沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.5 随机变量的独立性

43.5 二维随机变量的独立性一、二维随机变量的独立性二、推广沈阳师范大学

一、二维随机变量的独立性 二、推广 3.5 二维随机变量的独立性

-随机变量的相互独立性一、1.定义设F(x,y)及Fx(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,J有P(X ≤x,Y≤ y) = P(X≤x)P(Y≤y)即F(x,y) = Fx(x)Fr(y),则称随机变量X和Y是相互独立的沈阳师范大学

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y =   =   一、随机变量的相互独立性 1.定义

H2.结论(1)若离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为P(X = x,Y= y,}= pj, i, j=1,2,...X和Y相互独立P(X = x,Y = y;} = P(X = x;}P(Y = y,}即 Pi; = Pi.P.j沈阳师范大学

 { , } { } { } , i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和 Y 相互独立 2.结论 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j =1,2,  . i j i j . pij pi• p• j 即 = 

1例1 设(X,Y的联合分布列如下，试判断X与Y是否相互独立解Y1 3Pi. = P(X = x;)2X0.610.030.250.330.390.120.07 0.21P., = P(Y = y,}0.150.320.53沈阳师范大学

X Y 1 2 3 0.03 1 0 { } i i p = P X = x • { } j j p = P Y = y • 解 0.61 0.39 0.15 1 0.53 0.250.33 0.120.07 0.2 0.32 例1 设(X,Y)的联合分布列如下,试判断X与Y 是否相互独立

(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有X 和Y相互独立台f(x,y)= fx(x)fy(y)沈阳师范大学

 f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) . X 和 Y 相互独立 = X Y 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y

中1例2设随机变量X和Y具有联合概率密度8xy,0≤x≤y≤1,f(x,y)0，其他ty判断X与Y是否相互独立y=x(1,1)4x(1-x2)0≤x≤1,解fx(x)=0,其他4y3,0≤y≤1,ofxfr(y) :0，其他由f(x,y)≠ fx(x)f,(y)得,X与Y不相互独立沈阳师范大学

. 0, . 8 , 0 1, ( , ) 判断 与 是否相互独立 其他 设随机变量 和 具有联合概率密度 X Y xy x y f x y X Y     = 解例 2 ( )  −   = 0, . 4 1 , 0 1, ( ) 2 其他 x x x f x X    = 0, . 4 , 0 1, ( ) 3 其他 y y f y Y 由 f (x, y) f (x) f (y)得, X与 Y不相互独立.  X Y y = x O x y (1,1)

+例3甲船到达某港口的时间均匀分布在8~12时，乙船到同一港口的时间均匀分布在7～9时，设两船到达港口的时间相互独立.求它们到达港口的时间相差不超过5分钟的概率V97-区域G=3(x,V=x-12(x,y)8<x<12,7<y<9)y=x1212 X8沈阳师范大学

例3 甲船到达某港口的时间均匀分布在8~12时， 乙船到同一港口的时间均匀分布在7 ~9时, 设两船 到达港口的时间相互独立. 求它们到达港口的时间 相差不超过5分钟的概率. x y O 7 9 8 12 ( ) ( , )8 12,7 9 12 1 ,           = −  x y x y 区域G x y x y  12 1 y = x − 12 1 y = x + A D E C B

E二、推广若对于所有的 Xi,X2,",X,有F(xi,x2,*,x,) = Fx.(x)Fx, (x2)... Fx (xn)则称 Xi,X2,,X是相互独立的.1.对于离散型的Xi,X2,X，上述定义等价为P(X = x,X2 = x2,..-,X, = x) = P(X = x)P(X, =x2]... P(Xn =xn)2.对于连续型的Xi,X2,,Xn，上述定义等价为f(x1,x2,..-, xn) = fx (x)fx, (x2)...fx. (xn)沈阳师范大学

若对于所有的 x1 , x2 ,  , xn 有 , , , . 则称 X1 X2  Xn 是相互独立的 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 n X1 X 2 X n F x x x F x F x F x   n = P X x X x X x P X x P X x P X x  1 1 2 2 1 1 2 2 = = = = = = = , , , n n n n        1. 对于离散型的 X1 , X2 ,  , Xn 上述定义等价为 2. 对于连续型的 X1 , X2 ,  , Xn ,上述定义等价为 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) n n X X X n f x x x f x f x f x = 二、推广

多维随机变量独立性的常用结论X..X设....X是相互独立的随机变量，则其中任意k(2≤k<价也相互独立.设，α,Xa…,相互独立的随机变量，则它们的函数些1),82(X2),,8,(X,也是相互独立的随机变量设是相互独立的随机变量，则“个没有公共元素的组，每个把它们分成组产生一个新的随机变量，则这个新的k随机变量相互独立：沈阳师范大学

多维随机变量独立性的常用结论： • 设 是相互独立的随机变量，则 其中任意 个也相互独立． • 设 是相互独立的随机变量，则 它们的函数 也是相 互独立的随机变量． • 设 是相互独立的随机变量，则 把它们分成 个没有公共元素的组，每个 组产生一个新的随机变量，则这 个新的 随机变量相互独立． X X Xn , , , 1 2  k k n (2 )   X X Xn , , , 1 2  1 1 2 2 ( ), ( ), , ( ) n n g X g X g X X X Xn , , , 1 2  k k

-小结F(x, y) = Fx(x)F(y)X和Y相互独立仓Pi, = Pi.P.jf(x,y)= fx(x)fy(y)沈阳师范大学

 f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) . = X Y X 和Y 相互独立 小 结 ij i j p p p =  • • ( , ) ( ) ( ) F x y F x F y = X Y