沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 数字特征 4.2 方差

4.2方差一、随机变量方差的概念重要概率分布的方差二、童三、 随机变量方差的性质沈阳师范大学

一、随机变量方差的概念 二、重要概率分布的方差 4.2 方 差 三、随机变量方差的性质

--一、随机变量方差的概念1.方差概念的引入实例从甲、乙两家手表厂生产的手表中各随机抽取100只测其日走时误差,数据如下：（单位：秒）甲厂手表日走时误差X01030-30-101035101035百分比(%)乙厂手表日走时误差X01030-30-1055151560百分比(%)试问哪一家工厂生产的手表质量好一些？沈阳师范大学

1. 方差概念的引入 实例 从甲、乙两家手表厂生产的手表中各随机抽 取100只测其日走时误差,数据如下: (单位:秒) 一、随机变量方差的概念 甲厂手表日走时误差 X 百分比(%) − 30 −10 0 10 30 35 10 10 10 35 乙厂手表日走时误差 X 百分比(%) − 30 −10 0 10 30 5 15 60 15 5 试问哪一家工厂生产的手表质量好一些？

中显然， E(X)=E()=0即甲、乙两厂生产的手表平均日走时误差均为0，我们必须寻找新的数量指标（数字特征）来比较从直观上看，乙厂生产的手表质量好一些这是因为Y的取值更集中在它的均值 E(y)=0 附近,所以质量比较稳定。上述例子提示我们，需要定义一个新的数量指标来度量随机变量X和它的均值E(X)之间的离散程度（偏离程度）．方差的概念由此产生。沈阳师范大学

显然， E(X ) = E(Y ) = 0 即甲、乙两厂生产的手表平均日走时误差均为0， 我们必须寻找新的数量指标（数字特征）来比较. 从直观上看，乙厂生产的手表质量好一些， 这是因为Y 的取值更集中在它的均值 附近， 所以质量比较稳定． E(Y ) = 0 上述例子提示我们，需要定义一个新的数量 指标来度量随机变量X和它的均值 之间的离散 程度（偏离程度）．方差的概念由此产生． E X( )

中2.方差的定义设X是一个随机变量,若存在则称 E(X-E(X))为X的方差,记为D(X)或Var(X),即D(X)= Var(X)= E(X - E(X))2称/D(X)为标准差或均方差,记为α(X)沈阳师范大学

( ) ( ) 2 2 , , ( ) , ( ) Var( ), ( ) Var( ) ( ) . ( ) , ( ). X E X E X X D X X D X X E X E X D X σ X − = = − 设 是一个随机变量 若存在 则称 为 的方差 记为 或 即 称 为标准差或均方差 记为 2. 方差的定义

13.方差的意义方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果DX值大，表示X取值分散程度大，氏X)的代表性差；而如果D(X)值小，则表示X的取值比较集中，以氏X作为随机变量的代表性好沈阳师范大学

方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程 度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表 示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代 表性好. 3. 方差的意义

4.随机变量方差的计算(1)利用定义计算离散型随机变量的方差+8D(X)=Z[x - E(X)'pk:k=1其中 P[X= x}= Pk,k=1,2,是 X的分布律连续型随机变量的方差+8D(X)=[x -E(X)}'f(x)dx,0其中 f(x)为X的概率密度沈阳师范大学

离散型随机变量的方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k k D X  x E X p + = = − 连续型随机变量的方差 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x  + − = − 4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. 其中 P{X x } p , k 1,2, 是 X 的分布律. = k = k = 

H4(2)利用公式计算DX = EX? -(EX)证明DX = E(X - EX)= E(X? -2XEX +(EX))= E(X2)-2E(X)E(X) +(EX)= E(X)-(EX)沈阳师范大学

( ) 2 2 DX EX EX = − . 证明 ( ) 2 DX E X EX = − ( ( ) ) 2 2 = − + E X XEX EX 2 ( ) 2 2 = − + E X E X E X EX ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 = − E X EX ( ) (2) 利用公式计算

4三、随机变量方差的性质(1) 设 C 是常数,则有 D(C) = 0.证明 D(C) = E(C2)-[E(C)}=C2 -C2= 0.(2)设 X是一个随机变量,C 是常数,则有D(CX) = CD(X)证明D(CX) = E[CX - E(CX)]}=C?E[X - E(X)]= CD(X)沈阳师范大学

证明 2 2 D(C) = E(C ) − [E(C)] (1) 设 C 是常数, 则有 D(C) = 0. 2 2 = C − C = 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX = C D X 证明 D(CX) 2 2 = − C E X E X [ ( )] ( ). 2 = C D X 2 = − E CX E CX [ ( )] 三、随机变量方差的性质

+(3)设 X,Y 相互独立,D(X),D(Y) 存在,则D(X ± Y) = D(X) + D(Y)证明D(X +Y) = EI(X +Y)- E(X +Y)I= E[X - E(X)]+[Y - E(Y)]})= E[X - E(X)]}? +E[Y - E(Y)]}+2E[X -E(XOIY -E(Y])X与Y独立，则X-E(X)与Y-E(Y)独立2E{[X - E(X)I[Y - E(Y)]}) = 2E[X - E(X)]E[Y - E(Y)] = 0:: D(X +Y) = D(X) + D(Y)沈阳师范大学

D(X Y ) = D(X) + D(Y ). (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 2 D X Y E X Y E X Y ( ) [( ) ( )] + = + − + 2 = E{[X − E(X )]+[Y − E(Y)]} 2 {[ ( )][ ( )]} [ ( )] [ ( )] 2 2 E X E X Y E Y E X E X E Y E Y + − − = − + − X与Y 独立，则 X − E(X)与Y − E(Y)独立 2E{[X − E(X )][Y − E(Y)]} = 2E[X − E(X )]E[Y − E(Y)] = 0 D(X +Y) = D(X ) + D(Y)

D(X -Y) = D[X +(-Y)= D(X) + D(-Y)= D(X)+(-1)° D(Y)= D(X) + D(Y)推广若 Xi,X2,,X,相互独立,则有DZcX,|=Zc,DXi=11=沈阳师范大学

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 D X D Y D X D Y D X D Y D X Y D X Y = + = + − = + − − = + − 推广   = =  =      n i i i n i D Ci Xi C DX 1 2 1 若 X1 , X2 ,  , Xn 相互独立,则有