沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第9章 欧氏空间 9.5 子空间

§9.5 子空间2

§9.5 子空间 2

89.5子空间第九章欧氏空间定义10设V,V,是欧氏空间V的子空间，称Vi，V,正交记为V,IV2，如果对任意的αEVi,βEV2，(α,β) = 0.称(EV)与V,正交，记为IV，如果对任意的(5,α) = 0.αEVi,几何空间V，中，xoy平面oz轴，ox轴分别标为W1W2 、W3,则它们都是V3的子空间，且WilW2, W2 1W3取oz轴上的向量，则ElWi

定义10 设V1 , V2是欧氏空间V的子空间，称V1 , V2正交， 记为V1⊥V2 ，如果对任意的α∈V1 , β∈V2 ， (α,β) = 0. 称ξ(∈V)与V1正交，记为ξ⊥V1，如果对任意的 α∈V1 ， (ξ,α) = 0. • 几何空间V3中，xoy平面， oz轴，ox轴分别标为W1、 W2 、W3 , 则它 们都是V3的子空间，且 W1⊥W2 ，W2 ⊥W3 . 取oz轴上的向量ξ，则 ξ⊥W1 . 第九章 欧氏空间 §9.5 子空间

89.5子空间第九章欧氏空间性质1V, LV2, 则 V,nV, = [0].> 对任意的αEV,nV2→αEVi且αEV2→由正交的定义即知(α,α)=0 -→ α=0 → V,nV, ={0). 性质2αLVi，且αEV,，则α=0> 由题设即知(α,α)=0→α=0,性质3(定理5)子空间Vi，V，,Vs 两两正交，则Vi+V,+·+Vs是直和.证明： 设 0=α +α2 +... +αs,α;EVi,i=1,2,,s.用α;对等式两边作内积得(αi,α)+ .. +(αj,α)+.. +(α,αs)=0,由题设正交推出(αi,α)=0，故α,=0，i=1,2,,s， 即 0的分解式唯一，故V,+V2+.·+Vs是直和．口

性质1 V1 ⊥V2，则 V1∩V2 = {0}. ➢ 对任意的α∈ V1∩V2 → α∈ V1 且α∈ V2 → 由正交的定义即 知(α,α) = 0 → α = 0 → V1∩V2 = {0}. □ 性质2 α⊥V1 ，且α∈V1 ， 则 α= 0. ➢ 由题设即知 (α,α) = 0 → α = 0 . □ 性质3 （定理5） 子空间V1 , V2 , ···, Vs 两两正交，则 V1 + V2 + ··· + Vs 是直和. 证明： 设 0 = α1 +α2 + ··· +αs , αi∈Vi , i = 1, 2, ···, s . 用αi对等式两边作内积得 (αi ,α1 ) + ··· + (αi ,αi ) + ··· + (αi ,αs ) = 0, 由题设正交推出(αi ,αi ) = 0，故αi = 0， i = 1, 2, ···, s ， 即 0 的 分解式唯一，故V1 + V2 + ··· + Vs 是直和. □ 第九章 欧氏空间 §9.5 子空间

89.5子空间第九章欧氏空间定义11设Vi，V,是V的子空间，V,称为V,的正交补，如果Vi/Vz 且 V, + V, = V.Vl,V互为正交补如几何空间中，xoy平面与oz轴互为正交补.oy轴与oz轴正交，但不构成正交补性质4(定理6)V的任一子空间V,都有唯一的正交补证明：A）存在性：1)V,={O),则其正交补是V2)Vi{0),在V中取正交基,2，,m并扩充为V的正交基&,2，,8m,&m+1,*",8n → 取V2 = L(em+1 , **,&n ), 则Vi + V2 = V

定义11 设V1 , V2是V的子空间，V1称为V2的正交补 ，如果 V1⊥V2 且 V1 + V2 = V . • V1 , V2 互为正交补. • 如几何空间中，xoy平面与oz轴互为正交补.oy轴与oz轴 正交，但不构成正交补. 性质4 (定理6) V的任一子空间V1都有唯一的正交补. 证明： A） 存在性： 1) V1 = {0}, 则其正交补是V. 2) V1 ≠ {0}, 在V1 中取正交基ε1 ,ε2 , ···,εm 并扩充为V的正 交基ε1 ,ε2 , ···,εm, εm+1 , ···,εn → 取 V2 = L(εm+1 , ···,εn ), 则V1 + V2 = V ． 第九章 欧氏空间 §9.5 子空间

VαeV, VβeV, α=xe +..+xmem,β=xm+Iem+I +...+xen(α,β)=(Zx8, Z xj8)=Z≥ x,x,(8j,8))= 0 ,i=lj=m+1i=1 j=m+1故V2Vi的正交补B） 难一性:设V2V3都是Vi的正交补，则V=V,@→α=α, +αVαeV,V= V,@ V, = V,④ V,-(α, V,α V,),且(αi,α)=0 (V2是 Vi 的正交补)(α,α)=(α, +α,α)=(α,α,)+(α,α)=(α,α)=0 → α=0, 即口α=α,EV, → V2 二V,. 同理可证 V,≤V，故V2=V3

1 2 1 1 1 1 ,     = + + = + +         V V x x x x ， m m m m n n + + → 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m n m n i i j j i j i j i j m i j m       x x x x = = + = = + = = =     ， 故 V2V1 的正交补. B） 唯一性： 设 V2 , V3 都是 V1 的正交补，则 V V V V V =  =  1 2 1 3 , V V V 1 3     V2 1 3 =    ⎯⎯⎯⎯→ = + 1 1 3 3 ( V , V )     , 且 1 ( , ) 0   = （V2 是 V1 的正交补） → 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0            = + = + = = → 1  = 0，即  = 3 3 V → V V 2 3  . 同理可证V V 3 2  ，故 V2 = V3. □

>Vi的正交补记为V（该定理的唯一性作保证）性质5(V)= Vi.性质6dim V, + dim V = n.V = (αeVlαl V)性质 7证明：性质5，6显然成立.仅证性质7VαV→βVi,(α,β)=0, 即αV, →αe(αeVlαlV). 反之, Vαe(αeVlαlV} → vβeV,,(α,β)=0, α+βeV → αV, 故V=(αeVlαVI.>由 V=V,④V 可知，αV,α可唯一分解成α=α +α2,α,Vi,αV，称α为α在V内的内射影

➢ V1 的正交补记为V1 ⊥ （该定理的唯一性作保证）. 性质 5 1 1 (V ) V ⊥ ⊥ = . 性质 6 dim V dim V n 1 1 ⊥ + = . 性质 7 V { V V } 1 1   ⊥ =   ⊥ 证明： 性质 5, 6 显然成立. 仅证性质 7. V V 1 1     V V , ( , ) 0 1 1 ⊥ ⊥ ⊥   ⎯⎯⎯→   = , 即 ⊥ V1 → 1       ⊥ { V V }. 反之， 1     ⊥    { V V } →   V1 ， 1 ( , ) 0, V V      ⊥ = +  →  ，故V { V V } 1 1   ⊥ =   ⊥ . □ ➢ 由 V V V 1 1 ⊥ =  可知，    V, 可唯一分解成 1 2    = + ,   1 1 2 1 V , V⊥   ，称1 为 在V1 内的内射影