沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.3 线性变换的矩阵

S7.3 线性变换的矩阵2

§7.3 线性变换的矩阵 2

复习问题线性空间的同构是怎样定义的？

3 复习问题 线性空间的同构是怎样定义的？

预习问题1.线性变换矩阵的定义2.线性变换与基底的关系？（线性变换对向量的作用由什么决定？）3.线性变换的集合对运算是否做成线性空间？此线性空间的结构是怎样的？4.线性变换的矩阵求法

4 预习问题 1.线性变换矩阵的定义 2. 线性变换与基底的关系？ （线性变换对向量的作用由什么决定？） 3.线性变换的集合对运算是否做成线性空间？ 此线性空间的结构是怎样的？ 4.线性变换的矩阵求法

S7.3线性变换的矩阵第七章线性变换一、引入概念设V是数域P上n维线性空间，E1,E2,，En是V的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系线性空间V中任意一个向量可以被基1,&2,n线性表出，即有关系式(1)E=X1E1+X2E2+...+XnEn其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标。5

5 第七章 线性变换 §7.3 线性变换的矩阵 一 、引入概念 设𝑽是数域𝑷上𝒏维线性空间，𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏是𝐕的一组基，现 在建立线性变换与矩阵关系. 线性空间𝑽中任意一个向量𝝃可以被基𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏线性表出，即 有关系式 𝝃 = 𝒙𝟏𝜺𝟏 + 𝒙𝟐𝜺𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏𝜺𝒏 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是𝝃在这组基下的坐标

S7.3线性变换的矩阵第七章线性变换由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像与基的像A1,A2....，Asn之间也必然有相同的关系：A =A(X1E1+X2E2+.. +Xnn)(2)=x1A(c1)+x2A(2)+... +xnA (en)上式表明，如果知道了基ε1,E2，…En的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了。线性变换在一组基底下的像由什么决定？基像组6

6 第七章 线性变换 §7.3 线性变换的矩阵 由于线性变换保持线性关系不变，因而在𝝃的像A𝝃与基的 像A𝜺𝟏,A𝜺𝟐,.，A𝜺𝒏之间也必然有相同的关系： A𝝃 =A（𝒙𝟏𝜺𝟏 + 𝒙𝟐𝜺𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏𝜺𝒏） =𝒙𝟏A(𝜺𝟏)+𝒙𝟐A(𝜺𝟐)+.+𝒙𝒏A (𝜺𝒏) (2) 上式表明，如果知道了基𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏的像，那么线性空间中 任意一个向量𝛏的像也就知道了。 线性变换在一组基底下的像由什么决定？ 基像组

命题．设,&2，8,是线性空间V的一组基，如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即-i=1,2,....n.A&,=B,那么A=B.证明A与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同.因此，我们就是要证明对任一向量，等式A_成立，而由(2）及假设，即得A=e)+x)++A(8,=xB(e)+x, B(c,)+.+x, B(8,)7

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结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.←8

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定理1设1,2,En是线性空间V的一组基，α1,α2,α是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使Ai=αii = 1,2,..,n.分析证明思路：1）存在性对任意的α1,α2,,αn一定有一个线性变换A使i= 1,2,..,nAεi=αi2）唯一性：若存在线性变换B与A在这组基上的作用相同，即i= 1,2,,nAB;=BEi'那么A=B

定理1 设𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏是线性空间𝑽的一组基，𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒏是𝑽中 任意𝒏个向量.存在唯一的线性变换A使 A𝜺𝒊=𝜶𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏. 分析证明思路： 1）存在性 对任意的𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒏一定有一个线性变换A使 A 𝜺𝒊=𝜶𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏. 2）唯一性：若存在线性变换ℬ与A在这组基上的作用相同， 即 A𝜺𝒊=B𝜺𝒊， 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏, 那么A= B

S7.3线性变换的矩阵第七章线性变换证明我们来作出所要的线性变换，设一nxs,5=Zi1是线性空间V中的任意一个向量，一我们定义V的变换一nA为A=x,α;i1L

第七章 线性变换 §7.3 线性变换的矩阵

S7.3线性变换的矩阵第七章线性变换下面来证明变换A是线性的。在V中任取两个向量nnβ=Zb,e,4=C,8i=1i=1

第七章 线性变换 §7.3 线性变换的矩阵