沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第1章 行列式

线性代数教案绪论绪论授课题目课次：1自我介绍1.教学目标2.课程介绍一一了解线性代数概况1．了解线性代数概况教学重点2.增强学生的使命感和目标感教学难点3．.对线性代数全局把握教学手段板书与多媒体结合教学时数10分钟备注教学基本内容引言一、关于教材线性代数IANXING DAISHU（慕课版）罗敏娜王娜杨淑辉主编冯艳富爱宁张立红副主编教学大纲教学课件数字课程习题参考答案清华大学出版社计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 绪论 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 绪论 课次：1 教学目标 1．自我介绍 2．课程介绍——了解线性代数概况 教学重点 1．了解线性代数概况 2．增强学生的使命感和目标感 3．对线性代数全局把握 教学难点 教学手段 板书与多媒体结合 教学时数 10 分钟 教 学 基 本 内 容 备注 引言 一、关于教材

绪论线性代数教案行列式矩阵向量特征值与线性线性与特征方程组代数向量二次型二、关于线性代数课程1.代数学的一个分支，所谓“线性”，即为一次的；2.涉及变量之间线性关系的问题大量存在；3.许多非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题；4.随着计算机的普及，人们处理多变量、多方程的能力大大提高；5.与其他学科相互渗透，是许多学科的基础。现在终于知道大学时开线性代数是干什么用的了！聪明在于学习，天才在于积累2013-08-1921:14来自QQ空间学而优则用，学而优则创：三、关于Matlab由薄到厚，由厚到1.Matlab是美国Mathworks公司出品的商业数学软件，具有优秀的数值计算和薄，符号计算能力以及卓越的数据可视化能力；2.Matlab是matrix和laboratory两个词的组合，意为矩阵工程（矩阵实验室）：3.在欧美等高校，Matlab已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；4.是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。0211224例如，计算行列式的值，用Matlab计算为330121计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 绪论 计算机与数学基础教学部 王娜 二、关于线性代数课程 1.代数学的一个分支，所谓“线性”，即为一次的； 2.涉及变量之间线性关系的问题大量存在； 3.许多非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题； 4.随着计算机的普及，人们处理多变量、多方程的能力大大提高； 5.与其他学科相互渗透，是许多学科的基础。 三、关于 Matlab 1.Matlab 是美国 Mathworks 公司出品的商业数学软件，具有优秀的数值计算和 符号计算能力以及卓越的数据可视化能力； 2.Matlab 是 matrix 和 laboratory 两个词的组合，意为矩阵工程（矩阵实验室）； 3.在欧美等高校，Matlab 已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统 计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具； 4.是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。 例如，计算行列式 1 0 2 1 1 2 2 3 2 3 3 1 0 1 2 1 − 的值，用 Matlab 计算为 聪明在于学习 , 天 才在于积累 ． 学而优则用 , 学而 优则创 ． 由薄到厚 , 由厚到 薄 ．

绪论线性代数教案程序设计：>>clear>>A=[10 21;-1 2 2 3;2 3 31;0 1 21];>>det(A)运行结果：ans=14四、关于我——自我介绍五、考核方式平时成绩30%、期末机考70%六、关于参考书目《工程数学线性代数》（第七版）同济大学数学系高等教育出版社学习通资源七、几点要求1.不旷课，坚持就是胜利；2.不畏难，敢于挑战；3.注意预习、复习；4.及时、独立地完成作业；5.主动思考、多做练习。计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 绪论 计算机与数学基础教学部 王娜 程序设计： >>clear >>A=[1 0 2 1;-1 2 2 3;2 3 3 1;0 1 2 1]; >>det(A) 运行结果： ans= 14 四、关于我——自我介绍 五、考核方式 平时成绩 30%、期末机考 70% 六、关于参考书目 《工程数学 线性代数》（第七版） 同济大学数学系 高等教育出版社 学习通资源 七、几点要求 1.不旷课，坚持就是胜利； 2.不畏难，敢于挑战； 3.注意预习、复习； 4.及时、独立地完成作业； 5.主动思考、多做练习

线性代数教案第1章行列式授课题目81.1预备知识课次：11.知识目标（1）了解排列、逆序数，奇偶排列、对换。（2）掌握逆序数的概念。2. 能力目标（1）培养观察和分析能力：通过排列和逆序数的学习，学生能够观察和分析不同排列的特点，以及逆序数的变化规律，从而培养观察和分析能力。（2）提升逻辑推理能力：在学习排列和逆序数的过程中，学生需要运用逻辑推理来理解和解决问题，从而提升逻辑推理能力。教学目标（3）增强数学运算能力：通过计算逆序数等数学活动，学生能够锻炼和提高自己的数学运算能力。3.情感与态度目标（1）激发学习兴趣：通过排列和逆序数的有趣性质和实际应用，激发学生的学习兴趣，使他们更加热爱数学学习。（2）培养严谨的数学态度：在学习排列和逆序数的过程中，学生需要严谨地思考、推理和计算，从而培养严谨的数学态度。（3）增强合作与交流能力：通过小组讨论、合作学习等方式，学生能够增强合作与交流能力，学会与他人共同解决问题。教学重点逆序数的求法教学难点逆序数的求法教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法探究式教学法、讲授法教学时数1课时备注教学过程一、复习引入排列的定义二、讲授新课（一）和号和积号1.和号n如a,=a+a+a，表示a,az,a,的连加和台其中i称为下标，下标是虚拟变量，可由任意字母替代，如n1>a.=a=a+1k=lt=0i=l在本课程中，我们还要采用双重和号，如"na,=a+a2+.+ami=l j=l计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §1.1 预备知识 课次：1 教学目标 1.知识目标 （1）了解排列、逆序数，奇偶排列、对换。 （2） 掌握逆序数的概念。 2.能力目标 （1）培养观察和分析能力：通过排列和逆序数的学习，学生能够观察和分析不同排 列的特点，以及逆序数的变化规律，从而培养观察和分析能力。 （2）提升逻辑推理能力：在学习排列和逆序数的过程中，学生需要运用逻辑推理来 理解和解决问题，从而提升逻辑推理能力。 （3）增强数学运算能力：通过计算逆序数等数学活动，学生能够锻炼和提高自己的 数学运算能力。 3.情感与态度目标 （1）激发学习兴趣：通过排列和逆序数的有趣性质和实际应用，激发学生的学习兴 趣，使他们更加热爱数学学习。 （2）培养严谨的数学态度：在学习排列和逆序数的过程中，学生需要严谨地思考、 推理和计算，从而培养严谨的数学态度。 （3）增强合作与交流能力：通过小组讨论、合作学习等方式，学生能够增强合作与 交流能力，学会与他人共同解决问题。 教学重点 逆序数的求法 教学难点 逆序数的求法 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 探究式教学法、讲授法 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 排列的定义 二、讲授新课 （一）和号和积号 1.和号 如 1 2 1 n i n i a a a a =  = + + + ,表示 1 2 , , , n a a a 的连加和. 其 中 i 称 为 下 标 , 下 标 是 虚 拟 变 量 , 可 由 任 意 字 母 替 代 , 如 1 1 1 1 0 n n n i k t i k t a a a − + = = =    = = . 在本课程中,我们还要采用双重和号,如 11 12 1 1 1 m n ij n i j a a a a = =   = + + +

线性代数教案第1章行列式+a21+a22+*·a2m+....+am+am2+...+amm表示mn个数a(i=1,2,m,j=1,2,,n）的连加和2.积号在学习中还要用到求积的符号，如a,=aa,a，表示a,aza,a,的i=l 连乘积．再如II (x -x)=(x2 -x)(x, -x).(x, -x) (x --x).(x, -x2)(x, --.)Isjsisn表示所有可能的(x,一x)(i>)的连乘积（二）排列及其性质1. 引例课程思政：王中林：把一些东西按照一定的顺序排成一列就叫做排列“有时候你摔了一“难，不，怕”政，但纤倒你的很可2.n级排列定义能不是砖头，而是一定义1由自然数1,2,3…,n组成的一个无重复有序数组i,i2,i，称为块金子.”一个n级排列例1：456321、123456、654321是几级排列？6级练习：124356789（10）（11）是儿级排列例2：n（n一1）·21是几级排列？共有多少种排列？2.逆序及逆序数定义2：在一个n级排列i,i2，…i中，如果较大数i,排在较小数i之前，即>，则称这一对数构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数.可表示为t(i,2，i）两种方法例3：求T(32514).解：T(32514)=5.3.偶排列与奇排列定义3：如果排列i，i2，…·，的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆序数为奇数，则称它为奇排列4.逆序数的计算方法例4:试求t(15432)(n(n-1)...321)解：t(15432)=6.计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 21 22 2n + + + a a a + m m mn 1 2 + + + + a a a , 表示 m n 个数 a i m j n ij ( = = 1,2, , ; 1,2, , ) 的连加和. ２.积号 在学习中还要用到求积的符号,如 1 2 1 n i n i a a a a =  = , 表示 1 2 3 n a a a a 的 连乘积．再如 ( ) 1 i j j i n x x     − = − − −  − − − ( x x x x x x x x x x x x 2 1 3 1 1 3 2 2 1 )( ) ( n n n n ) ( ) ( ) ( − ) 表示所有可能的 ( x x i j i j −  )( ) 的连乘积. （二）排列及其性质 1.引例 把一些东西按照一定的顺序排成一列就叫做排列. “难，不，怕” 2. n 级排列定义 定义 1：由自然数 1,2,3, ,n 组成的一个无重复有序数组 n i ,i , i 1 2 称为一 个 n 级排列. 例 1：456321、123456、654321 是几级排列？ 6 级 练习：124356789(10)(11)是几级排列？ 例 2：n(n－1）.21 是几级排列？共有多少种排列？ 2.逆序及逆序数 定义 2：在一个 n 级排列 n i ,i , i 1 2 中，如果较大数 s i 排在较小数 t i 之前，即 s t i i  ，则称这一对数 st ii 构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序 数.可表示为 1 2 n  ( , , ) i i i . 例 3：求 （32514）. 解： （32514 =5 ） . 3.偶排列与奇排列 定义 3:如果排列 n i ,i , i 1 2 的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的 逆序数为奇数，则称它为奇排列. 4.逆序数的计算方法 例 4:试求  (15432)  (n n( 1) 321 − ) . 解:  (15432 6 ) = . 课程思政：王中林： “有时候你摔了一 跤，但绊倒你的很可 能不是砖头，而是一 块金子.” 两种方法

线性代数教案第1章行列式在n,n-1…3,2,1中，只有逆序，没有顺序，故有1t(n(n-1)...21)=(n-1)+(n-2)+2+1:n(n-1)2例5：用两种方法求排列32514的逆序数5.对换定义4:排列i，i2，i，中，交换任意两数与i的位置，称为一次对换，记为(is,i).如：21534（3)23514,T(21534)=3，所以21534是奇排列；t(23514)=4，所以23514是偶排列;一般地有以下结论定理1：任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性定理2：在一个n级排列中（n≥2），奇偶排列各占一半三、巩固练习确定i和j的值，使得9级排列3972i15j4成奇排列.四、小结1.排列；2.逆序数。教学反思：一、教学过程中的亮点与不足1.亮点：（1）注重理论与实践相结合，通过实际例子帮助学生理解抽象概念。（2）引导学生主动思考，鼓励他们提出问题并尝试解决，培养了他们的自主学习能力。2.不足：（1）部分学生在计算逆序数时仍感到困难，需要更多的练习和指导。（2）在课堂时间分配上，理论讲解与实践活动的比例需要进一步优化，以确保学生有足够的时间进行实践操作。（3）对于一些基础较弱的学生，缺乏针对性的辅导和支持，导致他们在学习过程中感到吃力。三、改进措施与建议1.加强练习：针对学生在计算逆序数时遇到的困难，增加相关练习题的数量和难度，帮助他们熟练掌握计算方法。2.优化时间分配：在课前做好充分的准备，确保课堂节奏紧凑有序，避免时间浪费。3.关注个体差异：对于基础较弱的学生，提供个性化的辅导和支持，帮助他们克服学习困难。鼓励学生在学习过程中相互帮助、共同进步，形成良好的学习氛围。4.反思与总结：在每节课后，引导学生进行反思和总结，帮助他们回顾本节课的学习内容，巩固所学知识。鼓励学生提出问题和建议，以便教师及时调整教学策略和方法，提高教学质量。计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 在 n n, 1, 3,2,1 − 中,只有逆序,没有顺序,故有 1 ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2  n n n n n n − = − + − + + = − . 例 5：用两种方法求排列 32514 的逆序数. 5.对换 定义 4:排列 n i ,i , i 1 2 中，交换任意两数 t i 与 s i 的位置，称为一次对换，记 为 t ( , ) s i i . 如: (1,3) 21534 23514 ⎯⎯⎯→ ,  (21534 3 ) = ,所以 21534 是奇排列;  (23514 4 ) = ,所以 23514 是偶排 列; 一般地有以下结论. 定理 1:任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性. 定理 2:在一个 n 级排列中（ n  2 ），奇偶排列各占一半. 三、巩固练习 确定 i 和 j 的值,使得 9 级排列 3972i15j4 成奇排列.． 四、小结 1.排列； 2.逆序数。 教学反思： 一、教学过程中的亮点与不足 1.亮点： （1）注重理论与实践相结合，通过实际例子帮助学生理解抽象概念。 （2）引导学生主动思考，鼓励他们提出问题并尝试解决，培养了他们的自主学习能力。 2.不足： （1）部分学生在计算逆序数时仍感到困难，需要更多的练习和指导。 （2）在课堂时间分配上，理论讲解与实践活动的比例需要进一步优化，以确保学生有足够的时间进 行实践操作。 （3）对于一些基础较弱的学生，缺乏针对性的辅导和支持，导致他们在学习过程中感到吃力。 三、改进措施与建议 1.加强练习：针对学生在计算逆序数时遇到的困难，增加相关练习题的数量和难度，帮助他们熟练 掌握计算方法。 2.优化时间分配：在课前做好充分的准备，确保课堂节奏紧凑有序，避免时间浪费。 3.关注个体差异：对于基础较弱的学生，提供个性化的辅导和支持，帮助他们克服学习困难。鼓励 学生在学习过程中相互帮助、共同进步，形成良好的学习氛围。 4.反思与总结：在每节课后，引导学生进行反思和总结，帮助他们回顾本节课的学习内容，巩固所 学知识。鼓励学生提出问题和建议，以便教师及时调整教学策略和方法，提高教学质量

线性代数教案第1章行列式授课题目81.2行列式的定义课次：11. 知识目标（1）了解二、三阶行列式。（2）掌握行列式的定义。2.能力目标（1）提高计算能力：通过行列式的计算练习，学生应能提高自身的计算能力，熟练掌握行列式的计算方法。（2）培养抽象思维能力：行列式的概念较为抽象，学生需要通过学习行列式的定义，教学目标培养自身的抽象思维能力，从而更好地理解和应用行列式。3.情感与态度目标（1）激发学习兴趣：通过行列式的学习，学生应能体会到线性代数的魅力和实用性，从而激发对数学的兴趣和好奇心。(2)培养严谨的数学态度：行列式的计算需要严谨的数学态度，学生应能养成认真、细致、严谨的学习习惯，注重细节和准确性。（3)增强自信心：通过掌握行列式的定义，学生应能增强自身的自信心，相信自己能够解决复杂的数学问题。教学重点n阶行列式的定义教学难点n阶行列式的定义板书与多媒体结合、学习通教学手段教学方法案例教学法、讲授法1 课时教学时数备注教学过程一、复习引入中学学过解二元一次方程组ax+a,y=c,b,x+b,y=C2如果有解，它的解完全可由他们的系数(aj,a2,br,b2,Ci,c2)表示出来。(1)xb(1)(3)[ax+ay=cabx+a,by=cb(2)b,x+b,y=c2(2)x)(4)abx+aby=ac2(4)-(3= (a,b, -a,b,)y=(ac, -b,c.)aicac2-bci=b ca若ab-ab0，则y=(2)ai2a,b,-a,b[b b2cia2[c2b,同理x=(3)aa2[b 2计算机与数学基础教学部王娜- 1

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 1 - 授课题目 §1.2 行列式的定义 课次：1 教学目标 1.知识目标 （1）了解二、三阶行列式。 （2） 掌握行列式的定义。 2.能力目标 （1）提高计算能力：通过行列式的计算练习，学生应能提高自身的计算能力，熟练 掌握行列式的计算方法。 （2）培养抽象思维能力：行列式的概念较为抽象，学生需要通过学习行列式的定义， 培养自身的抽象思维能力，从而更好地理解和应用行列式。 3.情感与态度目标 （1）激发学习兴趣：通过行列式的学习，学生应能体会到线性代数的魅力和实用性， 从而激发对数学的兴趣和好奇心。 (2)培养严谨的数学态度：行列式的计算需要严谨的数学态度，学生应能养成认真、 细致、严谨的学习习惯，注重细节和准确性。 (3)增强自信心：通过掌握行列式的定义，学生应能增强自身的自信心，相信自己能 够解决复杂的数学问题。 教学重点 n 阶行列式的定义 教学难点 n 阶行列式的定义 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 案例教学法、讲授法 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 中学学过解二元一次方程组    + = + = 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 如果有解，它的解完全可由他们的系数 ( ) 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c 表示出来。    + = + = (2) (1) 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 1 1 (1) (2) b a       + = + = (4) (3) 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 a b x a b y a c a b x a b y c b ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 (4) (3)  a b − a b y = a c − b c − . 若 a1b2 − a2b1  0 ，则 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 b b a a b c a c a b a b a c b c y  = − − = （2） 同理 1 2 1 2 2 2 1 2 b b a a c b c a x = （3）

线性代数教案第1章行列式其中 均称为二阶行列式。bc21brb211c2b2二、讲授新课（一）二阶、三阶行列式定义1：由22=4个数，按下列形式排成2行2列的方形[a α2记作D2a21a22au2其被定义为一个数：a22-a2a21[a21a22[32例1计算二阶行列式的值12[3x, -2x2 =12例2求解二元线性方程组[2x +x =1由33=9个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数a12a3a21a22a23=2233+2231+a3232D, =a31a32a3313223—2332-12233一般2阶，3阶行列式的计算可按对角线法则得到132例3计算三阶行列式D=-103215三阶行列式定义的特征：(1)共有3！=6项相加，其结果是一个数：(2)每项有3个数相乘：aip,2p,a3p,，而每个数取自不同行不同列，即行标固定为123，列标则是1，2，3的某个排列PiP2P3:每项的符号由列标排列PPaP的奇偶性决定，即符号是（-1)(pipap)。(3)计算机与数学基础教学部王娜2

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 2 - 其中 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , c b c a b b a a b c a c 均称为二阶行列式。 二、讲授新课 （一）二阶、三阶行列式 定义 1：由 2 4 2 = 个数，按下列形式排成 2 行 2 列的方形 21 22 11 12 a a a a ， 记作 D2 其被定义为一个数： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − . 例 1 计算二阶行列式的值 3 2 2 1 − . 例 2 求解二元线性方程组 1 2 1 2 3 2 12 2 1 x x x x  − =   + = . 由 3 9 3 = 个数组成的 3 行 3 列的 3 阶行列式，则按下列形式定义为一个数 D3 = 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法则得到. 例 3 计算三阶行列式 2 1 5 1 0 3 1 3 2 D = − 三阶行列式定义的特征： （1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数； （2） 每项有 3 个数相乘： 1p1 2 p2 3 p3 a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行 标固定为 123，列标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ； （3） 每项的符号由列标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 ( ) 1 2 3 ( 1)  p p p −

第1章行列式线性代数教案故三阶行列式可写成a2a3T(PiP2D,=a21 a22 a23=1a2p2a3p5a31a32a33注意对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式，下面我们介绍n阶行列式的定义及其计算方法练习1（二）n阶行列式定义2由n2个数排成n行n列，写成a2..na2a..a2n(1)D=：anan2.am称为n阶行列式，其中a,为第i行，第j列的元素；其值为n!项，每一项取自不同行不同列的n个元素的连乘积，即asa2iam.的代数和.其中jjj,构成一个n级排列若用D表示行列式，则D=Z（-1)(）aza2m。(2)hJ2--.Z (-1)r(i--jn)a,2im.表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列Jij2--J.所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到n阶行列式的另一种定义形式：定义3D=Z(-1)(b-ag%,.un,ii2-即把列标写成标准排列i2..i,为行标的一个n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式定义4 D=Z(-1)((au u,其中i..i,为行标的一个n阶排列，jij.j为列标的一个n阶排列强调：（1）n阶行列式的定义具有类似的三项特征，（2）位置与位置上的元素区别特别，定义一阶行列式（即n=1）为：la=a-若行标不按照自然顺序排列，如何确定符号？计算机与数学基础教学部王娜- 3 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 3 - 故三阶行列式可写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3! ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a D = =  −  注意 对角线法则仅适用于 2 阶和 3 阶的行列式,下面我们介绍 n 阶行列式 的定义及其计算方法. 练习 1 （二） n 阶行列式 定义 2 由 2 n 个数排成 n 行 n 列，写成 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a D = （1） 称为 n 阶行列式,其中 ij a 为第 i 行,第 j 列的元素；其值为 n! 项,每一项取自不同 行不同列的 n 个元素的连乘积,即 1 2 1 2 . n j j nj a a a 的代数和.其中 1 2. n j j j 构成一个 n 级排列. 若用 D 表示行列式，则 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a  D = −  （2） 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a   − 表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列 所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到 n 阶行 列式的另一种定义形式： 定义 3 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n i i i i i i n i i i a a a  D = −  ， 即把列标写成标准排列 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列.由此，得到行列式更一般 的定义形式. 定义 4 1 2 1 2 1 1 2 2 ( . ) ( . ) ( 1) . n n n n i i i j j j i j i j i j a a a  + D = −  ， 其中 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列， 1 2. n j j j 为列标的一个 n 阶排列. 强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征， （2）位置与位置上的元素区别. 特别，定义一阶行列式（即 n = 1 ）为： 11 11 a = a . 若行标不按照自 然顺序排列，如何 确定符号？

线性代数教案第1章行列式的符号例4确定四阶行列式展开式中a32a4a4a23ad24a21a2223a24例5四阶行列式D：共有多少项？乘积a31 3233a34aia2aA12α2443244,是D中的项吗？解共有4!=24项。乘积ai2a24a32a4,不是D中的一项，因为其中有两个元素ai2，a3均取自第2列00010020030003练习：计算行列式练习2x112x1/求x的系数例3已知D=32x1[112x1解由行列式的定义，展开式的一般项为(-1)(ijsi)α1,23;24要出现x的项，则a，需三项取到x.显然行列式中含x的项仅有两项，它们是：(-1)(1234)ai4245;4及 (-1)(1243)aia224y43即x·x-x·1=x及(-1)-x·x·1.-2x=-2x故x的系数为1+(-2)=-1（三）特殊行列式下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式.1.对角行列式ao..(00..a22称D=为对角行列式:1000..a.根据行列式的定义得计算机与数学基础教学部王娜- 4 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 4 - 例 4 确定四阶行列式展开式中 a a a a 32 14 41 23 的符号 例 5 四 阶 行 列 式 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 共 有 多 少 项 ？ 乘 积 12 24 32 41 a a a a 是 D 中的项吗？ 解 共有 4! 24 = 项. 乘积 12 24 32 41 a a a a 不是 D 中的一项，因为其中有两个元 素 12 a ， 32 a 均取自第 2 列. 练习：计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 . 练习 2 例 3 已知 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 x x x x − D = ，求 3 x 的系数. 解 由行列式的定义，展开式的一般项为 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 ( 1) j j j j j j j j a a a a  − 要出现 3 x 的项，则 i ij a 需三项取到 x .显然行列式中含 3 x 的项仅有两项，它们是： (1234) 11 22 33 44 ( 1) a a a a  − 及 (1243) 11 22 34 43 ( 1) a a a a  − 即 3 x x x x    =1 及 3 ( 1) 1 2 2 −     = − x x x x 故 3 x 的系数为 1 ( 2) 1 + − = − . （三）特殊行列式 下面利用行列式的定义来计算几种特殊的 n 阶行列式. 1．对角行列式 称 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a D = 为对角行列式. 根据行列式的定义得