沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第三章 线性方程组 3.3 线性方程组有解判别定理

第三章线性方程组F=r+rF=nfrn)Mg3.3线性方程组有解判别定理-nx(nxr)手r-n(n)）主讲人：黄影

3.3 线性方程组有解判别定理 第三章 线性方程组 主讲人：黄影

3.3线性方程组有解判别定理一、矩阵的秩aa12Wn定义a21O.d22设A=21.....(as1 as2... asn )则矩阵A的行向量组（aii,ai2,ain），i=l,2,,的秩称为矩阵A的行秩：ajanj矩阵A的列向量组,j=1,2,..,n:asj的秩称为矩阵A的列秩

一、矩阵的秩 定义 的秩称为矩阵 A 的行秩； 则矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i in a a a i s = 的秩称为矩阵 A 的列秩. 矩阵 A 的列向量组 1 2 , 1,2, , j j sj a a j n a       =     11 12 1 21 22 2 1 2 , n n s s sn a a a a a a A a a a     =       设 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理定理矩阵的行秩一矩阵的列秩定义矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩记作rank(A)或R(A)注① 若A=0，则 R(A)= 0② 设A = (aij)sxn ,则 R(A) ≤ min(s,n).若R(A)= S， 则称A为行满秩的;若 R(A)=n，则称A为列满秩的

定理 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩， 记作 注 ① 若 𝑨 = 𝟎 ，则 𝑹(𝑨) = 𝟎. ② 设 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒔×𝒏 ,则 𝑹(𝑨) ≤ 𝐦𝐢𝐧( 𝒔, 𝒏). 若 𝑹 𝑨 = 𝒔 , 则称A为行满秩的； 若 𝑹(𝑨) = 𝒏 , 则称A为列满秩的. 3.3 线性方程组有解判别定理 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑨)或R(A)

3.3线性方程组有解判别定理矩阵秩的有关结论定理设 A=(aj)nn，则A=0台R(A)<n;( A|+0 αR(A)=n

矩阵秩的有关结论 定理 设 A a = ( )ij n n ， 则 A R A n =   0 ( ) ; ( A R A n   = 0 ( ) ) 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理推论1n个n维向量α,=(aii,ai2,"",ain),i=1,2,,nal al2 ..aina122... a2na21=0.线性相关←一→行列式........[an aannan2 ...aa12..ain0a22a21...azn线性无关←行列式+0.......an an2 ... amnl

线性相关 11 12 1 21 22 2 1 2 0. n n n n nn a a a a a a a a a 行列式 = 线性无关 11 12 1 21 22 2 1 2 0. n n n n nn a a a a a a a a a 行列式  n 个 n 维向量 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in  = = a a a i n 推论1 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理推论2齐次线性方程组ax, +ai2x2+... +ainxn= 0a21, +a2X2 +... +a2nx, = 0(*)[an +an2, +...+annX, = 0(*) 有非零解←系数矩阵A=(a,)n,的行列式[A =0. R(A)<n(*) 只有零解 [A|+0 R(A)= n

推论2 齐次线性方程组   R A n ( ) .  = R A n ( ) . 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =  + + + =   + + + =  ( )  有非零解  系数矩阵 ( ) 的行列式 =0. A a = ij n n ( )  A ( )  只有零解   0 A 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理定义在一个sxn矩阵A中任意选定k行k列(1<k≤min(s,n))，位于这些行和列的交点上的k2个元素按原来次序所组成的k级行列式，称为矩阵A的一个k级子式定理矩阵A的秩为r的充要条件是中有一个r级子式不等于0且所有r+1级子式等于0

定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列 个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵 位于这些行和列的交点上的 2 (1 min( , ) ,   k s n ) k A的一个k级子式． 定理 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是中有一个 级子式 不等于0且所有 r + 1 级子式等于0. r 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理矩阵秩的计算方法一按定义求出A的行（列）向量组的秩方法二R(A)等于A中非零子式的最大级数

矩阵秩的计算 方法一 按定义求出A的行(列)向量组的秩. 方法二 R A A ( ) 等于 中非零子式的最大级数. 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理23/1的秩.例 求矩阵 A =23-541/72[1解：在A中,+ 0.312又 ： A 的 3 阶子式只有一个 [AI,且 IAI = 0,: R(A) = 2

例 求矩阵 例1 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 −𝟓 𝟒 𝟕 𝟏 的秩. 解：在 解 𝑨 中， 又 ∵ 𝑨 的 𝟑 阶子式只有一个 𝑨 ， 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 ≠ 𝟎. 且 𝑨 = 𝟎， ∴ 𝑹(𝑨) = 𝟐. 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理方法三用初等变换化A为阶梯阵J,R(A)等于J中非零行的行数初等变换不改变矩阵的秩；原理阶梯阵的秩等于其中非零行的行数

方法三 用初等变换化 A 为阶梯阵 J， R A J ( ) 等于 中非零行的行数. 原理 初等变换不改变矩阵的秩； 阶梯阵的秩等于其中非零行的行数． 3.3 线性方程组有解判别定理