沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件及其概率1.6 事件的独立性与伯努利概型

-41.6事件的独立性与伯努利概型一、事件的相互独立性二、伯努利概型沈阳师范大学

一、事件的相互独立性 二、伯努利概型 1.6 事件的独立性与伯努利概型

H事件的相互独立性1.引例盒中有5个球(3白2黑)每次取出一个，有放回地取两次.记A=第一次抽取,取到白球B=第二次抽取,取到白球393C则有?P(A)PCBAR55C!C253PBA二P(BA) = P(B),5它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小P(BA) = P(B)P(AB)=P(A)P(B)个沈阳师范大学

一、事件的相互独立性 5 (3 2 ), , . , , , , A B = = 盒中有 个球 白 黑 每次取出一个 有放回 地取两次记 第一次抽取 取到白球 第二次抽取 取到白球 则有 P(B A) = P(B), 它表示 A的发生并不影响 B 发生的可能性大小. P(B A) = P(B)  P(AB) = P(A)P(B) 1.引例 3 ( ) , 5 P A = 3 ( ) 5 P B = ， 1 1 3 3 1 1 5 5 9 ( ) 25 C C P AB C C =  = 3 ( ) 5 P B A =

2.定义设A.B是两事件，如果满足等式P(AB) = P(A) P(B)则称事件A,B相互独立,简称A,B独立说明事件A与事件B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关沈阳师范大学

, , , . ( ) ( ) ( ) , , 则称事件 相互独立 简称 独立 设 是两事件 如果满足等式 A B A B P AB P A P B A B = 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关. 说明 2.定义

请同学们思考两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立P(AB）=P(A)P(B))二者之间没有必然联系两事件互AB=O例如若 P(A)B2AB则 P(AB) = P(A)P(B)A由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥沈阳师范大学

两事件相互独立 P(A B) = P(A)P(B) 两事件互斥 AB =  A B , 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = AB 则 P(AB) = P(A)P(B). 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考 二者之间没 有必然联系

若 P(A)22则 P(AB)= 0,BP(A)P(B) :4故 P(AB) ± P(A)P(B)由此可见两事件互但不独立沈阳师范大学

A B 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = 故 P(AB)  P(A)P(B). 由此可见两事件互斥但不独立. 则 P(AB) = 0, , 4 1 P(A)P(B) =

注意：1.必然事件Q与不可能事件Φ与任何事件是相互独立的2.如果 P(A)>0,那么事件A与B相互独立的充要条件是 P(BA)=P(B)如果 P(B)>0,那么事件A与B相互独立的充要条件是 P(AB)= P(A)结论两事件独立，是指其中一事件的发生与另一事件的发生无关，沈阳师范大学

注意： 结论 两事件独立,是指其中一事件的发生 与另一事件的发生无关. 1. 必然事件 与不可能事件 与任何事件 是相互独立的.   2. 如果 那么事件A与B相互独立 的充要条件是 . P A( )  0,P B A P B ( ) = ( ) 如果 那么事件A与B相互独立的 充要条件是 . P B( )  0,P A B P A ( ) = ( )

例2掷一枚均匀的殷子，设事件A{点数为偶数}，事件B={点数小于5}，验证事件A与B是相互独立的。证明样本空间Q={1，2，3，4，5，6)共含有6个基本事件，每个基本事件的概率都是}．又事件bAB =[2, 4];A =2, 4, 6}B ={1,2, 3,4)11PCA)PCB3所以A与 B是相互独立的P(AB)= P(A)P(B) =3沈阳师范大学

例2 掷一枚均匀的骰子，设事件A＝{点数为偶数}，事 件B＝{点数小于5}，验证事件A与B是相互独立的． 证明 样本空间＝{1，2，3，4，5，6}共含有 6 个基本事件， 每个基本事件的概率都是 1 6 ．又事件 A ＝{2，4，6} B ＝{1，2，3，4} AB ＝{2，4}， 1 ( ) 2 P A = ， 2 ( ) 3 P B = ， 1 ( ) 3 P AB = ， 1 ( ) ( ) ( ) 3 P AB P A P B = = 所以 A与B 是相互独立的

定理1下列四个命题是等价的：(1）事件A,B相互独立;(2）事件 A与B相互独立.(3）事件A与B相互独立.(4)事件A与B相互独立沈阳师范大学

(1 , ; ) 事件 A B 相互独立 定理1 下列四个命题是等价的: (2 . ) 事件 A B 与 相互独立 (3 . ) 事件 A B 与 相互独立 (4 . ) 事件 A B 与 相互独立

+例3一个家庭中有两个小孩，求下列事件的概率1）已知老大是女孩，则老二也是女孩。解设A=【老大是女孩】，A,=【老二是女孩】。(1)事件“已知老大是女孩，老二也是女孩”的概率为P(A[4)又有A与A,相互独立，且1P(A)= P(A)=2P(A)P(AP(AA)P(A2A) =2P(A)P(A)沈阳师范大学

例3 一个家庭中有两个小孩,求下列事件的概率。 (1)已知老大是女孩，则老二也是女孩。 解 设 A1 =｛老大是女孩｝， A2 =｛老二是女孩｝． (1)事件“已知老大是女孩，老二也是女孩”的概率为 2 1 P A A ( )．又有 1 A 与 2 A 相互独立，且 1 2 1 ( ) ( ) 2 P A P A = = 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 P A P A P A P A = = 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) P A A P A A P A = =

-例3一个家庭中有两个小孩,求下列事件的概率。(2)已知其中一个是女孩，则另一个也是女孩。解：(2)事件“已知其中一个是女孩，另一个也是女孩”的概率，相当于在“已知两个孩子中至少有一个女孩的条件下”求“两个孩子均是女孩的概率”，即求P(AAA+A)11_3=1.1P(A + A)=1-P(A A)=1- P(A)P(A)22411 1P(A,A)= P(A)P(A)142 2P(A,A)14.P(AA A + A)三33P(A + A2)4沈阳师范大学

例3 一个家庭中有两个小孩,求下列事件的概率。 (2)已知其中一个是女孩，则另一个也是女孩。 解：(2)事件“已知其中一个是女孩，另一个也是女孩”的概率， 相当于在“已知两个孩子中至少有一个女孩的条件下” 求“两个孩子均是女孩的概率”，即求 1 2 1 2 P A A A A ( ) + . 1 2 1 2 1 2 P A A P A A P A P A ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) + = − = − 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 4 P A A P A P A = =  = 1 1 3 1 2 2 4 = −  = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 4 ( ) ( ) 3 3 4 P A A P A A A A P A A + = = = +