复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题六（题目）

习题6.11.求下列不定积分：(1) [(x3 +2x2 - 5/x)dx;(2) J(sinx+3er)dx;(4) J(2+ cot’ x)dx ;(3) J(xa +a')dx;(5) J(2csc x-secxtan x)dx;(6) [(x? -2)dx;+1+1dx（8)(7) J(x+-dxVxX2.3*-5.2x(10)bdx;3r3cos2x(Daxdxcosx- sin xcos2x(13) [(1-x2)/x/x dx;(14)dxcos?xsin?x2．曲线y=f(x)经过点(e,-1)，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。3.已知曲线y=f(x）在任意一点(x,f(x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1,（1）：求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图：（2）若已知该曲线经过(1,1)点，求该曲线的方程。习题6.21．求下列不定积分：dxdx(1)(2)4x-3-2x2(4) Je3+2 dx;(3)ex1(6) (5)[(2 + 3+)2dx;dx2 +5x2(8)tan '° x sec? xdx :sin'xdx7(9)[sin 5x cos3xdx;(0) [cos? 5xdx;

习 题 6.1 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ ( ) x x x d 3 2 ∫ + − 2 5 x x x ; ⑵ (sin x d e ) x ∫ + 3 ; ⑶ ( ) x a d a x ∫ + ; ⑷ ∫(2 + cot x)dx 2 ; ⑸ ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 ; ⑹ ( ) x d 2 3 ∫ − 2 x ; ⑺ ( ) x x ∫ + dx 1 2 ; ⑻ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 ; ⑼ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 ; ⑽ 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx ; ⑾ cos cos sin 2x x x dx − ∫ ; ⑿ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 ; ⒀ ( ) 1 2 ∫ − x x x dx ; ⒁ cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx . ⒉ 曲线 经过点(e ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲 线的方程。 y f = (x) ,−1) 3．已知曲线 y f = (x) 在任意一点(x, f (x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少 1， （1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图； （2） 若已知该曲线经过( , 11) 点，求该曲线的方程。 习 题 6.2 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; 1

r sin Vx(2x + 4)dx(D)(12)dx(x2 +4x + 5)2Vxx-dx(13)(14)dx:/1-2x3sinxdxsinx+cosx(15)(16)dx(arcsin x)/1-x2sinx-cosxdx-x(17)(18)dx2-2x+2/9-4x2xsinxcosxtan /1+x2dx;(20)09dxV1+x?1+ sintx2.求下列不定积分：dxdx(1)(2)V1+e2xx/1+x?arctanx1+lnx(3)dxdx(4)(xlnx)2/x(1 + x)(5) J(x -1)(x + 2)20 dx ;(6)[x2(x +1)"dx;dxVx2-9(7)(8)dx ;x4/1+x2r1dxdx(9)(10)x2+2)1aX(ID)(12)dxdr2g-+adx14)[x21-xdx;(13)1+ /2xdxx2(15)(16)dxxVx2-1Va2-xdxVa?-x(17)(18)dx1 + V1-x2x41

⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; 2

19dxx(x" +1)-13．求下列不定积分：(1) [xe2xdx;(2) [xIn(x-1)dx;(3)J x? sin3xdx;(4)dx;sin?x(5) [ xcos? xdx;(6) Jarcsinx dx ;(7) [arctan xdx;8)[x’ arctan xdx;r aresin x dx;(9) [xtan’xdx;(10)Ji-x) JIn?xdx;a2 J x2 In x dx;(4 Je* sin? x dx;(3)Je-" sin5xdx;In'x dx;(15)(6 J cos(lnx)dx ;(8) J /xev dx;a7)J(arcsin x) dx;(19) Jev/+1 dx;(20) J1n(x+/1+x2)dxsinx，求[F(x)f'(x)dx 。4．已知f(x)的一个原函数为I+xsinx5.设f'(sin2x)=cos2x+tan2x，求f(x)。6. 设F(Inx)= In(1+x),求[f(x)dx。xsinxcosx-dx与dx7.求不定积分sinx +cosxsin x+cosx8．求下列不定积分的递推表达式（n为正整数）：(I) I,= sin"xdx;(2) I, = [tan"xdx;dx(4) I, = Jx" sinxdx;(3) I, =Jcos"x(6) I, = [x" In" xdx;(5) I, = Je sin" xdx;dxxn(7) I, =(8) I, = Vi-radr;x"/1+x3

⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; ⒊ 求下列不定积分： ⑴ x dx e2 ∫ x x dx ; ⑵ ∫ x x ln( −1) d ; ⑶ x x 2 ∫ sin 3 ; ⑷ x x dx sin2 ∫ ; ⑸ x x cos d 2 ∫ x ; ⑹ ∫ arcsin x dx ; ⑺ ∫ arc tan xdx ; ⑻ ∫ x arc tan xdx 2 ; ⑼ ∫ x xdx 2 tan ; ⑽ arcsin x x dx 1− ∫ ; ⑾ ln2 ∫ x dx ; ⑿ x x d 2 ∫ ln x ; ⒀ e sin − ∫ x 5xdx ; ⒁ e sin x x dx 2 ∫ ; ⒂ ln3 2 x x ∫ dx ; ⒃ ∫ cos(ln x d) x ; ⒄ (arcsin x) dx 2 ∫ ; ⒅ x dx ∫ e x ; ⒆ e x dx + ∫ 1 ; ⒇ ln(x x + + ) ∫ 1 2 dx . 4． 已知 f (x) 的一个原函数为 x x x 1 sin sin + ，求 ∫ f (x) f ′(x)dx 。 5．设 f x x x ，求 。 2 2 ′(sin ) = cos 2 + tan f (x) 6．设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求 ∫ f (x)dx 。 7. 求不定积分 ∫ + dx x x x sin cos cos 与 ∫ + dx x x x sin cos sin 。 8．求下列不定积分的递推表达式（ n 为正整数）： ⑴ I n = ∫ xdx n sin ; ⑵ I n = ∫ xdx n tan ; ⑶ I n = dx x n cos ∫ ; ⑷ I n = x x d n ∫ sin x ; ⑸ I n = e sin x n ∫ x dx ; ⑹ I n = ∫ x xdx n ln α ; ⑺ I n = x x dx n 1 2 − ∫ ; ⑻ I n = dx x x n 1+ ∫ . 3

(ax +b)dx(ax + b)dx9.导出求[和J(ax+b)/x2+2x+mdx型不定积x2+2Ex+n2Vx2+25x+n2分的公式。10．求下列不定积分：(1)[(5x+3)Nx2+x+2dx;(2)J(x-1)/x2+2x-5 dx;(x -1)dx(x +2)dx(3)(4)x2 + x +1V5+x-x2之a,x,系数满足关系》a,11.设n次多项式p(x)==0，证明不定积分台(i-1)!i=0edx是初等函数。习题6.31.求下列不定积分：dx2x + 3(1) (2)dx(x - 1)(x + 1)2(x2 -1)(x2 +1)xdxdx(3)(4)2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)2(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3 :3dx(5)(6)r3+idr;x4 + x2 +1 :[x*+ 5x+4x3+1(7)(8) dx;dxx2+5x+4x3 +5x - 6x2dx(9)(10)dx;xt+1:dxx2 +1(D)(2)dx(x2 +1)(x2 + x+1)x(x3 -1)x2 +21- x7(13)(14)dxdx(x2 + x + 1)2x(1+ x7)x9x3m(15)-dx;(16)dx(x10+2x5+2)2(x2n + 1)2ax*+bx+的原函数仍是有理函数?2.在什么条件下，(x)=9x(x + 1)24

9．导出求 ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η ， ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η 和 ∫ ( ) ax + + b x x + dx 2 2ξ η2 型不定积 分的公式。 10．求下列不定积分: ⑴ ( ) 5 3 2 2 ∫ x x + + x + dx ; ⑵ ∫ ( ) x x − + 1 2x − 5 2 dx ; ⑶ ( ) x dx x x − + + ∫ 1 1 2 ; ⑷ ( ) x dx x x + + − ∫ 2 5 2 . 11． 设 n 次多项式 p x ai x ,系数满足关系 i n i ( ) = = ∑ 0 ∑= = − n i i i a 1 0 ( 1)! ，证明不定积分 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e dx x p 1 x 是初等函数。 习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 4

3.设p(x)是一个n次多项式，求p,(x)dx(x-a)n+l求下列不定积分：4.dxx(1)dx:(2)((x-a)(b-x)V2+4xx2x2 +1(3)(4)dx;dx ;xx4 +1Vitx-xNx+1-/x-1x+1(5)(6)dx :dxVx+1+Vx-1dxdx(7)(8)/x(1 + x)V1+x2dx(x - 4)2(9)(10)dxVx+Vx(x +1)8dxdx(ID)(12)/(x - 2)(x + 1)2x/1+x45.设R(u,v,w)是u,v,w的有理函数，给出[R(x,Va+x,Vb+x)dx的求法。6.求下列不定积分：dxdx(2)(1)4+5cosx2+sinxdxdx(3)(4)3+sin2x1+sinx+cosxdxdx(6)(5)2sinx-cosx+5(2+cosx)sinxdxdx(8)(7)sin(x+a)cos(x +b)tan x + sin xsinxcosx(9)tan xtan(x+ a)dx :(10)dx :sinx+cosx5

⒊ 设 p x 是一个 次多项式，求 n ( ) n p x x a dx n n ( ) ( ) − + ∫ 1 。 ⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ dx ( ) x a − − (b x ∫ ) ； ⑶ x x x dx 2 2 1+ − ∫ ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x ( ) 1+ ∫ ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； ⒌ 设 R u( , v, w) 是u v, ,w 的有理函数，给出 ∫ R x( , a + + x , b x ) dx 的求法。 ⒍ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 5 + x ∫ cos ； ⑵ dx 2 + x ∫ sin ； ⑶ dx 3 x 2 + ∫ sin ； ⑷ dx 1+ + x x ∫ sin cos ； ⑸ dx 2 5 sin x − + cos x ∫ ； ⑹ dx ( c 2 + os x x )sin ∫ ； ⑺ ∫ x + x dx tan sin ； ⑻ dx sin(x a + + ) cos(x b) ∫ ； ⑼ ∫ tan x tan(x + a)dx ； ⑽ sin cos sin cos x x x x dx + ∫ ； 5

dxsin?x(I)(12)dx1 + sin? xsin?xcos?x7.求下列不定积分：Inxxer(1) (2) dx ;(1+xa)dx;(1 + x)2(3) [1n2(x+ /1+x2)dx:J Vx In?x dx:(4)(5)[ x? e* sin xdx ;(6) In(1 + x?2)dx1xarcsinxdx ;(7)dx :(8)/1- x2xVx2-2x-3[arctan xdx ;J Vx sin Vx dx(9)(10)VI+ sin xx+sinx(2)(aD)dx:dx :1+cosxcOsx sin?xxcos3x-sinxesinx(13)(4)dx;dx :cos3xcos? xdxdx(15)(16)（ab±0);er-e-ra' sin?x+b' cos? xx1 + x(17)(18)dx ;JxIndx;x(Vx+/x)1-xdxa9)V1-x2 arcsin xdx;(20)(1+er)26

⑾ dx sin x cos x 2 2 ∫ ； ⑿ sin sin 2 2 1 x x dx + ∫ 。 ⒎ 求下列不定积分： ⑴ x x dx x e ( ) 1 2 + ∫ ； ⑵ ln ( ) x x dx 1 2 3 + 2 ∫ ； ⑶ ln ( ) 2 2 ∫ x + +1 x dx ； ⑷ x ln x d 2 ∫ x dx ； ⑸ x x 2 x ∫ e sin ； ⑹ ln(1 ) 2 ∫ + x dx ⑺ x x x dx 2 2 1 arcsin − ∫ ； ⑻ ∫ − − dx x x 2x 3 1 2 ； ⑼ ∫ arc tan xdx ； ⑽ ∫ x x sin dx ⑾ x x x dx + + ∫ sin 1 cos ； ⑿ 1+ ∫ sin cos x x dx ； ⒀ sin cos 2 3 x x ∫ dx ； ⒁ e cos sin cos sin x x x x x dx 3 2 − ∫ ； ⒂ dx x x e e − − ∫ ； ⒃ ∫ a x + b x dx 2 2 2 2 sin cos （ ab ≠ 0 ）； ⒄ x x x x dx 3 3 ( ) + ∫ ； ⒅ x x x ln dx 1 1 + − ∫ ； ⒆ 1 2 ∫ − x x arcsin dx ； ⒇ dx x ( e 1 )2 + ∫ 。 6