沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.6 两个随机变量函数的分布

H中3.5两个随机变量的函数的分布一、问题的引入二、 离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布沈阳师范大学

二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 一、问题的引入 3.5 两个随机变量的函数的分布

H、问题的引入一有一大群人,令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压,并且已知Z与X,Y的函数关系 Z = g(X,Y),如何通过X,Y的分布确定Z的分布为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布沈阳师范大学2

. , ( , ), , , , , 分布确定 的分布 的函数关系 如何通过 的 年龄和体重 表示该人的血压 并且已知 与 有一大群人 令 和 分别表示一个人的 Z X Y Z g X Y X Y Z Z X Y = 为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布. 一、问题的引入 2

H二、离散型随机变量函数的分布例1 设(X,Y)的联合分布列如下，21OX0.20.10.20.30.10.1求(1)Z, = X +Y; (2)Z, = XY;(3)Z, = max(X,Y)的分布列沈阳师范大学3

X Y 0 1 2 0.2 0.1 0.2 2 1 例1 设 (X,Y)的联合分布列如下， 0.1 0.3 0.1 (1) ; 求 Z1 = X +Y (2) ; Z2 = XY (3) max( , ) . Z3 = X Y 的分布列 二、离散型随机变量函数的分布 3

1结论若二维离散型随机变量的联合分布律为P(X = x,Y = y,} = Pij, i,j =1,2,",则随机变量函数 Z = g(X,Y)的分布律为P(Z = zk} = P(g(X,Y) = zk)py,k = 1,2,....zk=g(xijj)沈阳师范大学7

结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,  , i j ij 则随机变量函数 Z = g(X,Y )的分布律为 { } { ( , ) } k k P Z = z = P g X Y = z , 1,2, . ( ) =  =  = p k k i j z g x y ij 7

三、连续型随机变量函数的分布问题设(X,Y)为连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y)g(x,y)为平面R2上的实值函数,求Z=g(X,Y)的概率密度普遍适用方法1)先求Z =g(X,Y)的分布函数Fz()= P(g(X,Y)≤z)= J f(x,y)dxdyD其中D= (x,y): g(x,y)≤z)2)对Fz(z)求导,即得fz(2)沈阳师范大学8

三、连续型随机变量函数的分布 ( ) ( ) ( , ) , ( , ) . , , , , 为平面 2 上的实值函数 求 的概率密度 设 为连续型随机向量 联合概率密度为 g x y R Z g X Y X Y f x y = 普遍适用方法 问题 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) D (x y) g(x y) z f x y dxdy F z P g X Y z Z g X Y D Z =  = =  =  , : , , , 1) , . 其中 先求 的分布函数 F (z) f (z) 对 Z 求导 即得 Z 2) , 8

1生中-1. Z-X+Y的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则z =X+Y的分布函数为tVJJ f(x, y)dxd yFz(z) = P[Z≤z)=x+y≤zx+y=z= J["" f(x, )dxd yF2(2) = t [(z-, )(z-) d y0x由此可得概率密度函数为fz(z) = (m f(z - y, y)d y.沈阳师范大学9

的分布函数为 设(X,Y )的概率密度为f (x, y),则Z = X + Y F (z) P{Z z} Z =  f x y x y x y z ( , )d d  +  = 1. Z=X+Y 的分布 x y O x + y = z f x y x y z y ( , )d d   + − − − = ( ) ' F z Z f (z y, y)(z y) d y '  + − = − − 由此可得概率密度函数为 ( ) ( , )d .  + − f z = f z − y y y Z 9

tJJ f(x,y)dxd yFz(z) = P[Z≤z)=x+y≤zx+y=z= [["" f(x,y)dy]dxF2(2) = t(x,z-x)(z-x)xOx由此可得概率密度函数为fz(z) = (f(x,z-x)dx.沈阳师范大学10

f (z) f (x,z x)d x. Z  + − = − F (z) P{Z z} Z =  f x y x y x y z ( , )d d  +  = x y O x + y = z f x y y x z x ( , )d d   + − − − = ( ) ' F z Z f (x,z x)(z x) d x '  + − = − − 由此可得概率密度函数为 10

-4当 X,Y独立时,Jz(z)也可表示为fz(z) = fx(z - y)fr(y)dy,或fz(z) =( fx(x)fy(z -x)dx.独立和分布的卷积公式沈阳师范大学11

当 X, Y 独立时, fZ (z)也可表示为 ( ) ( ) ( )d ,  + − f z = f z − y f y y Z X Y f (z) f (x) f (z x)d x. Z  X Y + − 或 = − 独立和分布的卷积公式 11

H例2设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求 Z-X+Y的概率密度1解　由于fx(x)18<x人+8,[2元1fy(y)18/Λ+8,[2元由公式fz(z) = ( fx(x)fy(z -x)dx,沈阳师范大学12

由公式 f (z) f (x) f (z x)d x, Z  X Y + − = − 解 e , , 2π 1 ( ) 2 2 = −    + − f x x x 由于 X e , , 2π 1 ( ) 2 2 = −    + − f y y y Y 例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 12

(z-x)22dx得fz(z)=02元7dx2元zt=2+8dt2元82V元即 Z服从N(0,2)分布沈阳师范大学13

即 Z 服从 N(0,2) 分布. 2 z t = x − t t z e e d 2π 1 2 4 2  + − − − e . 2 π 1 4 2 z − = f z x x z x Z e e d 2π 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2  + − − − − = x z x z e e d 2π 1 2 4 2 2  + −       − − − = 得 13