沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.2 矩阵的运算

S2.2矩阵的运算Baok一、矩阵的加法Bect二、数与矩阵的乘法vest三、矩阵的乘法Beck四、矩阵的转置a五、方阵的行列式och

§2.2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵的乘法 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式

矩阵的加法例1某工厂生产甲、乙、丙三种产品，各种产品每月所需各类成本（单位：万元）如下表表2-12019年5月份所需各类成本表2-22019年6月所需各类成本产品产品甲丙乙甲丙乙名目名目原材料原材料2.82.63.41.21.42.6劳动报酬劳动报酬5.44.25.53.83.64.5广告费广告费22.22.321.82.7三种产品每月所需的各类成本可列成如下矩阵3.42.82.61.22.61.44.25.55.4A=3.63.84.5B=22.22.322.82.7

一、矩阵的加法 例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，各种产品每 月所需各类成本（单位：万元）如下表 表2-1 2019年5月份所需各类成本 表2-2 2019年6月所需各类成本 产品 名目 甲 乙 丙 原材料 1.2 1.4 2.6 劳动报酬 3.6 3.8 4.5 广告费 2 1.8 2.7 产品 名目 甲 乙 丙 原材料 2.8 2.6 3.4 劳动报酬 5.4 4.2 5.5 广告费 2 2.2 2.3 A            2 2.8 2.7 3.6 3.8 4.5 1.2 1.4 2.6 B            2 2.2 2.3 5.4 4.2 5.5 2.8 2.6 3.4 三种产品每月所需的各类成本可列成如下矩阵

(2.82.63.4)(1.22.6)1.45.55.44.24.5A=3.63.8B=22.22.3.22.82.7甲、乙、丙三种产品2019年5月、6月4642.6 +3.41.2 +2.81.4+2.69８10C=4.5 +5.53.6 + 5.43.8 +4.252 +22.8 +2.22.7+2.3矩阵C 称为矩阵A与矩阵B 和矩阵

矩阵C 称为 矩阵A 与矩阵B 和矩阵. C                     2 2 2.8 2.2 2.7 2.3 3.6 5.4 3.8 4.2 4.5 5.5 1.2 2.8 1.4 2.6 2.6 3.4           4 5 5 9 8 10 4 4 6 = 甲、乙、丙三种产品2019年5月、6月 A            2 2.8 2.7 3.6 3.8 4.5 1.2 1.4 2.6 B            2 2.2 2.3 5.4 4.2 5.5 2.8 2.6 3.4

设矩阵定义（矩阵加法）aCnnai2bu.b12..hb21banb2a22aana21A=(aB=mxn=.1-·........bDmbamlamnam2mlmn为同型矩阵，贝则矩阵au+b αi2+bi2a21 +b21a22 + b22a2n +b2nC=(a, +b,)m·-只有同型+ bam2 +bm2I+b..aa.mmmn可矩阵才以相加称为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B(减）

定义（矩阵加法） 设矩阵 ( ) A  aij m n 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a              ( ) . B  bij m n 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b b b b              ( ) ij ij m n a b  C                           m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 为同型矩阵，则矩阵 称为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B 只有同型 矩阵才可 以相加 （减）

矩阵加法满足下列运算律（1）交换律A+B=B+A（2）结合律(A+B)+C= A+(B+C)显然A+O=A设矩阵 A=(α)称矩阵(α）为A的负矩阵，记作-A，mxn(-ag)mm-A= 显然有 A+(-A)=O由此规定矩阵的减法为 A-B=A+(-B)

矩阵加法满足下列运算律 A B B A     A B A B C       C    ijm n a  A    m n aij     A   m n ij a   （1）交换律 （2）结合律 显然 A+O=A 设矩阵 称矩阵 为A 的负矩阵，记作-A， 显然有 A+(-A)=O 由此规定矩阵的减法为 A-B=A+(-B)

123-5918例210-9465+8[361J32.4131112 +13+8-5 +974-40 +41+6-9 +5986[3 +38+16 +2例31232600711-120

例 2                        12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1                       12 1 3 8 5 9 1 6 9 5 0 4 3 3 6 2 8 1             13 11 4 7 4 4 6 8 9 3 6 2 4 7 1 7 1 2 0 1 1                      1 2 0 0 1 1             例 3

练习1：求矩阵 X，使A=B+X其中0312-1)-21231-41,B=A=(23-11-2-130(12-1-22131-41解X=A-B=(23-11-1(-2(2-41 06-2(44-2

练习1： 求矩阵 ，使 X A B X   3 2 0 1 2 1 1 1 2 1 3 4 2 3 1 2 1 1                               解 X A B 其中 3 2 0 1 2 1 1 1 2 , 1 3 4 2 3 1 2 1 1 B                             A 2 4 1 0 2 6 4 4 2              

练习2：对角矩阵的加法：20030000020004020002060004

练习2：对角矩阵的加法： 100 0 2 0 0 0 4           2 0 0 0 2 0 0 0 2             3 0 0 0 4 0 006          

数与矩阵的乘法二、定义：设A=[j],k 是一个数,规定数 k[ka,]mi称为数乘记作kA，与矩阵A的乘积为矩阵即kaukar2kaka22ka21kazn跟数乘以一kA =个行列式相同吗kakakamlmlmn

与矩阵A的乘积为矩阵 记作 kA , ij m n ka      , ij m n A a k     定义： 设   是一个数,规定数 k 称为数乘 . 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka              即 跟数乘以一 个行列式相 同吗 二、数与矩阵的乘法

数与矩阵相乘满足下列运算规律：(设A、B为mxn矩阵,u为数）(+μ)A=A+μA; (A+B)= A+B（1）分配律(aμ)A= (μuA);（2）结合律(3)1A= A;-1A=-A(4)若A=0:则=0或A=0例如：20003a[106a3604020207aa1二7d0800042002a

    A A   ;         A A A;     A B A B     . 数与矩阵相乘满足下列运算规律: （设 A、B 为 mn 矩阵  , 为数） 1 1 A A A A     ; 3 6 7 2 0 a a a a a            100 2 0 2 0 0 0 4           3 6 7 1 2 0 a           例如： 200 0 4 0 0 0 8            若  A A    0 0 0 ;则 或 （2）结合律 （1）分配律 （3） （4）