复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题二（题目）

习题 2.11.（1）证明V6不是有理数；(2）V3+V2是不是有理数？2.求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：A=(x|x≥0):B=sinx0<xC:m,neN*并且n<mm3．A,B是两个有界集，证明：(1）AUB是有界集；(2)S=(x+y|xEA,yeB)也是有界集。4.设数集S有上界，则数集T=(x-xeS!有下界，且supS=-infT。5.证明有界数集的上、下确界唯一。6.对任何非空数集S，必有supS≥infS。当supS=infS时，数集S有什么特点？7.证明有下界的数集必有下确界。8.设S=(xEQ并且x2<3)，证明：(1）S没有最大数与最小数；(2)S在Q内没有上确界与下确界。习题2.21.按定义证明下列数列是无穷小量：[ n+1](1)(2) {(-1)"(0.99)");(n?+)j1+2+3+...+n(3)(4)n3n(5)(6)3"71

习 题 2.1 1. (1) 证明 6 不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 3. A, B 是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 4. 设数集 S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS = -inf T 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 6. 对任何非空数集 S ，必有sup S ≥ inf S 。当sup S = inf S 时，数集 S 有什么特点? 7. 证明有下界的数集必有下确界。 8. 设 S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q 内没有上确界与下确界。 习 题 2.2 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ { ( ) −1 0( .99) }； n n ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； 1

(11I(8)n+2nn+12n2.按定义证明下述极限：2n2-12Jn?+n(1)(2)limlim.1m3n2+2=3nn→01lim/3n+2=1：(3) lim (Vn2 +n-n)=(4)P0n+/nn是偶数，(5)lim x,=1,其中x,n1-10-n,n是奇数，3.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：(1)对任意给定的ε>0，存在N，使当n>N时成立x，0，存在无穷多个x,,使|x，1/(2k-1)2k+l））。2.4.6.....(2n)no9.求下列数列的极限：3n2 +4n-1n +2n2-3n+1(1 lim(2) limn2 +12n-n+3n→n→→o2

⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ lim n→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ lim n→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ lim n→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ lim n→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ lim n→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1) 对任意给定的ε > 0 ，存在 N ，使当n > N 时成立 xn 0 ，存在无穷多个 xn ,使｜ xn ｜＜ε。 4. 设 k 是一正整数，证明： lim n→∞ xn = a 的充分必要条件是 lim n→∞ xn k + = a 。 5. 设 lim = ，证明： n→∞ x2n lim n→∞ x2 1 n+ = a lim n→∞ xn = a 。 6. 设 xn ≥ 0，且 lim ,证明： n→∞ xn = a ≥ 0 lim n→∞ xn = a 。 7. { xn }是无穷小量，{ yn }是有界数列，证明{ xn yn }也是无穷小量。 8. 利用夹逼法计算极限： (1) lim n→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) lim n→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + . + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) lim n→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) lim n→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 (提示：应用不等式2 2 k k > − ( )1 ( ) 2k + 1 )。 9. 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ 3 4 1 2 2 n n n + − + 1 ; ⑵ lim n→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 1 ; 2

n元3" + n3lim (/n?+1-1)sin(3)(4) 2limIm 3n+l +(n+ 1)3lim Vn(Vn+i-n);lim Vn(/n? +1-n+1);(5)(6)n-→o1(1-)(-)-(1-);lim /（8)(7)lim"n!1-3(12n-1(9)lim/nlnn;lim(10)22n-→o (2 210.证明：若a,>0（n=1,2.）,且lim=1>1，则lima,=0。n→ an+1n→o11.证明：若a,>0（n=1,2..，且imm=a，则lim/a,=a。an12.设lim（a,+a,+.+a,）存在，证明：7301.(1) lim -(a, +2a, +..-+na,)=0;n→nI(2) lim (nla,a2..-a,)" =0 (a, >0,i=1,2,",n)。S(提示：设a,+az+.+an=S,，则kak=nS,k=lk=113.已知lima,=a，limb=b，证明：a,b,+a,b.++a,b,lim=abna, +a,++a.14.设数列（a,）满足lim(-00<a<+)。证明：-anoan=0lim n→0n习题2.31.按定义证明下述数列为无穷大量：n? +12(1)2n+13

⑶ lim n→∞ 3 3 1 3 1 3 n n n n + + + + ( ) ; ⑷ lim n→∞ ( ) n si n n 2 1 1 2 + − π n ; ⑸ lim n→∞ n n ( + − 1 n) ; ⑹ lim n→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ; ⑺ lim n→∞ 1 n n ! ; ⑻ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n ； ⑼ lim n→∞ n n ln n ; ⑽ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + n n 2 2 1 2 3 2 1 2 " 。 10. 证明：若an > 0（ n = 1,2,"），且 lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则 lim = 0 →∞ n n a 。 11．证明：若 an > 0（ n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n a a n n = →∞ lim 。 12. 设 lim ( n→∞ a a 1 2 + +"+an )存在，证明： (1) lim n→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) lim n→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,.,n)。 (提示：设a a 1 2 + +"+an = Sn ，则 )。 b kak nS S k n n k k n = = − ∑ ∑ = − 1 1 1 13. 已知 lim ， ，证明： n→∞ an = a lim n→∞ bn = lim n→∞ a b a b a b n ab 1 2 n n + 1+ + n 1 = − " 。 14. 设数列{ an }满足 lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = a (−∞ ＜a ＜ + ∞) 。证明： lim n→∞ a n n = 0。 习 题 2.3 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log ； 3

1(3) (n- arc tann);(4)Vn+2J2nyn+l2.(1)设lima，=+oo(或-oo),按定义证明：a,+a,+..+anlim+00(或-00);nn-→00(2)设a,>0，lima,=0，利用（1）证明：1lim (aa,.a,)"=0。3.证明：(1）设(x)是无穷大量，「「≥8>0，则（x）是无穷大量；+(2）设（x,）是无穷大量，limy=b≠0，则（xy）与都是无穷大量。Lyn4.(1）利用Stolz定理，证明：1? +32 +5°+.+(2n+1)24lim3:n3n-→a[1? +32 +52 +...+(2n+1)?4(2)求极限limn3n3n→05.利用Stolz定理，证明：logan=0(1) lim(a>1):nn→on(2) lim(a>1，k是正整数)。=0a"X, - X,-1xn6．（1）在Stolz定理中，若lim=o，能否得出lim0的结论？考虑例子： Yh -yn-!m→aYnx, =(-1)"n,y, =n):(2)在Stolz定理中，若lim二不存在，能否得出lim兰不存在的结论?→o yh - yn-!Ym(考虑例子：x,=1-2+3-4+.+(-1)"-in,y,= n2)。7.设0<入<1，lima,=a，证明4

(3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设 lim n→∞ an = +∞ (或 − ∞ ),按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或 − ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ ( ) a a an n 1 2 1 " = 0。 3. 证明： (1) 设{ xn }是无穷大量，｜ yn ｜≥ > δ 0 ，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量， lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限 lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1， k 是正整数)。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若 lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞ ，能否得出 lim n→∞ x y n n = ∞ 的结论?(考虑例子： xn n , )； n = −( )1 yn = n (2) 在 Stolz 定理中，若 lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出 lim n→∞ x y n n 不存在的结论? (考虑例子： x n n , )。 n = − + − + + − − 1 2 3 4 1 " 1 ( ) yn = n 2 7. 设 0＜λ ＜1， lim ，证明 n→∞ an = a 4

Llim(a, +a.-- +a,-++"ao)=--8.设A=,当n→o时有极限。（p,)为单调递增的正数数列，且p，→+ooZakk=1(n→0）。证明：Pia, + pa, ++P.an = 0 limn→oPn（提示：先作代换a=Ak-Ak-1，再应用Stolz定理。）习题2.41利用lim=e求下列数列的极限：18→n)(1)(2)limlim1→0n(3)lim(4)lim-2n(5) lim (1+-_ 1)n2n2.利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出极限：(1) x) = ~2,x+ = /2+x, ,n=1,2,3,.:(2) x = /2,+1 = /2x,, n=1,2,3,..;-1(3) X = /2, = 2+x, ",n= 1,2,3,...:(4) x =1, x+ =4+3x,,n=1,2,3,..;(5)0<x,<1, xn+ =1 -/1-x,n = 1,2,3, ..;(6)0<x, <1,xn1 =x,(2- x.),n=1,2,3,..。3.利用递推公式与单调有界数列的性质，证明：234n+1(1) lim =0:n-m3572n+15

lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 (提示：先作代换a ，再应用 Stolz 定理。) k = − Ak Ak −1 习 题 2.4 1． 利用 lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出极限： (1) x = 1 2 , x = n+1 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； (2) x = 1 2 , x = n+1 2xn , n = 1 2, ,3,"； (3) x = 1 2 , x = n+1 − + 1 2 xn , n = 1 2, ,3,"； (4) x = 1, = 1 xn+1 4 3 + xn , n = 1 2, ,3,"； (5) 0＜ x ＜1, = 1 1 xn+1 n − 1− x , n = 1 2, ,3,"； (6) 0＜ x ＜1, = x (2 ), 1 xn+1 n n − x n = 1 2, ,3,"。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； 5

a"(2) lim(a>1):0n-→ n!n!(3) lim=0。n"1(2n=1,2,3,.…，分x=1与x,=-2两种情况求limx,。.设x，+Xn2x.Xn+I +Xn(n=1,2,3..),求lim xn。5.设x=a,x2=b,x+2=26.给定0<a<b，令x=a,y=b。-*+y (n=1,3,),(I)若xn+i=/x,yn，Yn+12证明（x,)，（y,）收敛，且limx=limy。这个公共极限称为a与b的算术几何平均2（n=12.3.），证明（x）y收敛，且X,+yn(2)若x+1yn+12x,+yalimx,=limyn。这个公共极限称为a与b的算术调和平均。17. 设x, = 2,= 2+x,（n=1,2,3.），证明数列（x，）收敛，并求极限limx，。8.设（x）是一单调数列，证明limx=α的充分必要条件是：存在（x，）的子列（xm）满足limX=a。9.若有界数列（x,）不收敛，则必存在两个子列（×）与（x）收敛于不同的极限，即lim=a,lim*=b,a+b。10.若数列（x)无界，但非无穷大量，则必存在两个子列(x)）与（xe)），其中（x）是无穷大量，（x））是收敛子列。11.设S是非空有上界的数集，SupS=αES。证明在数集S中可取出严格单调增加的数列x，使得limx,=a。12.设((an，b,）)是一列开区间，满足条件：() ar <a,<.<a,<..<b,<..<b,<b,,6

(2) lim n→∞ a n n ! = 0 ( a ＞1)； (3) lim n→∞ n nn ! = 0。 4. 设 x = n+1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 , n = 1 2, ,3,"，分 x1 = 1 与 2 x1 = − 两种情况求 lim 。 n→∞ xn 5. 设 x = , = , 1 a x2 b x x x n n n + + = + 2 1 2 （n = 1 2, ,3,"），求 lim 。 n→∞ xn 6. 给定 0＜a ＜b ，令 x1 = a , y1 = b 。 (1) 若 x = n+1 x yn n ， y = n+1 x y n n + 2 （n = 1 2, ,3,"）， 证明｛ ｝，｛ ｝收敛，且 = 。这个公共极限称为 与 的算术 几何平均； xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn a b (2) 若 x = n+1 x y n n + 2 , y = n+1 2x y x y n n n n + （n = 1 2, ,3,"），证明｛ ｝,{ }收敛，且 = 。这个公共极限称为a 与b 的算术调和平均。 xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn 7. 设 x = 1 2 , x = n+1 1 2 + xn （n = 1 2, ,3,"），证明数列｛ xn ｝收敛，并求极限 lim 。 n→∞ xn 8. 设｛ ｝是一单调数列，证明 = a 的充分必要条件是：存在｛ ｝的子列{ } 满足 。 xn lim n→∞ xn xn xnk lim k→∞ xnk = a 9. 若有界数列｛ ｝不收敛，则必存在两个子列{ }与{ }收敛于不同的极限，即 = ， = b ， ≠ 。 xn (1) k n x ( 2) k n x lim k→∞ (1) k n x a lim k→∞ ( 2) k n x a b 10. 若数列{ }无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{ }与{ }，其中｛ ｝是 无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 xn (1) k n x ( 2) k n x (1) k n x ( 2) k n x 11. 设 S 是非空有上界的数集，sup S = a ∈ S 。证明在数集 S 中可取出严格单调增加的 数列{ xn }，使得 lim 。 n→∞ xn = a 12. 设{( an ,bn )}是一列开区间，满足条件： (1) a1 ＜a2 ＜.＜an ＜.＜bn ＜.＜b2 ＜b1 ， 6

(2) lim(b,-a,)=0。证明存在唯一的实数三属于所有的开区间(an，b,），且=lima,=limbn-13.利用Cauchy收敛原理证明下述数列收敛：(1)x,=ao+aq+azq+..+a.q"(l qI16.利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。（提示：采用反证法)。7

(2) lim ( n→∞ bn − an )=0。 证明存在唯一的实数ξ 属于所有的开区间( an ,bn )，且ξ = lim = 。 n→∞ an lim n→∞ bn 13. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述数列收敛： (1) xn = a a q a q an q (｜ ｜＜1，｜ ｜≤ n 0 1 2 2 + + +"+ q ak M )； (2) x = n 1 1 2 1 3 1 11 − + − + − " + ( ) n n 。 14. (1) 设数列{ x }满足条件 | n lim n→∞ xn+1 n − x | = 0，问{ xn }是否一定是基本数列。 (2) 设数列{ xn }满足条件｜ xn+1 n − x ｜＜ 1 2n （n = 1 2, ,3,"）。证明{ xn }是基本数列。 15. 对于数列｛ xn ｝构造数集 Ak ： Ak = { xn ｜n ≥ k }={ xk , xk +1 ,.}。 记 diam Ak = sup {｜ xn − xm ｜， xn ∈ Ak , xm ∈ Ak }，证明数列{ }收敛的充分必要 条件是 xn lim k→∞ diam Ak = 0。 16. 利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。(提示：采用反证法)。 7