沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第一章 多项式 1.3 最大公因式

第一章 多项式F=r+r=nfrn)Mg1.31最大公因式-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

1.3 最大公因式 第一章 多项式 主讲人：黄影

1.3最大公因式一、最大公因式的定义与性质f(x)、g(x)E P[x], 若p(x)E P[x]定义满足:p(x)[f(x) 且 (x)g(x),则称p(x)为f(x) g(x)的公因式f(x)、 g(x) E P[xl,若 d(x)E P[x] 满足:定义i) d(x)|f(x), d(x)|g(x);i) 若p(x)E P[x), (x)f(x)且 (x)g(x),则p(x)d(x).则称 d(x)为 f(x)、g(x)的最大公因式

i) d x f x d x g x ( ) ( ), ( ) ( ) ; 定义 f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、  若 满足: ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ), x g x f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、  若 d x P x ( ) [ ]  满足： ii) 若 ( ) [ ] x P x  ，  ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ) x g x ，则 ( ) ( ) . x d x 则称 d x( ) 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式． 则称 ( ) x 为 f x g x ( ) ( ) 、 的公因式． 1.3 最大公因式 定义 一、最大公因式的定义与性质 ( ) [ ] x P x 

1.3最大公因式注：①f(x)g(x)的首项系数为1的最大公因式记作：(f(x)，g(αx)):② Vf(x)e P[x] ，f(x)是 f(x)与零多项式o的最大公因式两个零多项式的最大公因式为03④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的(若d,(x)、d,(x)为f(x)g(x)的最大公因式，则 d,(x)=cd,(x),c为非零常数

注：① f x g x ( ) ( ) 、 的首项系数为1的最大公因式记作: ②   f x P x ( ) [ ] ， f x ( ) 是 f x( ) 与零多项式0的最大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 ( 若 d x d x 1 2 ( ) ( ) 、 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式，则 d x d x 1 2 ( ) c ( ) = ,𝒄为非零常数．) 1.3 最大公因式 公因式是唯一的. (𝒇(𝒙)，𝒈(𝒙))

1.3最大公因式f(x),g(x)e P[l, 若 (f(x),g(x))=1,定义则称f(x),g(x）为互素的(或互质的)说明：f(x),g(x)互素←(f(x),g(x))=1←f(x),g(x)除去零次多项式外无其它公因式

f x g x P x ( ), ( ) [ ],  则称 f x g x ( ), ( ) 为互素的(或互质的)． 定义 若 ( ( ), ( )) 1 , f x g x = f x g x ( ) ( ) , 互素  = ( ( ), ( )) 1 f x g x  f x g x ( ), ( ) 除去零次多项式外无 说明: 其它公因式． 1.3 最大公因式

1.3最大公因式二、最大公因式的存在性与求法引理 若等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，则f(x)、 g(x)与 g(x)、r(x) 有相同的公因式,从而(f(x), g(x) = (g(x), r(x)

若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + f x g x ( ) ( ) 、 g x r x ( ) ( ) 、 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f x g x g x r x , , = 引理 二、最大公因式的存在性与求法 1.3 最大公因式

1.3最大公因式定理对 Vf(x)、g(x)e P[x], 在 P[x)中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可表成f(x)g(x)的一个组合，即u(x)v(x)EP[xl，使d(x)=u(x)f(x) + v(x)g(x)

定理 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ,使   f x g x P x ( ) ( ) [ ] 、 P x[ ] d x( ) d x( ) f x g x ( ) ( ) 、   u x v x P x ( ) ( ) [ ] 、 d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = + 1.3 最大公因式

1.3最大公因式最大公因式d(x）的存在性证明流程图f(x)±0,g(x)=0f(x)=1·f(x)+0f(x),g(x)f(x)=0,g(x)±0g(x)=1·g(x)+0d(x)=g(x)(x)f(x)*0,g(x)*0f(x)=q,(x)g(x)+r(x)T(x)±0,degr(x)<degg(x)f(x)=g(x),g(x)=r(x)

最大公因式 的存在性证明流程图 f (x), g(x) f (x)  0, g(x) = 0 f (x) = 0, g(x)  0 f (x) = 1 f (x) + 0 g(x) = 1 g(x) + 0 d(x) f (x)  0, g(x)  0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x = q1 x g x + r1 x r1 (x) = 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 deg r x deg g x r x ,   f x g x , g x r ( x ) 1 ( ) = ( ) ( ) = d(x) = g(x) 1.3 最大公因式

1.3最大公因式证明:若f(x)、g(x)有一为0，如g(x)=0，则f(x)就是一个最大公因式.且f(x)=1.f(x)+0.g()考虑一般情形：f(x)±0， g(x)±0,用g(x)除f(x)得：f(x) = qi(x)g(x)+r(x)其中 a(ri(x))<a(g(x)) 或 r(x)=0.若r(x)±0，用r(x)除g(x)，得：g(x) = 12(x)r(x)+r(x)

若 f x g x ( ) ( ) 、 有一为0，如 g x( ) 0 = ，则 f x( ) 就是一个最大公因式．且 f x f x g x ( ) 1 ( ) 0 ( ). =  +  考虑一般情形： f x g x ( ) 0, ( ) 0,   用 g x( ) 除 f x( ) 得： 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 或 . 1    ( ( )) ( ( )) r x g x 1 r x( ) 0 = 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 若 r x 1 ( ) 0  ，用 r x 1 ( ) 除 g x( ) ，得： 证明： 1.3 最大公因式

1.3最大公因式其中 a(r(x)a(ri(x) >a(r(x) >....因此，有限次后，必然有余式为0．设rs+1(x) = 0.于是我们有一串等式

若 ，用 除 ，得 2 r x( ) 0  2 r x( ) 1 r x( ) 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 1 ( ) 0. s r x + = 其中    ( ( )) ( ( )) r x r x 2 1 或 r x 2 ( ) 0 = ． . 1 2 即       ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x . 于是我们有一串等式 1.3 最大公因式

1.3最大公因式f(x)=qi(x)g(x)+r(x)g() = q2(x)r(x) +r(x)ri(x) = q3(x)r2(x) + rs(x)ri-2() = q;(x)ri1() + r(x)r-3(x) = Is-1(x)rs-2(x)+ r,-1()rs-2(x) = q,(x)rs-1(x)+r,(x)rs-1(x) = Is+1(x)r,(x)+ 0

2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + . . i 2 i i-1 i r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − = + s 3 s 1 s 2 s 1 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + s 2 s s 1 s r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + s 1 s 1 s r x q x r x ( ) ( ) ( ) 0 − + = + 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1.3 最大公因式