 此外，联合密度函数还具有下列性质： （3）若 f (x, y) 在点 (x, y) 处连续，则有 2 ( ) ( , ) F x y f x y x y  =   ， ； （4）设 D 是 xoy 平面上任一区域，则点 (x, y) 落在 D 内的概率为 ( ) ( )  D P X Y D f x y dxdy  =  , , 几何上，二元函数 f x y ( ) , 表示三维空间中的一张曲面， f x y dxdy ( ) , 在几何 上就表示 xOy 平面以上，曲面 f x y ( ) , 以下，小区域 dxdy 为底面积的曲顶柱体的 体积．如图 3．3 所示．

教学过程附注2f(x,y)y图3.3密度函数几何图例2设二维随机变量（X，Y)的密度函数为[Cxy,0≤x≤1, 0≤y≤1f(x,y)=[o,其它求(1)常数C,(2)P(X+YY).ty+y=l图3.4(a)图3.4(b)图3.4(c)图3.4密度函数的定义区间及其所求概率区间解（1）利用二维随机变量密度函数的性质(2）规范性，再由图3.4（a）所示，f(x,y)在阴影部分不为0，其余均为0，从而CCxydy=1= Jt [ (x,y)dxdy=fdaxf.故C=4（2）积分区域为图3.4（b）中阴影部分，从而P(X +Y Y)=

教学过程 附 注 图 3．3 密度函数几何图 例 2 设二维随机变量 ( ) X Y, 的密度函数为 0 1 0 1 ( ) 0 Cxy x y f x y      =   其它 ， ， , ， 求（1） 常数 C ，（2） P X Y { 1} +  ，（3） P X Y { }  ． 图 3.4 (a) 图 3.4(b) 图 3.4 (c) 图 3．4 密度函数的定义区间及其所求概率区间 解 （1）利用二维随机变量密度函数的性质(2) 规范性，再由图 3.4（a）所 示， f x y ( ) , 在阴影部分不为 0，其余均为 0，从而 1 1 0 0 1 ( , ) 4 C f x y dxdy dx C x ydy + + − − = = =     故 C = 4 （2）积分区域为图 3.4（b）中阴影部分，从而 P X Y { 1} +  =   −x dx xydy 1 0 1 0 4 6 1 = （3）积分区域为图 3.4（c）中阴影部分，从而 1 0 0 3 ( ) 4 4 x P X Y dx xydy  = =   f x y ( ) , z x y O

教学过程附注小结：思考题：作业：超星学习平台线上作业；P87习题三：1，2，10

教学过程 附 注 小 结: 思考题： 作业：超星学习平台线上作业；P87 习题三 ：1，2，10

第十二讲3.1续3.2边缘分布一、常见的二维连续型随机变量本节边缘分布函数内容三、边缘分布列提要四、边缘密度函数教学目的掌握常见的二维连续型随机变量：理解边缘分布的概念与性质要求重点边缘分布的概念与性质难点由联合概率密度函数确定联合分布函数：学时2学时与主要边缘分布函数15分钟内容边缘分布列15分钟时间边缘密度函数50分钟分配小结及练习10分钟教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学札记

第十二讲 3.1 续 3.2 边缘分布 本节 内容 提要 一、常见的二维连续型随机变量 二、边缘分布函数 三、边缘分布列 四、边缘密度函数 教学 目的 要求 掌握常见的二维连续型随机变量；理解边缘分布的概念与性质 重点 边缘分布的概念与性质 难点 由联合概率密度函数确定联合分布函数； 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 边缘分布函数 15 分钟 边缘分布列 15 分钟 边缘密度函数 50 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 札记