沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第3章 向量与线性方程组

线性代数教案第3章向量与线性方程组第 11 讲授课题目$3.1向量及其运算教学目的1.了解向量的概念2.掌握向量的运算教学重点向量的运算教学难点向量与矩阵的对应关系教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合教学时数1学时备注教学过程一、向量的概念m个数a，αz，"，a构成的有序数组，称为m维向量.这m个数称为该向量的m个分量，第i个数a.称为向量α的第i个分量a,eR称α为实向量（下面主要讨论实向量）a,eC称α为复向量记法：m维向量可写成一行，记作α=(a，αz"，am），称为m维行向量.也就是行矩阵dn或者α=(a，a2,"，am)T，称为列向量，也就也可写成一列记作α=am是列矩阵.特别地有零向量：0=（0,0，"，0）负向量：(-α)=(-a，-a2,""，-am）二向量的运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算，（以行向量为例，列向量相同）1.线性运算向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算已知m维α=(a,az,"",am)，β=(b,bz,,bm)相等：若a,=b,(i=1,2,.,m)，称α=β加法：α+β=(a+b,az+b2,,am+bm)计算机与数学基础教学部（杨淑辉）1

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 1 - 授课题目 §3.1 向量及其运算 第 11 讲 教学目的 1.了解向量的概念 2.掌握向量的运算 教学重点 向量的运算 教学难点 向量与矩阵的对应关系 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 1 学时 教 学 过 程 备注 一、向量的概念 m 个数 1 2 , , , m a a  a 构成的有序数组, 称为 m 维向量．这 m 个数称为该向量 的 m 个分量, 第i 个数 i a 称为向量 的第i 个分量. ai R 称 为实向量（下面主要讨论实向量） ai C 称 为复向量 记法: m 维向量可写成一行, 记作 1 2 ( , , , ) m   a a  a ,称为 m 维行向量.也就是 行矩阵. 也可写成一列 记作 1 2ma a a          , 或者 T 1 2 ( , , , ) m   a a  a , 称为列向量,也就 是列矩阵.特别地有 零向量: 0  ( 0, 0, , 0 ) 负向量: 1 2 ( ) ( , , , ) m   a a  a 二 向量的运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. (以行向量为例,列向量相同) 1. 线性运算 向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算 已知 m 维 1 2 ( , , , ) m   a a  a , 1 2 ( , , , ) m   b b  b 相等：若 ( 1,2, , ) i i a  b i   m , 称   ． 加法：    1 1 2 2 ( , , , ) m m a  b a  b  a  b

线性代数教案第3章向量与线性方程组数乘：ka=(ka,kaz,",kam)减法：α-β=α+(-β)=(a-b,az-bz,,am-bm)2.运算律α=(a, az,", an), β=(b, b2,", b,), y=(c, C2,", ch)(5) 1α=α(1) α+β=β+α(2) (α+β)+=α+(β+)(6) k(lα)=(kl)(3) α+0 =α(7) k(α+β)= kα+kp(4) α+(-α) = 0(8) (k+I)α=kα+lα三、向量的几何意义在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，在平面上，以坐标原点为起点，以点P(x,y)为终点的有向线段所表示为向量OP=(x,y),我们称之为2维向量，在空间直角坐标系中，以坐标原点为起点，以点P(x,y,=)为终点的有向线段所表示为向量OP=(x,y,)，我们称之为3维向量，当m>3时，m维向量就不再有这种几何形象，我们可以通过几何术语来表达，空间常常作为点的集合，点和向量一一对应，常把以“点”为元素的空间称做点空间，把3维向量的全体所组成的集合R'={(=(x,y,z2)[x,y,zeR)叫做3维向量空间.R"={α=(aj,a2,am)laia2,amR)叫做m维向量空间.例1 设α,=(1,-1,1),α,=(-1,1,1)求2α,-3α,巩固练习：课后小结：?计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 2 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 数乘： 1 2 ( , , , ) m k  ka ka  ka 减法：      ( )  1 1 2 2 ( , , , ) m m a b a b  a b 2.运算律 1 2 ( , , , ) n   a a  a , 1 2 ( , , , ) n   b b  b , 1 2 ( , , , ) n   c c  c (1)        (5) 1   (2) (   )      (   ) (6) k(l ) (kl) (3)   0  (7) k(   )  k  k (4)   ()  0 (8) (k  l)  k  l 三、向量的几何意义 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量,在平面上,以坐标 原点为起点,以点 P(x, y) 为终点的有向线段所表示为向量OP  x, y  ,我们称之为 2 维向量,在空间直角坐标系中,以坐标原点为起点,以点 P(x, y,z) 为终点的有向线 段所表示为向量OP  x, y,z  ,我们称之为 3 维向量,当 m  3 时, m 维向量就不再 有这种几何形象,我们可以通过几何术语来表达. 空间常常作为点的集合,点和向量一一对应,常把以“点”为元素的空间称做点 空间,把 3 维向量的全体所组成的集合   3 ( , , ) , , T R  r  x y z x y z  R  叫做 3 维向量空间.  ( 1 , 2 , , ) 1 , 2 , ,  m R m m    a a  a a a  a  R 叫做 m 维向量空间. 例 1 设 T T 1 2   (1,1,1) ,  (1,1,1) 求 1 2 2 3 . 巩固练习： 课后小结：

线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目第12 讲83.2向量组的线性相关性1.理解向量组与矩阵的对应关系2.掌握线性相关与线性无关的概念教学目的2.会运用判定定理及相关结论判定向量组的线性相关教学重点线性相关与线性无关的概念及判定教学难点线性相关性的判定教学方法教学时数探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合2学时备注教学过程知识储备：1.克莱姆法则Ax=0有非零解A=0（A为方阵）；2.秩R(A)=行阶梯型/列阶梯型非零行行数；3. 秩的性质max(R(A),R(B))≤R(A,B) ≤ R(A)+R(B) 一、向量组与矩阵结论：矩阵可以看成（一）矩阵与向量组的关系向量组，向量组也可定义1若干个同维数的列向量(或同维数行向量)所组成的集合叫做向量组以组成矩阵。1.mxn矩阵的全体列向量是一个含n个m维列向量的向量组,它的全体行向量含m个n维行向量的向量组.2.n个m维列向量所组成的向量组A：αj,αz,…α,构成一个m行n列的矩阵A= (α,α2,..αn)3.n个m维行向量组成向量组B：β,β，，β构成一个n×m矩阵(BT)BTB :BT（二）线性组合与线性表示定义2给定向量组A:α,αz,αm，若有一组数ki，",k，使得β=k,α,+...+k,αn,则称β为向量组αi,,α的线性组合，或β可由α，,α线性表示，称k,kz,,k，为组合系数或表示系数计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-3

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 3 - 授课题目 §3.2 向量组的线性相关性 第 12 讲 教学目的 1． 理解向量组与矩阵的对应关系 2.掌握线性相关与线性无关的概念 2． 会运用判定定理及相关结论判定向量组的线性相关 教学重点 线性相关与线性无关的概念及判定 教学难点 线性相关性的判定 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 知识储备：1.克莱姆法则 Ax  0有非零解 A  0 （ A 为方阵）； 2.秩 R(A) =行阶梯型/列阶梯型非零行行数； 3.秩的性质 maxR(A), R(B)  R(A, B)  R(A)  R(B) . 一、向量组与矩阵 （一）矩阵与向量组的关系 定义 1 若干个同维数的列向量(或同维数行向量)所组成的集合叫做向量组. 1．mn 矩阵的全体列向量是一个含 n 个 m 维列向量的向量组,它的全体行向量 含 m 个 n 维行向量的向量组. 2．n 个 m 维列向量所组成的向量组 A    n : , , 1 2 构成一个 m 行 n 列的矩阵 ( , , ) A  1  2  n 3. n 个 m 维行向量组成向量组 T n T T B : 1 , 2 , 构成一个 n  m 矩阵 T 1 T 2 T n         B    。 （二）线性组合与线性表示 定义 2 给定向量组 A    n : , , 1 2 , 若有一组数 n k , ,k 1  使得 1 1 n n   k   k  , 则称  为向量组 n , , 1  的线性组合, 或  可由  n , , 1  线性表示,称 1 2 , , , n k k  k 为组合系数或表示系数. 结论：矩阵可以看成 向量组，向量组也可 以组成矩阵

线性代数教案第3章向量与线性方程组KK该式也可以表示为β=(ααz"",αAK，可见k.β可由α,,α,线性表示相当于方程组Ax=β有解定理1（充要条件）β可由αi,",α,线性表示 R(A)=R(A,β)，其中 A=(αi,α2,",α,).例1设α=(1,1,1)，α,=(0,1,1)，α,=(0,0,1)，β=(1,3,4)"问β能否由ααα线性表示？解法1：定义法二、向量组的线性相关与线性无关解法2：定理1定义3对n维向量组αi,α2，",α，，若存在一组不全为零的数kj,kz，",，使kα+…+k,α=0，则称向量组αi,α2α,线性相关否则，称αi,α2",α，线性无关。5点说明：1.若α,α2，"α线性无关，则只有当==，=0时才有++.+,=0成立2.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关3.向量组只包含一个向量α时若α=0则说α线性相关若α±0.则说α线性无关4.包含零向量的任何向量组是线性相关的5.含有两个向量的向量组线性相关一两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线：三个向量相关的几何意义是三向量共面三、向量组线性相关性的判定定理3（充要条件）向量组αj,α2，"α，线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。（证略）定理4（充要条件）1.向量组αα2",α线性相关矩阵A=(α,α2",α）的秩R(A)<n-4-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 4 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 该式也可以表示为 1 2 1 2 ( , , , ) n n k k k               AK ,可见  可由 1 , ,    n 线性表示相当于方程组 Ax   有解. 定理 1（充要条件）  可由  n , , 1  线性表示 R(A)  R(A, ) ， 其中 1 2 ( , , , ) A      n . 例 1 设 T 1   (1,1,1) ， T 2   (0,1,1) ， T 3   (0,0,1) ， T   (1,3,4) 问  能否由 1 2 3  , , 线性表示？ 二、向量组的线性相关与线性无关 定义 3 对 n 维向量组   s , , , 1 2  ，若存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，使 0 k11  ks  ，则称向量组   s , , , 1 2  线性相关。 否则，称   s , , , 1 2  线性无关。 5 点说明： 1 2 1 1 1 2 2 1. , , , , 0 , 0 . n n n n                     若 线性无关 则只有当 时 才有 成立 2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关. 3. , 0 , 0, .      向量组只包含一个向量 时 若  则说 线性相关 若  则说 线性无关 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. 5. . 含有两个向量的向量组线性相关  两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面 三、向量组线性相关性的判定 定理 3（充要条件） 向量组   s , , , 1 2  线性相关的充要条件是其中存在一个向量 可由其余向量线性表示。（证略） 定理 4（充要条件） 1.向量组 1 2 , , ,     n 线性相关 矩阵 1 2 ( , , , ) A      n 的秩 R(A)  n ； 解法 1：定义法 解法 2：定理 1

线性代数教案第3章向量与线性方程组2.向量组α,αz,",α,线性无关一矩阵A=(α,αz",α,）的秩R(A)=n。推论1n维向量组αi,α2",α，线性相关的充分必要条件是A=0；n维向量组α1,α2，"",α，线性无关的充分必要条件是A+0推论2当mt，则推论2：维数小于向β，，β,线性相关（若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.）量个数的向量组必相关max (R(A), R(B)) ≤ R(A, B) ≤ R(A) +R(B) R(A)≤R(A,B)= R(B)≤t<SR(A)≤m<n练习1证明：用定义判别下列向量组的线性相关性(1) α, =(1,0,0,1),α, =(0,1,0,3)T,α, =(0,0,1,4)(2) α, =(1,2,3)T,α, =(1,3,5),α, =(4,8,12))分析：证明方法（1）线性无关（线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关）1.定义+反证法2.A=(a,,am)（2）α=4α，故线性相关B=(a,.,a..a.)R(B)≤ R(A)+1练习2设向量组αjαz,α,的线性相关，向量组αz,α,α,线性无关，证明：4.用定义（1）α,能由αz,α,线性表示；计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-S

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 5 - 2.向量组 1 2 , , ,     n 线性无关 矩阵 1 2 ( , , , ) A      n 的秩 R(A)  n 。 推论 1 n 维向量组   n , , , 1 2  线性相关的充分必要条件是 A  0 ； n 维向 量组   n , , , 1 2  线性无关的充分必要条件是 A  0． 推论 2 当 m  n 时, 必有 m 维向量组   n , , , 1 2  线性相关． 例 3 已知向量组 1 2 3  , , 线性无关, 证明向量组 1 1 2 ,  2 2 3 ,  3 3 1 线性无关． 判定线性相关性的重要结论： 1.向量组   s , , , 1 2  线性无关，而向量组 1 2 , , ,     s ，  线性相关，则  可由    s , , , 1 2  线性表示，且表示法唯一。 2.部分组线性相关则整体组线性相关；整体组线性无关则任意部分组线性无关. 3.线性无关的向量组的每个向量都添加 m 个分量后仍线性无关。 4.含零向量的向量组必线性相关． 5.如果向量组 1 ，.，  s 可由向量组1，.，t 线性表示，且 s  t ，则 1 ，.， s 线性相关.（若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.） maxR(A), R(B)  R(A, B)  R(A)  R(B) R(A)  R(A,B)  R(B)  t  S 练习 1 判别下列向量组的线性相关性 （1） T T T 1 2 3   (1,0,0,1) ,  (0,1,0,3) ,  (0,0,1,4) （2） T T T 1 2 3   (1,2,3) ,  (1,3,5) ,  (4,8,12) 分析： （1）线性无关（线性无关的向量组的每个向量都添加 m 个分量后仍线性无关） （2） 3 1   4 ，故线性相关. 练习 2 设向量组 1 2 3  , , 的线性相关，向量组 2 3 4  , , 线性无关，证明： （1） 1 a 能由 2 3  , 线性表示； 定理 3 也称线性相 关的等价定义 向量组维数未必是 n 设置问题，由学生得 出结论 推论 1：用克莱姆法 则解释 推论 2：维数小于向 量个数的向量组必 相关 R(A)  m  n 证明：用定义 证明方法 1．定义+反证法 2. 1  ( ,, ) A m a a 1 1 ( , , , ) B   m m a a a R(B)  R(A) 1 4.用定义

线性代数教案第3章向量与线性方程组练习引导学生自己（提示：α,αα线性无关=αα,线性无关）完成（2）α不能由α,αz,α线性表示。（提示：反证法）拓展练习已知α, =(1,-1,0,0)T, α, =(0,1,1,-1)T, α, =(-1,3,2,1)T, α4 =(-2,6,4,1)讨论向量组α,αzα,α及向量组α,αzα,的线性相关性课后小结：1．向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；2.线性组合与线性表示的定义与判定：定理1（充要条件）β可由αi,,α,线性表示R(A)=R(A,β)向量组A与向量组B等价R(A)=R(B)=R(A,B)定理2（充要条件）2.线性相关与线性无关的判定方法：A中含有零向量A中部分组线性相关方阵A不可逆AaR(A)<mA中存在α,可由其余向量线性表示向量组A:α,α2…αm线性相关定义k,α,+k,αz+..+kmαm=0，k不全为零Ax=0有非零解A的维数<m厉阵A可逆A中每个向量都添加m个分量仍线性无关A中部分组线性无关AaxR(A)=mA任何α,不能由其余向量线性表示向量组A：α,α2αm线性无关定义只有k全为零，kαkα,+..+k.αm=0Ax-只有零解线性相关与线性无关：11①向量组α1α2,,α,线性无关，而向量组,β2β，β线性相关，则β可由αi,α2α,线性表示，且表示法唯一。②若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关作业：P86-4、6、7、8、9-6-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 6 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） （提示： 2 3 4  , , 线性无关 2 3  , 线性无关） （2） 4 a 不能由 1 2 3  , , 线性表示。 （提示：反证法） 拓展练习 已知 T 1   (1,1,0,0) ， T 2   (0,1,1,1) ， T 3   (1,3, 2,1) ， T 4   (2,6, 4,1) 讨论向量组 1 2 3 4  , , , 及向量组 1 2 3  , , 的线性相关性. 练习引导学生自己 完成 课后小结： １. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示； 2.线性组合与线性表示的定义与判定； 定理 1（充要条件）  可由  n , , 1  线性表示 R(A)  R(A, ) 定理 2（充要条件） 向量组 A 与向量组 B 等价 R(A)  R(B)  R(A,B) 2. 线性相关与线性无关的判定方法： A 中含有零向量 A 中部分组线性相关 方阵 A 不可逆 Amn A 中存在i 可由其余向量线性表示 向量组 A： 1 2 , ,    m 线性相关 R(A)<m 定义 A 的维数<m 1 1 2 2 0 m m k   k   k   ， i k 不全为零 Ax  0 有非零解 A 中每个向量都添加 m 个分量仍线性无关 A 中部分组线性无关 方阵 A 可逆 Amn A 任何i 不能由其余向量线性表示 向量组 A： 1 2 , ,    m 线性无关 R(A)=m 定义 只有 i k 全为零， 1 1 2 2 0 m m k   k   k   Ax  0 只有零解 线性相关与线性无关： ①向量组   s , , , 1 2  线性无关，而向量组 1 2 , , ,     s ，  线性相关，则  可由   s , , , 1 2  线性表 示，且表示法唯一。 ②若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关. 作业：P86-4、6、7、8、9

线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目$3.3向量组的秩与极大无关组第13讲教学目的1.理解向量组的秩与极大无关组的定义2.掌握求向量组的秩与极大无关组的方法教学重点向量组的秩与极大无关组的定义与求法教学难点向量组的秩与极大无关组的求法.教学时数2学时教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合备注教学过程复习引入：向量组的线性相关性与向量组构成的矩阵的秩有密切关系引出，向量组秩的定义A中含有零向量厉阵A不可逆A中部分组线性相关111 AmA中存在α可由其余向量线性表示一向量组A:α,α线性相关R(A)<m定义1↑家A的维数<mk+++km=0，不全为零Ax=0有非零解A中每个向量都添加m个分量仍线性无关A中部分组线性无关方阵A可逆11A1A任何α不能由其余向量线性表示向量组A.α线性无关R(A)=m金定义1只有全为零，+k++m=Ax=0只有零解判定线性相关性的重要结论：1.向量组α1,α2，""α,线性无关，而向量组β,β，"",β，β线性相关，则β可由α1,α2，",α，线性表示，且表示法唯一。2.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。3.含零向量的向量组必线性相关，4.若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关一、向量组的秩与极大线性无关组定义1设有向量组A，若与矩阵秩的定义比(1）在A中有r个向量α,αz,,α,线性无关；较（2）在A中任意r+1个向量（如有r+1个向量）都线性相关则称αi，α2，",α，为向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组.称r为向量组A的秩，记作R(A)或RA:-7-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 7 - 授课题目 §3.3 向量组的秩与极大无关组 第 13 讲 教学目的 1.理解向量组的秩与极大无关组的定义 2.掌握求向量组的秩与极大无关组的方法 教学重点 向量组的秩与极大无关组的定义与求法. 教学难点 向量组的秩与极大无关组的求法. 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 复习引入：向量组的线性相关性与向量组构成的矩阵的秩有密切关系引出，向量组秩的定义. 判定线性相关性的重要结论： 1.向量组   s , , , 1 2  线性无关，而向量组 1 2 , , ,     s ，  线性相关，则  可由   s , , , 1 2  线性表 示，且表示法唯一。 2.线性无关的向量组的每个向量都添加 m 个分量后仍线性无关。 3.含零向量的向量组必线性相关． 4.若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关. 一、向量组的秩与极大线性无关组 定义 1 设有向量组 A , 若 (1) 在 A 中有 r 个向量   r , , , 1 2  线性无关； (2) 在 A 中任意 r 1个向量（如有 r 1个向量）都线性相关． 则称   r , , , 1 2  为向量组 A 的一个极大线性无关组, 简称极大无关组.称 r 为 向量组 A 的秩, 记作 R(A) 或 RA . 与矩阵秩的定义比 较

线性代数教案第3章向量与线性方程组等价定义：设有向量组A，若(1）在A中有r个向量ααz,"",α,线性无关；(2）在A中任意一个向量都可由向量组α,αz，",α,线性相关则称α,αz,",α,为向量组A的一个极大线性无关组注（1）向量组中的向量都是零向量时，其秩为0.(2）R(A)=r时，A中任意r个线性无关的向量都是A的一个极大无关组（3）极大无关组不唯一。的秩为2.例如，aα1,α,线性无关=αα,是一个极大无关组α,α,线性无关=α,α是一个极大无关组矩阵的秩与向量组秩的关系：定理1.矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩定理1的证明过程说明了极大无关组的向量组的极大无关组的求法求法1．将列（行）向量组构造成矩阵：2.对矩阵进行初等行变化，化成行阶梯型，非零行行数r=向量组的秩数；3.不为零的r阶子式所在的列（行）向量为向量组的极大无关组例1 向量组A：β, =(1,0,-2)T，β,=(3,2,0)，β,=(-2,-1,1)T,还有没有其它的极β,=(2,3,5)T，求A的一个极大无关组.大无关组？1 3-2 2)02-13对其施行初等行变换解构造矩阵A=（β,β2,β,β）=注矩阵A化为行(-2 01 5)阶梯形矩阵B，当(13-22)(13-22)(13-22)B的秩为r时，022-102-1B的非零行中第一-1 35+2033-3r3求得 R(A)=2个非零元素所在的(o 00 0)-201 506-399r个列向量是线性无关的.这r列对应13矩阵A中位于1,2行1,2列的二阶子式=2+0，故β,β,是A的一个的原向量组中的向02量即为原向量组的-8-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 8 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 等价定义：设有向量组 A , 若 (1) 在 A 中有 r 个向量   r , , , 1 2  线性无关； (2) 在 A 中任意一个向量都可由向量组   r , , , 1 2  线性相关． 则称   r , , , 1 2  为向量组 A 的一个极大线性无关组. 注 (1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为 0． (2) R(A)  r 时, A 中任意 r 个线性无关的向量都是 A 的一个极大无关组． （3）极大无关组不唯一. 例如, 1 1 0         , 2 0 1         , 3 1 1         , 4 2 2         的秩为 2． 1 2  , 线性无关 1 2   , 是一个极大无关组 1 3  , 线性无关 1 3   , 是一个极大无关组 矩阵的秩与向量组秩的关系： 定理 1.矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. 向量组的极大无关组的求法： 1. 将列（行）向量组构造成矩阵； 2. 对矩阵进行初等行变化，化成行阶梯型，非零行行数 r=向量组的秩数； 3. 不为零的 r 阶子式所在的列（行）向量为向量组的极大无关组. 例 1 向量组 A ： T 1   (1,0,2) , T 2   (3, 2,0) , T 3   (2,1,1) , T 4   (2,3,5) , 求 A 的一个极大无关组． 解 构造矩阵 1 2 3 4 A  ( ,  ,  ,  )          2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 对其施行初等行变换                            0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 3 0 6 3 9 0 2 1 3 1 3 2 2 2 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 2 r r r r 求得 R(A)  2 矩阵 A 中位于 1,2 行 1,2 列的二阶子式 1 3 2 0 0 2   ， 故 1 2  ,  是 A 的一个 定理1的证明过程说 明了极大无关组的 求法 还有没有其它的极 大无关组？ 注 矩阵 A 化为行 阶梯形矩阵 B ,当 B 的 秩 为 r 时 , B 的非零行中第一 个非零元素所在的 r 个列向量是线性 无关的．这 r 列对应 的原向量组中的向 量即为原向量组的

线性代数教案第3章向量与线性方程组极大无关组极大无关组.例2已知向量组α,=(1,-1,0,0)T，α,=(-1,2,1,-1)T，α,=(0,1,1,-1)T,α4=(-1,3,2,1)T，求它的极大无关组，并将剩余向量用极大无关组线性表示.解以各向量为列作矩阵A=(α,α2,αsα)，对A作初等行变换-1(1011)1010011211A=00000020-1-11(0003)000首非零元所在的列分别为1，2，4列，所以α,αz,α为原向量组的一个极大无关组由行最简矩阵知α,=α +α2二、向量组的等价定义3若向量组α1α2，""α，的每一个向量都可由向量组β,β2，",β,线性表示，且向量组β,,β,的每一个向量也可以由向量组αi,α2，,α，线性表示，则称两个向量组等价。向量组等价的性质①反身性：向量组α,α2，,α,与自身等价；②对称性：若向量αt,",α，与向量组β,"",β,等价，则向量组,",β,与向量组α，等价；③传递性：向量组A=[α1",αs]与向量组B=[βi,",β,]等价，且向量组B与向量组C=i,2，",）等价，则向量组A与向量组C等价。定义2设向量组A：α,α2,α,，B：β,,,β若α(i=1,2,r）可由β,β，"",β线性表示，称向量组A可由向量组B线性表示：若向量组A与向量组B可以互相线性表示，称向量组A与向量组B等价.（1）自反性：A与A等价(2)对称性：A与B等价=B与A等价(3）传递性：A与B等价，B与C等价=A与C等价定理2向量组与它的极大无关组等价证设向量组A的秩为r，A的一个极大无关组为A：α,αz…,α,.-9计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 9 - 极大无关组． 例 2 已知向量组 T 1   (1,1,0,0) ， T 2   (1, 2,1,1) ， T 3   (0,1,1,1) ， T 4   (1,3,2,1) ,求它的极大无关组，并将剩余向量用极大无关组线性表示. 解 以各向量为列作矩阵 1 2 3 4 A  ( , , , ) ，对 A 作初等行变换 1 1 0 1 1 2 1 3 0 1 1 2 0 1 1 1 A             1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 3 r        1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 r        首非零元所在的列分别为 1，2 ，4 列，所以 1 2 4  , , 为原向量组的一个极大无关组 由行最简矩阵知 3  1  2 二 、向量组的等价 定义 3 若向量组   s , , , 1 2  的每一个向量都可由向量组    t , , , 1 2  线性表示， 且向量组   t , , 1  的每一个向量也可以由向量组   s , , , 1 2  线性表示，则称两个向 量组等价。 向量组等价的性质 ①反身性：向量组   s , , , 1 2  与自身等价； ②对称性：若向量  s , , 1  与向量组   t , , 1  等价，则向量组   t , , 1  与向量 组  s , , 1  等价； ③传递性：向量组   A   S , ,  1  与向量组   B   t , ,  1  等价，且向量组 B 与 向量组C   1 , 2 ,, n 等价，则向量组 A 与向量组C 等价。 定义 2 设向量组 1 2 : , , , A     r , 1 2 : , , , B     s 若 ( 1,2, , ) i  i   r 可由 1 2 , , ,     s 线性表示, 称向量组 A 可由向量组 B 线 性表示；若向量组 A 与向量组 B 可以互相线性表示, 称向量组 A 与向量组 B 等价． (1) 自反性： A 与 A 等价 (2) 对称性： A 与 B 等价 B 与 A 等价 (3) 传递性： A 与 B 等价, B 与C 等价 A 与C 等价 定理 2 向量组与它的极大无关组等价． 证 设向量组 A 的秩为 r , A 的一个极大无关组为 1 1 2 : , , , A     r ． 极大无关组

线性代数教案第3章向量与线性方程组(1）A,中的向量都是A中的向量=A可由A线性表示(2）任意αEA，当αEA时，α可由A线性表示；当α生A时，α2,",,α线性相关，而ααz，"α,线性无关由定理2知，α可由A线性表示：故A可由A线性表示因此，A与A等价.推论向量组的任意两个极大无关组等价，定理5向量组A：α,αz,α,，向量组B：ββ,β若A线性无关，且A可由B线性表示，则r≤s推论1若A可由B线性表示，则R(A)≤R(B)推论2向量组A与B等价，则R(A)=R(B)=R(A,B）巩固练习：已知α,=(1,-1,0,0),α, =(0,1,1,-1)，α,=(-1,3,2,1),α4=(-2,6,4,1)讨论向量组αi,αz,αg,α及向量组αj,αz,α,的线性相关性提示：（1）αzα,α线性无关=αz,α线性无关（2）反证法作业：P84-9、10课后小结：1，极大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性2：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩一矩阵列向量组的秩一矩阵行向量组的秩3．关于向量组等价的一些结论：两个定理、三个推论，4．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，初等行变换，3.r(A)=r(A)秩的性质：1.0≤r(Amn)≤min(m,n)2.r(A)=0A=04. r(AB)≤min(r(A),r(B))5. A,B为n阶方阵,r(AB)≥r(A)+r(B)-n6. 若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）7. max(r(A), r(B) ≤r(A, B)≤r(A)+r(B)8. r(A+B)≤r(A)+r(B)-10-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 10 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） (1) A1中的向量都是 A 中的向量 A1可由 A 线性表示； (2) 任意  A, 当  A1 时,  可由 A1线性表示； 当  A1 时,  1 , 2 ,, r , 线性相关, 而   r , , , 1 2  线性无关 由定理 2 知,  可由 A1线性表示．故 A 可由 A1线性表示． 因此, A 与 A1等价． 推论 向量组的任意两个极大无关组等价． 定理 5 向量组 1 2 : , , , A     r , 向量组 1 2 : , , , B     s ． 若 A 线性无关, 且 A 可由 B 线性表示, 则 r  s ． 推论 1 若 A 可由 B 线性表示, 则 R(A)  R(B) 推论 2 向量组 A 与 B 等价, 则 R(A)  R(B)  R(A,B) 巩固练习： 已知 T 1   (1,1,0,0) ， T 2   (0,1,1,1) ， T 3   (1,3, 2,1) ， T 4   (2,6, 4,1) 讨论向量组 1 2 3 4  , , , 及向量组 1 2 3  , , 的线性相关性. 提示：（1） 2 3 4  , , 线性无关 2 3  , 线性无关 （2）反证法 作业：P84-9、10 课后小结： １．极大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性． ２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩 ３．关于向量组等价的一些结论：两个定理、三个推论． ４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，初等行变换． 秩的性质：1. 0 ( ) min( , ) m n r A m n    2.r(A)  0  A  0 3. ( ) ( ) T r A  r A 4. r(AB)  min r(A),r(B) 5. A,B 为 n 阶方阵， r(AB)  r(A)  r(B)  n 6.若 P 、Q 可逆，则 r(A)  r(PA)  r(AQ)  r(PAQ) ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） 7. max(r(A),r(B))  r(A, B)  r(A)  r(B) 8.r(A B)  r(A)  r(B)