沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.1 线性变换的定义

S7. 1 线性变换的定义2

§7.1 线性变换的定义 2

预习问题1.线性变换的定义2.线性变换与同构映射的区别

3 预习问题 1.线性变换的定义 2.线性变换与同构映射的区别

S7.1线性变换的定义第七章线性变换一、线性变换的定义及实例定义1映射&：V一V称为线性空间V上的一个变换：V上的变换称为线性变换，如果对任意的α,βEV,对任意的kEP1) (α+β)= &(α)+α(β) ;2) (ka)= k(α)本教材一般用花体拉丁字母&，，表示线性变换；称如上条件1），2为“线性变换保持向量加法和数乘不变”注意与同构映射f：V一W（V，W为线性空间）的异同之处

4 第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义 一、线性变换的定义及实例 定义1 映射 A ：V→V称为线性空间V上的一个变换；V上的变 换A 称为线性变换，如果 对任意的α,β∈V, 对任意的k∈P, 1) A (α+β)= A (α)+ A (β)； 2) A (kα)= k A (α). ⚫ 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，···表示线性变换； ⚫ 称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变” ； ⚫ 注意与同构映射 f：V→W（V，W为线性空间）的异同之处

启发线性变换就好比一所大学，学生就好比向量，线性变换对向量的作用就好比大学对学生的培养和学生自身努力，毕业时的样子就可看作线性变换作用得到的像。用线性变换作用向量α的常数倍k，正数k表示正能量，负数k表示负能量，k就好比学生的努力程度。当k为正数时，看作学生很努力，线性变换作用于一个向量的正常数倍，则像也为向量的正常数倍，即&(kα)kα(α).意为学生成为人才。当k为负数时，看作学生不努力，线性变换作用于一个向量的负常数倍，则像也为向量的负常数倍，意为学生不能成为人才。因此，我们青年学生，在平时的学习中要用勤奋的汗水，浇灌出属于自己的成功之花

启发 线性变换就好比一所大学，学生就好比向量，线性变换对向 量的作用就好比大学对学生的培养和学生自身努力，毕业时的样 子就可看作线性变换作用得到的像。 用线性变换作用向量𝜶的常数倍𝒌，正数𝒌表示正能量，负数 𝒌表示负能量， 𝒌就好比学生的努力程度。 当𝒌为正数时，看作学生很努力，线性变换作用于一个向量 的正常数倍，则像也为向量的正常数倍，即 A (𝒌α)=𝒌A (α).意为 学生成为人才。 当𝒌为负数时，看作学生不努力，线性变换作用于一个向量的 负常数倍，则像也为向量的负常数倍，意为学生不能成为人才。 因此，我们青年学生，在平时的学习中要用勤奋的汗水，浇 灌出属于自己的成功之花

S7.1线性变换的定义第七章线性变换例1 ：V2→V2,(a)=α(α按逆时针方向旋转0度得αl),（即二维平面上的旋转变换）。设α,α的坐标分别是(x，y),（x,y'),则cos -sin)(xXsin 0cosa八y)可以证明，%是二维平面V,上的一个线性变换。证明：对任意的α,βEV，设α+β=（如图）6

6 第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义 例1 S θ：V2→V2 , S θ (α) =α / (α按逆时针方向旋转θ度得α / )， （即二维平面上的旋转变换）。 设α,α的坐标分别是 (x, y), ( x/ , y/ ), 则 . 可以证明， S θ是二维平面V2 上的一个线性变换。 / / x cos sin x y sin cos y           −   =           证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图）

S7.1线性变换的定义第七章线性变换(α+β) = () =/=αl +β= (α) + (β) (kβ)=k=k(β).故是Vz上的线性变换oYCk--0kβB

S θ (α+β) = S θ (γ) =γ /=α / +β/= S θ (α) + S θ (β) ， S θ (kβ) = kβ /= k S θ (β) . 故S θ是V2 上的线性变换. α γ θ β kβ 第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义

S7.1线性变换的定义第七章线性变换例2设α是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在α上的内射影的变换也是一个线性变换，以II~表示它用公式表示就是(α,5)α.I)(α,α)这里(α,)(α,α)表示内积.-

第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义

87.1线性变换的定义第七章线性变换ke

第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义

S7.1线性变换的定义第七章线性变换例3 设V是数域P上的线性空间，kEP, 定义V上的变换为α一kα(对任意的αEV)， 可以证明该变换为线性变换，称为由数k确定的数乘变换，并用%表示当k=1时， 即为恒等变换， 当k=0时，即为零变换证明：%显然是V上的变换.现仅证其为线性变换对任意的α,βEV,aEP%(α+ β)=k(α+ β)=kα+kβ=%(α)+ %(β),%(aα) = k (aα) = (ka)α= a(kα) = a %(α)故%是V上的线性变换

第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义 例3 设V是数域P上的线性空间，k∈P, 定义V上的变 换为α→kα (对任意的α∈V )，可以证明该变换为线性 变换，称为由数k确定的数乘变换，并用K 表示. 当 k = 1时，即为恒等变换，当k = 0时，即为零变换. 证明： K 显然是V上的变换. 现仅证其为线性变换. 对任意的α,β∈V , a∈P, K (α+β) = k(α+β) = kα+kβ= K (α)+ K (β)； K (aα) = k (aα) = (ka)α= a(kα) = a K (α). 故 K是V上的线性变换

S7.1线性变换的定义第七章线性变换例4.在线性空间P[x]或者P[x],中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用①代表，即D (f(x)) =f(x).-例5.定义在闭区间[a.b]上的全体连续函数组成实数域上-线性空间，以c(a,b)代表.在这个空间中变换-g (f(x)) =f(t)dt -是一线性变换.11

11 第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义