沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布1.随机变量的概念：2.离散型随机变量及分布列的概念和性质、0一1分布、二项分布、几何分布、超几本章何分布、泊松分布、二项分布的泊松逼近近似计算；3.随机变量的分布函数的概念和性质；内容4.连续型随机变量的概念及其概率密度的概念、性质，均匀分布、指数分布、正态提要分布：5.随机变量函数的分布定义及性质两点分布二项分布离散型随机变量泊松分布常用离散型随机变量维几何分布本章离定义及性质超几何分布散知识型结构随均匀分布连续型随机变量体系机指数分布变常用连续型随机变量量正态分布公式法随机变量函数的分布定义法1.随机变量的概念，分布函数与概率密度函数的概念和性质；重点2.常见的随机变量的分布函数与分布列、概率密度的互求、计算：分析3.随机变量函数的分布；难点用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布列，连续型随机变量概率的计算，分析随机变量函数的分布.-31-

- 31 - 第二章 随机变量及其分布 本章 内容 提要 1．随机变量的概念； 2．离散型随机变量及分布列的概念和性质、0—1 分布、二项分布、几何分布、超几 何分布、泊松分布、二项分布的泊松逼近近似计算； 3．随机变量的分布函数的概念和性质； 4．连续型随机变量的概念及其概率密度的概念、性质，均匀分布、指数分布、正态 分布； 5．随机变量函数的分布 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1．随机变量的概念，分布函数与概率密度函数的概念和性质； 2．常见的随机变量的分布函数与分布列、概率密度的互求、计算； 3．随机变量函数的分布； 难点 分析 用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布列，连续型随机变量概率的计算， 随机变量函数的分布． 一 维 离 散 型 随 机 变 量 离散型随机变量 定义及性质 常用离散型随机变量 两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布 正态分布 指数分布 连续型随机变量 均匀分布 定义及性质 常用连续型随机变量 随机变量函数的分布 公式法 定义法

第六讲2.1随机变量2.2离散型随机变量本节、随机变量的概念内容、离散型随机变量及其分布列的概念性质提要常见离散型随机变量的分布一教学理解随机变量的概念1目的2理解离散型随机变量及其概率分布的概念要求3.掌握0一1分布、二项分布重点随机变量的概念：离散型随机变量及其概率分布的概念：常见离散型随机变量的分布难点用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布律2学时学时与随机变量的概念15分钟主要离散型随机变量及其分布列的概念性质10分钟内容常见离散型随机变量的分布60分钟时间小结5分钟分配教学启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星方法学习平台的线上和线下融合的混合式教学和手段学生对随机变量的认识和理解，会影响到后继章节的学习，是概率论部分的关键所在。教学经验总结-32 -

- 32 - 第六讲 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量 本节 内容 提要 一、随机变量的概念 二、离散型随机变量及其分布列的概念性质 三、常见离散型随机变量的分布 教学 目的 要求 1． 理解随机变量的概念 2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念 3． 掌握 0—1 分布、二项分布 重点 随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布的概念；常见离散型随机变量的分布 难点 用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布律 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 随机变量的概念 15 分钟 离散型随机变量及其分布列的概念性质 10 分钟 常见离散型随机变量的分布 60 分钟 小结 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星 学习平台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结 学生对随机变量的认识和理解，会影响到后继章节的学习，是概率论部分的关键所在

教学过程附注引入：在第一章研究随机事件概率的方法缺乏一般性，对于一些比较复杂的问题不能深入分析，解决这些问题的关键是引入随机变量及其分布的概念。随机变量的引入使对随机现象的处理更简单直接，更统一而有力，是观念上的一大进步；更重要的是使得对随机现象的研究可以借助函数和微积分等数学工具，概率论的研究大步向前。讲授新课一、随机变量随机现象的可能结果，有时可以用数值表示，有时与数值无关，对于非数值结果的随机试验，为了能够进行定量的数学处理，必须把随机现象数量化。例1掷色子2,=(1,2,,6)X表示出现的点数，那么，X的取值依赖于试验结果，当试验结果确定了，X的取值也就随之确定了.即X=X()=0例2抛硬币2=（正面、反面产品抽样Q，=（合格、不合格）引入变量X，对试验的两个结果，将X的值分别规定为1和0，即：[1当出现の时X=且试验的结果确定了，X的取值也就随之确定了10，当出现の时可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把试验的结果与实数对应起来，把试验的结果数量化．根据这种对应关系引进一个变量动态地表达了随（函数），这个变量随试验结果的不同而变化，是试验结果的函数机事件。由于这样的数量依赖试验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什么值，即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量.定义1设随机试验E的样本空间为Q=@，若对于任意のEQ，都有惟一实数X(の）与之对应，则称Xの）为随机变量，简记为X：以后常用大写字母X,Y,X,X,来表示随机变量，其取值用小写字母x,y,xx2来表示.图2.1是样本点の与实数X=X(の）对应的示意图-33 -

- 33 - 教学过程 附 注 引入： 在第一章研究随机事件概率的方法缺乏一般性，对于一些比较复杂的问题 不能深入分析，解决这些问题的关键是引入随机变量及其分布的概念．随机变 量的引入使对随机现象的处理更简单直接，更统一而有力，是观念上的一大进 步；更重要的是使得对随机现象的研究可以借助函数和微积分等数学工具，概 率论的研究大步向前。 讲授新课 一、随机变量 随机现象的可能结果，有时可以用数值表示，有时与数值无关，对于非数 值结果的随机试验，为了能够进行定量的数学处理，必须把随机现象数量化。 例 1 掷色子  =  1 1,2, ,6 X 表示出现的点数，那么， X 的取值依赖于试验结果，当试验结果确定 了， X 的取值也就随之确定了． 即 X X = = ( )   例 2 抛硬币  =2 正面、反面 产品抽样  =3 合格、不合格 引入变量 X ，对试验的两个结果，将 X 的值分别规定为 1 和 0 ，即 ： 0 1 1, 0, X    =   当出现 时 当出现 时 ．一旦试验的结果确定了， X 的取值也就随之确定了． 可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把试验的 结果与实数对应起来，把试验的结果数量化．根据这种对应关系引进一个变量 （函数），这个变量随试验结果的不同而变化，是试验结果的函数． 由于这样的数量依赖试验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无 法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什么值，即它的取值具有随 机性，我们称这样的变量为随机变量． 定义 1 设随机试验 E 的样本空间为  ={ }  ,若对于任意   ，都有惟 一实数 X ( )  与之对应，则称 X ( )  为随机变量，简记为 X ．以后常用大写字 母 1 2 X Y X X , , , , 来表示随机变量，其取值用小写字母 1 2 x y x x , , , , 来表示． 图 2.1 是样本点  与实数 X X = ( )  对应的示意图． 动态地表达了随 机事件

附注教学过程aoTcs2图2.1随机变量示意图说明：1.本质：样本点的函数2.它与普通实函数的区别在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值：而随机变量的取值具有随机性，它们取某个值或某个范围内的值有一定的概率，3.随机变量的作用是将随机事件量化表示4.随机变量的取值或取值范围表示随机事件对于随机变量X，X=al，X≤b).ia3，而（X<0则表示不可能事件.离散型lianxu型随机变量的分类：既非离散亦非lianxu对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的还要知道它取这些值的概率各是多少，对于一个离散型随机变量来说，如果知道了它的可能取值以及相应的概率，那么对这个随机变量的情况就有了全面的了解，二、离散型随机变量1.定义1设离散型随机变量X所有可能取值为x（k=1,2,），若X取各个可能值的概率为P(X =x)=Pk, k=1,2,...则称上式为X的分布列（或概率分布、分布律）．分布列也可以表示为..XXiX2Xn...P..P2PnPi为了更形象地刻画离散型随机变量，几何上可用概率分布图来表示，见图2.2-34 -

- 34 - 教学过程 附 注 图 2.1 随机变量示意图 说明：1. 本质：样本点的函数 2. 它与普通实函数的区别在于：普通实函数无需做试验便可依据自 变量的值确定函数值；而随机变量的取值具有随机性，它们取某个值或某个范 围内的值有一定的概率． 3. 随机变量的作用是将随机事件量化表示 4．随机变量的取值或取值范围表示随机事件 对于随机变量 X ，{ } X a = ，{ },{ }, ( , ) X b a X b a b R     都表示事 件，即用随机变量的各种取值和取值范围来表示随机事件．例如，在例 1 中， 事件“出现的点数大于 3”可以表示为 { 3} X  ，而 { 0} X  则表示不可能事件． 随机变量的分类： lianxu 离散型 型 既非离散亦非lianxu 对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的还要知道它取这些值 的概率各是多少． 对于一个离散型随机变量来说，如果知道了它的可能取值以及相应的概率， 那么对这个随机变量的情况就有了全面的了解． 二、离散型随机变量 1．定义 1 设离散型随机变量 X 所有可能取值为 ( 1,2, ) k x k = ，若 X 取 各个可能值的概率为 { } , 1,2, . P X x p k = = = k k (2.1) 则称上式为 X 的分布列（或概率分布、分布律）．分布列也可以表示为 X 1 x 2 x . n x . P p1 p2 . pn . 为了更形象地刻画离散型随机变量，几何上可用概率分布图来表示，见图 2.2

附注教学过程P ^Xix图2.2概率分布图2.离散型随机变量X的分布列具有以下两个性质：(1）非负性：P≥0,k=1,2,；（2）规范性：Zp =1.K这两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否成为分布列的充要条件.此外，设B为实轴上任一区间，若离散型随机变量X在B上的取值仅为X,X2,",Xm，由于(XeB)=(X=x)U(X=x2)U...U(X=xm),所以P(XeB)=Z P(X=x,)XeB例1设袋中装有6个球，编号为(1,1,2,2,2,3)，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X，求：（1）X的分布列：（2）编号大于1的概率.11解（1）因为X可取的值为12.3，而且PX=1)P(X =2) =231P(X =3) :所以X的分布列为6X123111P236（2）事件“编号大于1”可用随机变量X表示为（X>1)，有112P(X>1)=P(X =2)+P(X =3) =2+6"3'三、几个重要的离散型随机变量及其分布列1.两点分布定义如果随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P(X =1)=p,P(X =0)=1-p (0<p<1)则称X服从两点分布（或0-1分布）.两点分布的概率分布表为：-35 -

- 35 - 教学过程 附 注 图 2.2 概率分布图 2．离散型随机变量 X 的分布列具有以下两个性质： （1） 非负性： 0, 1,2, k p k  = ； （2） 规范性：  =1 k pk . 这两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否成为分 布列的充要条件． 此外，设 B 为实轴上任一区间，若离散型随机变量 X 在 B 上的取值仅为 1 2 , , , m x x x ，由于 1 2 { } { } { } { } X B X x X x X x  = = = = m ，所以 { } { } i i x B P X B P X x   = =  例 1 设袋中装有 6 个球，编号为 {1,1,2,2,2,3} ，从袋中任取一球，记取 到的球的编号为 X ，求：（1） X 的分布列；（2）编号大于 1 的概率． 解 （1）因为 X 可取的值为 1,2,3 ，而且 1 { 1} 3 P X = = ， 1 { 2} 2 P X = = ， 1 { 3} 6 P X = = ，所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 3 2 1 1 6 （2）事件“编号大于 1”可用随机变量 X 表示为 { 1} X  ，有 1 1 2 { 1} { 2} { 3} 2 6 3 P X P X P X  = = + = = + = . 三、几个重要的离散型随机变量及其分布列 1．两点分布 定义 如果随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，且它的分布列为 P X p P X p p { 1} , ( 0) 1 (0 1) = = = = −   (2.2) 则称 X 服从两点分布（或 0 1− 分布）．两点分布的概率分布表为： 1 x 2 x . n x x P

教学过程附注0X1Pp1-p两点分布有计数器的功能。两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验例如，检验一个产品是否为合格品，卫星的一次发射是否成功，足球比赛中一支队伍是否取胜等.2.二项分布定义若随机变量X的分布列为P(X=k)=Chp*q"-k,k=0,1,2,..,n其中0<p<1l,q=1-p，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)注（1）Cpq"-k恰好是二项式（p+q）"的展开式中的第k+1项，这就是二项分布名称的由来。由此也可得ZP(X=k)=ctpg-* =(p+g)"=1.h=o K=0（2）伯努利概型中事件A发生的次数X即服从二项分布，这就是说，二项分布的产生背景是n重伯努利试验.（3）特别地，当n=1时，二项分布就是两点分布，所以两点分布可记为B(1, p).（4）二项分布的中心项当(n+1)p=m为正整数时，m和m-1均为最可能取值；当(n+1)p不是正整数时，则满足(n+1)p-1<m≤(n+1)p的整数即为最可能取值.例如，假设英语考试，每题一分，共100题，如果考生一点不会，他随意填涂答题卡，他最有可能的得分是多少？他能通过考试的概率是多大？X ~B(100, =)，[(n+1)p]=[25.25]=25分，因此蒙过考试的可能性4并不大。（5）两点分布的独立和是二项分布，或者说可以把二项分布分解为（0-1）注：以投篮为例进分布独立和，这在解题中对于简化计算很有帮助。行解释，例2某人购买彩票，每次买一张，中奖率0.01，共买500次，试求他至少中奖两次的概率？小概率事件解设X为中奖的次数，根据题意知X～B(500,0.01)，则所求的概率为原理：在一次试验中几乎不会发生，-36 -

- 36 - 教学过程 附 注 X 1 0 P p 1− p 两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验．例如，检验一个 产品是否为合格品，卫星的一次发射是否成功，足球比赛中一支队伍是否取胜 等． 2．二项分布 定义 若随机变量 X 的分布列为 { } , 0,1,2, , k k n k P X k C p q k n n − = = = (2.3) 其 中 0  p  1,q = 1− p ，则称 X 服 从 参 数 为 n, p 的 二 项 分 布 ， 记 为 X ~ B(n, p) . 注（1） k k n k C p q n − 恰好是二项式 ( )n p q + 的展开式中的第 k +1 项，这就是 二项分布名称的由来．由此也可得   0 0 ( ) 1 n n k k n k n n k k P X k C p q p q − = =   = = = + = ． （2）伯努利概型中事件 A 发生的次数 X 即服从二项分布，这就是说，二 项分布的产生背景是 n 重伯努利试验． （3）特别地，当 n =1 时，二项分布就是两点分布，所以两点分布可记为 B p (1, )． （4）二项分布的中心项 当 ( 1) n p m + = 为正整数时， m 和 m −1 均为最可能取值；当 ( 1) n p + 不 是正整数时，则满足 ( 1) 1 ( 1) n p m n p + −   + 的整数即为最可能取值． 例如，假设英语考试，每题一分，共 100 题，如果考生一点不会，他随意 填涂答题卡，他最有可能的得分是多少？他能通过考试的概率是多大？ 1 ~ (100, ) 4 X B ，( 1) 25.25 25 n p + = =    分，因此蒙过考试的可能性 并不大。 （5）两点分布的独立和是二项分布，或者说可以把二项分布分解为（0-1） 分布独立和，这在解题中对于简化计算很有帮助。 例 2 某人购买彩票，每次买一张，中奖率 0.01，共买 500 次，试求他至 少中奖两次的概率？ 解 设 X 为中奖的次数，根据题意知 X B ~ (500,0.01) ，则所求的概率为 两点分布有计数 器的功能。 注：以投篮为例进 行解释. 小概率事件 原理：在一次试验 中几乎不会发生

教学过程附注在大量重复试验P(X ≥2) =1- P(X = 0)+ P(X = 1)中的发生几乎是=1-(0.99)500 500·(0.01)·(0.99)499 0.96肯定的。例3某特效药的临床有效率为75%，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？解设X为10人中被治愈的人数，根据题意知X～B(10,0.75)，则所求的概率为P(X ≥8) = P(X =8)+ P(X =9)+ P(X =10)=C%(0.75) (0.25)* +C%(0.75)(0.25) +Cl8(0.75)=0.2816+0.1877+0.0563=0.5256小结：本节学习了三个内容：随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布的概念；常见离散型随机变量的分布：（0一1）分布、二项分布。课后作业：超星学习平台线上作业；P56习题二：2一一10-37-

- 37 - 教学过程 附 注 P X P X P X { 2} 1 { 0} { 1}  = − = + = 500 499 = − −    1 (0.99) 500 (0.01) (0.99) 0.96 例 3 某特效药的临床有效率为 75% ，今有 10 人服用，问至少有 8 人治愈 的概率是多少？ 解 设 X 为 10 人中被治愈的人数，根据题意知 X B ~ (10,0.75) ，则所求 的概率为 P X P X P X P X { 8} { 8} { 9} { 10}  = = + = + = 8 8 2 9 9 1 10 10 10 10 10 = + + C C C (0.75) (0.25) (0.75) (0.25) (0.75) = + + = 0.2816 0.1877 0.0563 0.5256 ． 小 结: 本节学习了三个内容：随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布 的概念；常见离散型随机变量的分布：（0—1）分布、二项分布。 课后作业：超星学习平台线上作业；P56 习题二 ：2——10 在大量重复试验 中的发生几乎是 肯定的

第七讲2.2离散型随机变量2.3随机变量的分布函数本节、常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布内容二、随机变量的分布函数提要教学掌握泊松分布、几何分布、超几何分布1.目的2了解二项分布的泊松逼近近似计算要求3.掌握随机变量的分布函数的概念和性质重点随机变量的分布函数的概念和性质难点二项分布的泊松逼近，随机变量的分布函数的概念学时2学时与主要常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布45分钟内容随机变量的分布函数40分钟时间小结5分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星和手学习平台的线上和线下融合的混合式教学段2.3随机变量的分布函数一节中，由分布列求分布函数的题型，学生接受起来比较吃力，需加强引导和练习。教学经验总结-38-

- 38 - 第七讲 2.2 离散型随机变量 2.3 随机变量的分布函数 本节 内容 提要 一、常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布 二、随机变量的分布函数 教学 目的 要求 1． 掌握泊松分布、几何分布、超几何分布 2． 了解二项分布的泊松逼近近似计算 3． 掌握随机变量的分布函数的概念和性质 重点 随机变量的分布函数的概念和性质 难点 二项分布的泊松逼近，随机变量的分布函数的概念 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布 45 分钟 随机变量的分布函数 40 分钟 小结 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星 学习平台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结 2.3 随机变量的分布函数一节中，由分布列求分布函数的题型，学生接受起来比较吃力， 需加强引导和练习

教学过程附注复习提问：随机变量的概念、作用；离散型随机变量分布列的性质：（0一1）分布、二项分布的分布列、背景。讲授新课接着上节课来学习常见离散型随机变量的分布：三、几个重要的离散型随机变量及其分布列（续）3.泊松分布定义如果随机变量X所有可能取的值为0,1,2，它取各个值的概率为元e-^,(k =0,1,2,...),P(X=k)=-k!其中入>O是常数，则称X服从参数为入的泊松(Poisson）分布，记为X~ P(2)显然，PX=k)≥0,k=0,1,2*.，且有Pa'e-^akZp(X=k)-)=e-^-e" -l.=e k!=e"k=o k!k=0泊松分布是最常用的离散型分布之一，在各领域中有着广泛的应用，常用来描绘质点在时间或空间上的分布情况：例如某段时间内电话机接到的呼唤次数：候车的乘客数：公路交叉口处在单位时间内通过的车辆数：某页书上印刷错误的个数；纺织厂生产的一定数量的布匹上的疵点数；某医院在一天内的急诊病人数；一定时间内出现的稀有事件数（如灾害、意外事故）等都可以用泊松分布来描述例1某商店根据过去的销售记录，总结出某种商品每月的销售量可以用参数为2=5的泊松分布来描述，试求（1）下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？（2）下个月该商店销售此种商品多于3件的概率是多少？（3）为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该种商品?解设该商店每月销售该商品的件数为X，依题意X～P(5)，且5k-5,(k =0,1,2,...).P(X =k):k!-39 -

- 39 - 教学过程 附 注 复习提问： 随机变量的概念、作用；离散型随机变量分布列的性质；（0—1）分布、二 项分布的分布列、背景。 讲授新课 接着上节课来学习常见离散型随机变量的分布： 三、几个重要的离散型随机变量及其分布列（续） 3．泊松分布 定义 如果随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2, ,它取各个值的概率为 { } ,( 0,1,2, ) ! k P X k e k k  − = = = ， 其中   0 是常数，则称 X 服从参数为  的泊松(Poisson )分布，记为 X P ~ ( )  . 显然， P X k k { } 0, 0,1,2, =  = ，且有   0 0 0 e e e e 1 k k k k k P X k k k          − − − = = =    = = = =  = ！ ！ ． 泊松分布是最常用的离散型分布之一，在各领域中有着广泛的应用，常用 来描绘质点在时间或空间上的分布情况．例如某段时间内电话机接到的呼唤次 数；候车的乘客数；公路交叉口处在单位时间内通过的车辆数；某页书上印刷 错误的个数；纺织厂生产的一定数量的布匹上的疵点数；某医院在一天内的急 诊病人数；一定时间内出现的稀有事件数（如灾害、意外事故）等都可以用泊 松分布来描述． 例 1 某商店根据过去的销售记录，总结出某种商品每月的销售量可以用 参数为  = 5 的泊松分布来描述 试求： （1）下个月该商店销售 2 件此种商品的概率是多少？ （2）下个月该商店销售此种商品多于 3 件的概率是多少？ （3）为了以 95%以上的概率保证不脱销 问商店在月底应存多少件该种商 品？ 解 设该商店每月销售该商品的件数为 X  依题意 X P ~ (5) ，且 5 5 { } ,( 0,1,2, ) ! k P X k e k k − = = = ．

教学过程附注3（1）销售2件产品的概率为PX=2：=0.0842.2!（2）多于3件的概率为254P(X≥3)=1-P(X≤2)=1-=0.8753.Ko k!（3）设月底存货为α件，则当X≤a时该商品就不会脱销，即要求a使得PX≤a)≥0.95，有54P(X≤a)=P(X=k)=2-5≥0.95k=o k!k=0查附表 1泊松分布表知之兴。=0.968>0.95，所以a最小应是9.于o k!是，这家商店只要在月底保证存货不低于9件就能以95%以上的概率保证下个月该种商品不会脱销泊松分布作为二项分布的一种近似.在二项分布B(n,p)中，当n较大时，计算量很大，而在P较小时使用以下的泊松定理可以减少二项分布中的计算量.定理1（泊松定理）在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为p，（与试验次数n有关），如果当n→+o时，有np，→，则lim Cp(l-P,)="ek!由于泊松定理是在np→入条件下获得的，故在计算二项分布B(n,p)时，当n很大，p很小，而乘积=np大小适中（通常0<np<5）时，可以用泊松定理作近似，即hp*(1-p)"-k,e-a(a= np)k!例2一本500页的书，共有500个错字，每个错字等可能地出现在每页上，求在给定的某一页上最多出现两个错字的概率解因为500个错字随机分布在500页书上，所以错字出现在每一页的概1率都是设X表示在给定的某一页上出现错字的个数，则1500111=1适X ~B(500.)，因为n=500很大，p=很小，np=500x500500500-40-

- 40 - 教学过程 附 注 （1）销售 2 件产品的概率为 2 5 5 { 2} 0.0842 2! P X e− = = = ． （2）多于 3 件的概率为 2 5 0 5 { 3} 1 { 2} 1 0.8753 ! k k P X P X e k − =  = −  = − =  ． （3）设月底存货为 a 件 则当 X a  时该商品就不会脱销 即要求 a 使 得 P X a { } 0.95   ，有 5 0 0 5 { } { } 0.95 ! a a k k k P X a P X k e k − = =  = = =    . 查附表 1 泊松分布表知 9 5 0 5 0.968 0.95 ! k k e k − =  =  ，所以 a 最小应是 9．于 是 这家商店只要在月底保证存货不低于 9 件就能以 95% 以上的概率保证下个 月该种商品不会脱销． 泊松分布作为二项分布的一种近似．在二项分布 B n p ( , ) 中，当 n 较大时， 计算量很大，而在 p 较小时使用以下的泊松定理可以减少二项分布中的计算 量． 定理 1（泊松定理） 在 n 重伯努利试验中，记事件 A 在一次试验中发生 的概率为 n p （与试验次数 n 有关），如果当 n → + 时，有 n np →  ，则 lim (1 ) ! k k k n k n n n n C p p e k − −   →+ − = (2.4) 由于泊松定理是在 n np →  条件下获得的，故在计算二项分布 B n p ( , ) 时， 当 n 很大， p 很小，而乘积  = np 大小适中（通常 0 5   np ）时，可以用泊 松定理作近似，即 (1 ) , ( ) ! k k k n k C p p e np n k    − − −  = ． 例 2 一本 500 页的书，共有 500 个错字，每个错字等可能地出现在每一 页上，求在给定的某一页上最多出现两个错字的概率． 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概 率 都 是 1 500 ． 设 X 表 示 在 给 定 的 某 一 页 上 出 现 错 字 的 个 数 ， 则 ) 500 1 X ~ B(500, ，因为 n = 500 很大， 1 500 p = 很小， 1 500 1 500 np =  = 适