沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第9章 欧氏空间 9.4 正交变换

S 9. 4 正交变换2

§9.4 正交变换 2

89.4正交变换第九章欧氏空间正交变换的概念及性质定义99V是欧氏空间，&(EL(V))称为正交变换，如果对任意的α,βEV, (,β) = (α,β)性质1(定理1)V是欧氏空间，&ELV)，则以下条件等价：1)是正交变换2)对任意的αEV，「α|=|α|（即保持向量的长度不变）；3)&,&2，,n是V的标准正交基，则1,2,&，是V的标准正交基；4)在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵

性质1 (定理1) V是欧氏空间，A ∈L(V)，则以下条件等 价： 1) A 是正交变换； 2) 对任意的α∈V，│Aα│=│α│（即保持向量的长度不 变）； 3) ε1 ,ε2 , ···,εn 是V的标准正交基，则Aε1 ,Aε2 , ···,Aεn 是V的标准正交基； 4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换 一 正交变换的概念及性质 定义9 V是欧氏空间，A (∈L(V))称为正交变换，如果对任意的 α,β∈V, (Aα,Aβ) = (α,β)

S9.4正交变换第九章欧氏空间证明：证明思路:(2)仁(1)仁(3)←(4）是正交变换，即αV,（α,α)=(α,α)→α=(1)台(2) (αα,αα) =/(α,α) =| α [.α,α)=(α,α) VV,=→Vα,βeV(β,β)=(β,β)展开((α+β), (α+β)=(α+β, α+β)(α, αα)+2(αα, β)+(β,β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)(α,β)=(α,β),即α是正交变换

证明： 证明思路： (2) (1) (3) (4)    (1) (2)   是正交变换，即  = → =       V, ( , ) ( , ) A A A ( , ) ( , ) A A      = = .  ( , ) ( , ) V, , V, ( , ) ( , )               =   = →     = A A A A A → ( ( ), ( )) ( , ) A A         + + = + + ⎯⎯⎯→ 展开 ( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) A A A A A A             + + = + + → ( , ) ( , ) A A     = ,即 A 是正交变换. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换

89.4正交变换第九章欧氏空间1 i=j(1)(3) →设6j,62,,, 是 V的标准正交基，即(sj,6)0itj1 i=j是正交变换>(08,08)=(6,8)(i, j=1,2,,n)o i*j(i,j=1,2,,n)→ j,2,,, 是 V的标准正交基设,2,",；,2,",,都是 V的标准正交基.Vα,βeVα=x,g,+.+X.cnα=Xe,+.+X.enβ=ygi+..+yonβ=yie,+...+yne.得(α,β)=xyi=…=x,=(α,β)，即是正交变换

(1) (3)   设 1 2 n    , , , 是 V 的标准正交基，即 i j 1 i j ( , ) 0 i j    = =    ， (i, j 1,2, ,n) = i j i j 1 i j ( , ) ( , ) 0 i j      = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = =    A是正交变换 A A (i, j 1,2, ,n) = → 1 2 n A A A    , , , 是 V 的标准正交基.  设 1 2 n    , , , ； 1 2 n A A A    , , , 都是 V 的标准正交基.    , V , 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n x x x x y y y y               = + + = + +   → → = + + = + +   A A A A A A 得 1 1 n n ( , ) x y x y ( , )     = = = = A A ，即 A 是正交变换. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换

→设在标准正交基,8,6下的矩阵是A→(3) (4)(81,E2,.-,n)=(cE1,E2,",0E,)=(81,E2,..,8,)A,即矩阵A是标准正交基6,62,8到标准正交基,2,8的过渡矩阵→A是正交矩阵←A是正交矩阵 →(j,62,,6,)=(6j,62,,6)A，A可逆,2,是V的基，且aria2iakiek i=1,2,..,n8=(81,82,.,8,2..k=1anili=j(),,)=(anx, Zane)=≥ana,(8,8)=anay =loijK=（因为A是正交矩阵，故6,62…,是标准正交基），故,82，…，是标准正交基

(3) (4)   设 A 在标准正交基 1 2 n    , , , 下的矩阵是 A → 1 2 n 1 2 n 1 2 n A A A A ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )A          = = ， 即矩阵 A 是标准正交基 1 2 n    , , , 到标准正交基 1 2 n A A A    , , , 的过渡矩 阵 → A 是正交矩阵.  A 是正交矩阵 → 1 2 n 1 2 n ( , , , ) ( , , , )A A A A       = ，A 可逆 → 1 2 n A A A    , , , 是 V 的基，且 1i n 2i i 1 2 n ki k k=1 ni a a ( , , , ) a i 1, 2, , n a          = = = →         A  i j 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 n n n n n ki k li l ki lj k l ki kj k k k l k i j a a a a a a i j       = = = = =  = = = = =        A A （因为 A 是正交矩阵，故 1 2 n    , , , 是标准正交基），故 1 2 n A A A    , , , 是 标准正交基. □

s9.4正交变换第九章欧氏空间性质2正交变换是可逆的线性变换证明：正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵可逆，故正交变换可逆性质3正交变换是V到V的同构映射证明：正交变换α可逆，故是双射.α是线性变换，故α(α+β) = (α) +α(β); &(ka) = kα (α)&是正交变换，故(&,&β)=(α,β).所以&α是V到V的同构映射性质4&，是正交变换，则-1,&是正交变换证明：设α，在标准正交基下的矩阵是A,B→A,B是正交矩阵，且A-1，AB是正交矩阵→&-1，&是正交变换

性质2 正交变换是可逆的线性变换. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换 证明： 设A , B 在标准正交基下的矩阵是A, B → A, B是正交矩 阵，且A－1 ，AB 是正交矩阵 → A －1 , AB 是正交变换. 证明： 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交 矩阵可逆，故正交变换可逆. 性质3 正交变换是V到V的同构映射. 证明： 正交变换A 可逆，故是双射. A 是线性变换，故 A (α+β) = A (α) +A (β)； A (kα) = kA (α). A是正交变换，故 (Aα, A β) = (α, β). 所以A 是V到V的同构映射 性质4 A , B 是正交变换，则 A －1 , AB 是正交变换

性质5在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应￥设正交变换α对应的正交矩阵为A，则A|=±1一称IA|为正交变换α的行列式；当|A「=1时，称α为第一类正交变换（或旋转)；当IAI=一1时，称α为第二类正交变换。性质6正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定证明：设c是正交变换 →对任意的α,βEV，(c(α),o(β) = (α,β) ;Iα= /(α) /β /= /o(β) /当α,β中有一个为0，则(α),α(β))中有一个为0，故 = =90°;若α,β均非0向量，则 = arccos (o(α),o(β)/ / o(α) / I o(β) I=arccos (α,β)/ α / 「β|= ,即保持向量夹角不变反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换

性质5 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应. * 设正交变换A 对应的正交矩阵为A，则｜A｜=±1 → 称｜A｜为正交变换A 的行列式；当｜A｜= 1时，称A 为第一类 正交变换 (或旋转)；当｜A｜=－1时，称A 为第二类正交变换. 性质6 正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定. 证明： 设σ是正交变换 → 对任意的α,β∈V , (σ(α),σ(β)) = (α,β)； ｜α｜= ｜σ(α)｜, ｜β｜=｜σ(β)｜. 当α,β中有一个为0，则σ(α),σ(β))中有一个为0，故 〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉= 900； 若α,β均非0向量，则 〈α,β〉= arccos (σ(α),σ(β))/｜σ(α)｜｜σ(β)｜ = arccos (α,β)/｜α｜｜β｜= 〈σ(α),σ(β)〉, 即 σ保持向量夹角不变. 反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换

S9.4正交变换第九章欧氏空间例1V,中将每一向量按逆时针方向旋转θ度的变换是正交变换6. 取标准正交基=(1, 0), &2 =(0, 1), 则容易验证矩阵A是正交矩阵，且A1=1，故c是第一类正交变换

例1 V2中将每一向量按逆时针方向旋转θ度的变换是正交变换 σ. 取标准正交基ε1= (1, 0), ε2 = (0, 1), 则 容易验证矩阵A是正交矩阵，且｜A｜= 1，故σ是第一类正交变换. 𝜎(𝜀1, 𝜀2) = (𝜀1, 𝜀2)A, A = cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换

S9.4正交变换第九章欧氏空间例2令元是过原点的平面，aαα是V3关于元的镜面风射取81,&2为元的标准正交基，即过原点互相垂直的单位向量构成基取为过原点且垂直元的单位向准正量，则61,82,&3为V的标o(α交基．由镜面反射的定

例2 令π是过原点的平面， α σ是V3关于π的镜面反射. 取ε1 ,ε2 为π的标准正交 基，即过原点互相垂直的 o π 单位向量构成基. 取ε3为 过原点且垂直π的单位向 量，则ε1 ,ε2 , ε3为V的标 σ(α) 准正 交基. 由镜面反射的定 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换

s9.4正交变换第九章欧氏空间义， 0(c) =81, (ε2) =&2, 0(&3) = -&3. 对任意的αEV3 '设=Xi8j+X282+X3&3,则(α) = X10(c) + X20(82) + X30(83) = X18 + X282- X33 ,故| (α)|2=x2 +x22 +x2= |α|,即推出(α)「=「α丨，所以是正交变换。由如上过程可知以下等式成立，即c的行列式1B「=1，即c是第二类正交变(E1, E2, E3) = (E1, E2, E3)B/1B =1-1

｜σ(α)｜= ｜α｜，所以σ是正交变换. 由如上过程可知 𝝈 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑 = 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑 𝐁, 𝐁 = 𝟏 𝟏 −𝟏 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换 义，σ(ε1 ) =ε1 , σ(ε2 ) =ε2 , σ(ε3 ) = －ε3 . 对任意的α∈V3 ， 设α= x1 ε1 + x2 ε2 + x3 ε3 , 则 σ(α) = x1σ(ε1 ) + x2σ(ε2 ) + x3σ(ε3 ) = x1 ε1 + x2 ε2 －x3 ε3 , 故 ｜σ(α)｜2 = x1 2 + x2 2 + x3 2 = ｜α｜, 即推出 以下等式成立，即σ的行列式｜B｜= －1，即σ是第二类正交变