沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 数理统计的基本知识 6.3 统计量及其分布

H+6.3统计量及其分布统计量的定义三大统计分布三、抽样分布定理沈阳师范大学

6.3 统计量及其分布 一、 统计量的定义 二、 三大统计分布 三、 抽样分布定理

山统计量的定义设X,X2,,X,是来自总体X的一个样本g(Xi,X2,",Xn)是X,X2,,X,的函数,若g中不含未知参数，则称g(X,X2,"",X,)是一个统计量。设x,X2,,x是相应于样本X,X2,X的样本值,则称g(xi,X2,".",xn)是g(Xi,X2,",Xn)的观察值沈阳师范大学

一、 统计量的定义 . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 计量 不含未知参数 则称 是一个统 是 的函数 若 中 设 是来自总体 的一个样本 n n n n g X X X g X X X X X X g X X X X     . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 的观察值 的样本值 则称 是 设 是相应于样本 n n n n g x x x g X X X x x x X X X    

二、统计学三大常见分布1.α2分布 (卡方分布)设Xi,X2,,X,是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量X=X?+X?+·+X，服从自由度为n的 2分布,记为 X～(n)

二、统计学三大常见分布 1 2 2 2 2 1 2 2 2 , , , (0,1) , , ~ ( ). n n X X X N X X X X n X n   + + + 设 是来自总体 的样本 则称统计量 ＝ 服从自由度为 的 分布 记为 1.  2分布 (卡方分布)

?分布的性质性质1(（2分布的可加性）设 X～ 2(m),～ 2(n),并且 X,Y相互独立,则X +Y~ x(m+n)练习1:设X～2(10),Y～2(15),且X,Y相互独立,则X + Y ~ ×2(25)

 2 分布的性质 性质1 ~ ( ) . ~ ( ) , ~ ( ) , , , 2 2 2 X Y m n X m Y n X Y +  + 设   并 且 相互独立 则 ( )  2 分布的可加性 练 习1 : 设 X ~  2 (1 0) , Y ~  2 (1 5) , 且 X , Y 相互独立, 则 X + Y ~ (25) 2 

性质2（α2分布的数学期望和方差）若 X ～ ×2(n), 则 E(X)=n， D(X)= 2n练习2:设X～2(10),Y～2(15),且X,Y相互独立,则E(X)=10 D(y)=30

性质2 ~ ( ) , ( ) , ( ) 2 . 2 若 X  n 则 E X = n D X = n ( )  2分布的数学期望和方差 练 习 2 : 设 X ~  2 (1 0) , Y ~  2 (1 5) , 且 X , Y 相互独立, 则 E(X ) =10 D(Y ) = 30

例1设Xi,X2,,X,相互独立,且同分布服从N(O,1)求下列随机变量分布(1)X? + X2 +... + X?3(x + X2)(2)2(x+x +x)J2X,(3)x2 +X3答案 (1)~ x2(5)(2) ~ F(2,3)(3) ~ t(2)

. , , , , (0,1), 1 2 5 求下列随机变量分布 设 X X  X 相互独立 且同分布服从N 2 5 2 2 2 1 (1)X + X ++ X ( ) ( ) 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 3 (2) X X X X X + + + 2 3 2 2 2 1 (3) X X X + 例1 答案 (1) ~ (5) 2  (2) ~ F(2,3) (3) ~ t(2)

4一、正态总体条件下的抽样分布1.单个正态总体条件下的抽样分布定理1设Xi,X2，…,X,是来自正态总体N(u,α2)的样本,X是样本均值,则有X～N(u,2 /n)X-μ即 E(X)=μ, D(X)-,μ~ N(0, 1)n/Vn沈阳师范大学

1.单个正态总体条件下的抽样分布 定理1 , , ~ ( , / ). , , , ( , ) 2 2 1 2 X X N n X X Xn N     的样本 是样本均值 则有 设  是来自正态总体 ( ) , ( ) , 2 n E X D X  即 =  = ~ (0,1) / N n X  −  一、正态总体条件下的抽样分布

中中山正态总体Nu,）的样本均值和样本方差有以下两个重要定理定理2设X,X2，,X是总体N(u,)的样本X,S2分别是样本均值和样本方差，则有(n -1)s2(1)~ x(n -1);9(2) X 与 S2 独立沈阳师范大学

定理2 (2) . ~ ( 1); ( 1) (1) , , , , , ( , ) , 2 2 2 2 2 2 1 2 与 独立 分别是样本均值和样本方差 则有 设 是总体 的样本 X S n n S X S X X Xn N − −      . ( , ) 2 有以下两个重要定理 正态总体 N   的样本均值和样本方差

定理3设X,X,,,X,是总体N(u,α2)的样本，X,S2分别是样本均值和样本方差.则有X-μ~ t(n-1),S/Vn(n -1)s2X-μ证明因为 N(0,1) x(n-1)9a//n且两者独立，由t分布的定义知x-μX-μ(n-1)s2S/ /n ~ t(n-1).α / /n / Vα2(n-l)沈阳师范大学

~ ( 1). / , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 − − t n S n X X S X X Xn N    样本 分别是样本均值和样本方差 则有 设  是总体 的 证明 ~ (0,1), / N n X  −  因为 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   且两者独立, 由 t 分布的定义知 S n X n n S n X ( 1) / ( 1) / 2 2     − = − − − ~ t(n −1). 定理3

-例1 设总体X～N(12,4),Xi,X2,X,是来自总体的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于的概率解由题意得，～~M12,号5X-12~ N(0,1)/4/5故所求概率为 P(区-12 >1)=1-P([-12≤1)X-12-1=1-P/4/5V4/5V4/5= 1-@(1.12)+Φ(-1. 12)= 2[1-Φ(1.12)] = 0.2628沈阳师范大学

例 1 ( ) 1 . ~ 12,4 , , , , 1 2 5 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 的概率 设总体X N X X  X 是来自总体的样本 解   54 由题意得, X ~ N 12, ~ (0, 1 ) 4 5 12 N X − 故所求概率为 P X −12 1=1− P X −12 1   −  − = − 4 5 1 4 5 12 4 5 1 1 X P = 1 −  ( 1.12 ) +  ( − 1.12 ) = 2 1 −  ( 1 .12 )  = 0 .2628