沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量 4.3 相似矩阵与矩阵对角化

221练习1设矩阵A=221求A的特征值。221解A有一个特征值为5，设另2个特征值为,2=A=-5++=52 =1, 2 =-1

练习1 设矩阵 1 2 2 2 2 1 2 1 2 A            求A的特征值。 2 3  , , 1 2 3       5 1 2 3       A 5 解 A有一个特征值为5，设另2个特征值为 2 3      1, 1

练习2设3阶方阵A的行列式A|=6，A有一个特征值为-2，则A必有一个特征值为（-3）；A+4A+8A+8E必有一个特征值为（）；A+4A?+8A+8E=解由A=6≠0,知，A为可逆矩阵，且A-A?从而A*=6A-1，现-2是可逆矩阵A的一个特征值，由性质知，是A-"的一个特征值.故6·(-)=-3是A*的一个特征值?

练习2设3阶方阵A的行列式 A  6, A有一个特征值为-2，则 A  必有一个特征值为（ ）； 3 2 A A A E    4 8 8 必有一个 特征值为（ ）； 3 2 A A A E     4 8 8 _. 解 由 A   6 0, 知，A为可逆矩阵，且 1 1 1 , 6 A A A A      从而 1 A A6 .    现-2是可逆矩阵A的一个特征值，由性质知， 1 2  是 1 A  的一个特征值.故 1 6 ( ) 3 2    是 A  的一个特征值. -3

练习2设3阶方阵A的行列式A=6,A有一个特征值为-2，则A必有一个特征值为（-3）；A+4A2+8A+8E必有一个特征值为（0）；A+4A2+8A+8E=_0解：取f(x)=x3+4x2+8x+8,则A3 +4A2+8A+8E=f(A)所以f(A)有一个特征值为 f(-2)=(-2)3 +4(-2) +8(-2)+8=0,解：由于|A+4A2+8A+8E为矩阵A+4A+8A+8E的全部特征值的乘积.现已知其特征值有一个为零，所以A+4A?+8A+8E=0

解：取 3 2 f x x x x ( ) 4 8 8,     则 3 2 A A A E f A     4 8 8 ( ). 所以， f A( ) 有一个特征值为 3 2 f ( 2) ( 2) 4( 2) 8( 2) 8 0,          解：由于 3 2 A A A E    4 8 8 为矩阵 3 2 A A A E    4 8 8 的全部特征 值的乘积.现已知其特征值有一个为零，所以 3 2 A A A E     4 8 8 0, 练习2 设3阶方阵A的行列式 A  6, A有一个特征值为-2，则 A  必有一个特征值为（ ）； 3 2 A A A E    4 8 8 必有一个 特征值为（ ） ； 3 2 0 A A A E     4 8 8 _. 0 -3

$4.3相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵的概念与性质方阵的相似对角化二、三、小结

§4.3 相似矩阵与矩阵对角化 一、 相似矩阵的概念与性质 二、 方阵的相似对角化 三、小结

一、相似矩阵的概念与性质定义1设 A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B则称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B 相似.记作 AB 如果P为正交矩阵，则称A与B正交相似.对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A化为的相似变换矩阵C

一、相似矩阵的概念与性质 A化为B的相似变换矩阵. A B, 1 P AP B A B ～ 1 P AP 定义1设 为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵 P，使得 则称矩阵A相似于矩阵B， 或称A与B 相似.记作 .如果P为正交矩 阵，则称A与B正交相似.对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P 称为把

相似与等价的关系？相似必等价；等价不一定相似。相似关系具有如下基本性质A~A（1）反身性:（2）对称性：若 A~B，则 B～A(3）传递性：若 AB，B~C,则 A~C

相似关系具有如下基本性质： A A ～ A B ～ B A ～ A B, ～ B C ～ A C ～ （1）反身性： （2）对称性：若 ，则 （3）传递性：若 ，则 相似与等价的关系？ 相似必等价；等价不一定相似

（7个性质）相似矩阵的性质：性质1相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值证明设AB，则根据定义，存在可逆矩阵P，使得P-'AP= B于是B-E=P-"AP-P-'P=p-(A-E)P=P-|[A-aE|P|=[A-aE|即A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值注上述性质的逆命题不成立0X

相似矩阵的性质：（7个性质） 性质1 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有 证明 设 A B ～ ,则根据定义，存在可逆矩阵P，使得 1 P AP B 于是 B E  1        P A E P A E 即A与B具有相同的特征多项式,从而具有相同的特征值. 注 上述性质的逆命题不成立. 相同的特征值. 1 1 1   ( )        P AP P P P A E P

性质2相似矩阵具有相同的行列式和相同的迹性质3若 A~B,则 R(A)=R(B)性质4若 A~B，则 Am~B".证明设P-AP=B，则(P-1AP)"=B"，即P-"AP)(P-"AP)..(P-"AP)= P-"A" Pm即P-IA"P=B",所以 Am~Bm0008

性质2 相似矩阵具有相同的行列式和相同的迹. 性质3 若 A B ～ ,则 R R ( ) ( ) A B  性质4 若 A B ～ ，则 . A B m m ～ 证明 设 1 P AP B ，则   1 m  m P AP B ，即      1 1 1 1 m m     P AP P AP P AP P A P  即 1 m m P A P = B ，所以 A B m m ～

例已知矩阵A与B相似，其中000100202则 α=B=A:a2300b0解由trA= trB由A|=B 得:得:5+a=3+b,6a-8=2b．从而解得： α=3,b=5

例 已知矩阵A与B相似，其中 2 0 0 1 0 0 0 2 , 0 2 0 , 0 2 3 0 0 A a B b                       则 a b   _, _. 解 由 trA trB  得： 5 3 ;    a b 由 A B  得： 6 8 2 . a b   从而解得： a b   3, 5

性质5若 A~B，且A可逆，则 B也可逆，且 A-l～B-1性质6若A~B，对于任意多项式f(x)，有f(A)~f(B性质7若A～B n是 A的属于的特征向量，则P-In是B的属于 的特征向量

性质6 若 A B ～ ，对于任意多项式 f x( ) ，有 f f ( ) ( ) A B ～ 是 性质7 若 A B ～ 是 A 的属于  的特征向量，则 1 P  的属于  的特征向量.  B 性质5 若 A B ～ ，且 A 可逆，则 B 也可逆，且 A B   1 1 ～