沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.2 标准形

s 5. 2 标准形2

§5.2 标准形 2

S5.2标准型第五章二次型学习目标1.二次型的标准型的定义2.化二次型为标准型的方法有几种？配方法化二次型为标准型的关键？34.合同变换化二次型为标准型的过程？5.非退化线性替换的定义和作用

第五章 二次型 §5.2 标准型 学习目标 3. 配方法化二次型为标准型的关键？ 5. 非退化线性替换的定义和作用 1.二次型的标准型的定义 2.化二次型为标准型的方法有几种？ 4. 合同变换化二次型为标准型的过程？

S5.2标准型第五章二次型思政目标1.的哲学思想。?形变质不变”对称美”2.合同变换法体现3.配方法如同同“抽丝剥茧

第五章 二次型 §5.2 标准型 思政目标 2.合同变换法体现“对称美”。 1. “形变质不变”的哲学思想。 3.配方法如同“抽丝剥茧

S5.2标准形第五章二次型预习问题1.二次型的标准形的定义是什么？

5 预习问题 1.二次型的标准形的定义是什么？ 第五章 二次型 §5.2 标准形

第五章二次型S5.2标准形定义1：只包含平方项的二次型(1)dixi +d2x2+.….+dnxn称为标准形，式（1）中di,d2",dn里不等于零的数的个数等于标准形式（1）的秩，标准形式（1）的矩阵为对角矩阵O

第五章 二次型 §5.2 标准形

启发二次型的“标准型”与“对角阵”白的关系，体现“抽象”与“具体”的辩证关系

启 发 二次型的“标准型”与“对角阵”的关系， 体现“抽象”与“具体”的辩证关系

第五章二次型配方化二次型为标准形例题：例1.用配方法化f=4x,2+3x2+3x2+2x2x为标准形一x,在平方项中但不在交叉项中例1.用配方法化f=4x,2+3x22+3x32+2xx3为标准形一x,在平方项和一个交叉项中例2.用配方法化f=x,2-3x22-2xj2-6x23+2xi3为标准形，并求所用的可逆线性变换x在平方项和多个交叉项中?例3.用配方法化f=2xiX2+2xi3-6x2x3为标准形并求所用的变换矩阵一Xj,,在交叉项中但不在平方项中

例2. 用配方法化 f = x1 2−3x2 2−2x1x2−6x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 例1. 用配方法化 f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x1 x3为标准形. 例3. 用配方法化 f = 2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 并求所用的变换矩阵. 例1. 用配方法化 f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3为标准形. 例题: —— x1在平方项中但不在交叉项中 —— x1在平方项和一个交叉项中 —— x1在平方项和多个交叉项中 —— x1 , x2 , x3在交叉项中但不在平方项中 第五章 二次型 配方化二次型为标准形

S5.2标准形第五章二次型预习问题1.二次型的标准形的定义是什么？2.结合上述例题，试总结化二次型为标准形的方法？

9 预习问题 1.二次型的标准形的定义是什么？ 第五章 二次型 §5.2 标准形 2.结合上述例题，试总结化二次型为标准形的方法？

方法一：配方法化二次型为标准形情形1：如果二次型式（5.1）含x;的平方项，就集中所有含xi的交又项，然后与x;2配方，按下列公式axt + bx = a(xi + 2)"- %(5.4)4a2al配成完全平方，式（5.4）中，α为二次型式（5.1）中x2的系数，b为二次型式（5.1）中所有含有x;的交又项提出x;后的和，之后做非退化线性替换：(x1 = Y1(Y1 = X1xi-1 = yi-1Yi-1 = xi-1bb即:Yi = xi +xi = yi-2a2aYi+1 = xi+1xi+1 = Yi+1(Yn=xn(Xn =yn10

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就将n元二次型式（5.1）化成一个平方项加上一个关于y1,,yi-1,yi+1,,yn的n一1元二次型，如果这个n－1元二次型有平方项，重复上述过程，就将其化成一个平方项加上一个n一2元二次型，否则转情形2。11

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