沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.2 二维离散型随机变量

中3.2 二维离散型随机变量一、联合分布律二、边缘分布律沈阳师范大学

二、边缘分布律 一、联合分布律 3.2 二维离散型随机变量

-一、二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若二维随机变量（X，Y）所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称（X，Y）为二维离散型随机变量。例如二维随机变量(X,Y）表示掷两颗殷子出现的点数，则(X，Y)的所有可能取值为36对沈阳师范大学

若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量. 一、二维离散型随机变量及其联合分布律 1. 定义 例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对

七生心中2.二维离散型随机变量的联合分布律设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(x,y,),i, j=1, 2,,记PX = X, Y = y,} = pij, i, j=1, 2,.",称此为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律其中,即 Pii + Pi2 +..(1) p, ≥0,+P21 + P22 +..+Pni + Pn2 +..(2)Z Pj =1.+...=1i=1 j=l沈阳师范大学

2. 二维离散型随机变量的联合分布律 ( ) ( ) 1 1 1 0, 2 1. ij ij i j p p   = =    = 其中, . ( , ) , { , } , , 1, 2, , ( , ), , 1, 2, , ( , ) 或随机变量 和 的联合分布律 称此为二维离散型随机变量 的分布律 值为 记 设二维离散型随机变量 所有可能取的 X Y X Y P X x Y y p i j x y i j X Y i j ij i j   = = = = = 11 12 21 22 1 2 1 n n p p p p p p + + + + + + + + + = 即

二维随机变量（X,Y）的分布律也可表示为YyiXP12Pi1XIp21-- n22 -X--?-X---沈阳师范大学

二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为 Y X 1 2 j y y y 1 2 i x x x 11 12 1 p p p j 21 22 2 p p p j    1 2 p p p i i ij   

F二例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律解{X=i,Y=j的取值情况是： i=1,2,3,4,取不大于的正整数.且由乘法公式得P(X =i,Y= j}= P(Y= jX =iP(X =i}-i=1,2,3,4,j≤i.于是(X,Y)的分布律为沈阳师范大学

. ( , ) . , 1 ~ 1,2,3,4 整数值 试求 的分布律 取值 另一个随机变量 在 中等可能地取一 设随机变量 在 四个整数中等可能地 X Y Y X X 解 {X = i,Y = j}的取值情况是: i = 1,2,3,4, j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得 P{X = i,Y = j}= P{Y = j X = i}P{X = i} , 4 1 1 =  i i = 1,2,3,4, j  i. 于是 (X,Y )的分布律为 例1

i=1,2,3,4, j≤i.P(X =i,Y= j=PY =jX=iP(X =i1.4Y3241X0001100288111031212121111416161616沈阳师范大学

Y X 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 0 0 0 1 8 8 1 0 0 1 12 1 12 12 1 0 1 16 1 16 1 16 16 1 P{X = i,Y = j}= P{Y = j X = i}P{X = i} , 4 1 1 =  i i = 1,2,3,4, j  i

例2将两封信随意地投入3个空邮箱,设X，Y分别表示第1、第2个邮箱中信的数量.求（1)（X,Y)的联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F(3/2,1/2)解（X,Y）所取的可能值是(0,0),(0,1),(0,2), (1,0), (1,1),(2,0).P(X = 0,Y = 0}:22PX=0,Y =1}=PX =1,Y =0}329沈阳师范大学

例2 将两封信随意地投入3个空邮箱,设 X, Y分别 表示第1、第2个邮箱中信的数量.求 (1) ( X,Y )的 联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的 概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F (3/2,1/2). ( X, Y ) 所取的可能值是 (0,0), 解 (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0). P{X = 0,Y = 0} 2 1 , 3 = P X Y P X Y { 0, 1} { 1, 0} = = = = = 2 2 2 , 3 9 = =

-22P(X =1,Y= 1} = PX =1,Y =293PX =0,Y =2}=PX=2,Y =09故所求分布律为Y120X01/92/91/92/92/901001/92沈阳师范大学

P X Y P X Y { 1, 1} { 1, 1} = = = = = 2 2 2 , 3 9 = = P X Y P X Y { 0, 2} { 2, 0} = = = = = 1 , 9 = 故所求分布律为 Y X 0 1 2 0 1 9 1 2 2 9 1 9 2 9 2 9 0 1 9 0 0

(2)P(第三个邮筒里至少有一封信)=P(X+Y≤1)= P(X =0,Y = 0+P(X =0,Y =1)+ P(X =1,Y =0)12.259999313P(3)FX一LV/.22°22= P(X = 0,Y=O}+P[X =1,Y=02￥1+399沈阳师范大学

(2) { } { 1} P P X Y 第三个邮筒里至少有一封信 ＝ +  { 0, 0} { 0, 1} { 1, 0} 1 2 2 5 9 9 9 9 = = = + = = + = = P X Y P X Y P X Y = + + =     3 1 3 1 (3) , , 2 2 2 2 0, 0 1, 0 1 2 1 . 9 9 3 F P X Y P X Y P X Y       =         = = = + = = = + =

说明离散型随机变量（X，Y）的分布函数归纳为ИИF(x,J)=Pij'x;≤x Jj≤J其中和式是对一切满足x;≤x,J;≤的i,j求和沈阳师范大学

( , )   ,   = x x y y ij i j F x y p 说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为 其中和式是对一切满足 x x, y y 的i, j求和. i  j 