复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题五（解答）

第五章第1节f(b)f(a)f(a)f(x)在[a,b]上对F(x)应5.提示：令F(x)：a)-(b-g(a)g(b)g(x)g(a)用Rolle定理1aaa其中7.提示：利用Lagrange中值定理arctanarctan1+2nn+1n+nx-y5e(,"); 注：也可利用 arctanx-arctany=arctann+ln1+ xy9.提示：证明f(x)在每一点的导数为零12.（4）提示：令f(x)=tanx+2sinx-3x，则f(x)=sec2x+2cosx-3≥3/sec2xcosxcosx-3=0.1！取到最小值(5）提示：令f(x)=xpP+(1-x)P，证明f(x)在x=2 p-12(6)提示：令f(x)=sinxtanx-x2，则f'(x)=sinx+sinxsecx-2x22sin2x1显然f"(x)>0.由f"(0)=0，可知f"(x)>0f"(x)=cosx+2cosxcos3x再由f(0)=0，得到f(x)>0.2114. lim x,提示：(x，)单调减少，且当n≥2时，xn23n-on15.（2）提示：在[0,]上对e-x[f(x)-x|应用Rolle定理17.提示：令g(x)=x2，对f(x)与g(x)在[a,b]上应用Cauchy中值定理，对f(x)与g(x)在[a,b]上应用Cauchy中18.提示：令f(x) g(x)=XX值定理V，对一(x)与g(1)在[a,b]上应用Cauchy中值定理令g(x)= 19.提示：xY20.提示：对xe[1,2]，e-f(x)显然是有界的；对x>2，有1

第五章 第 1 节 5．提示：令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a g a g b f a f b F x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a g x f a f x − b − a ，在 上对 应 用 Rolle 定理. [a,b] F(x) 7．提示：利用 Lagrange 中值定理 ) 1 ( 1 1 1 arctan arctan 2 + − + = + − n a n a n a n a ξ ，其中 , ) 1 ( n a n a + ξ ∈ ；注：也可利用 xy x y x y + − − = 1 arctan arctan arctan . 9．提示：证明 f (x) 在每一点的导数为零. 12．（4）提示：令 f (x) = tan x + 2sin x − 3x，则 '( ) sec 2cos 3 3 sec cos cos 3 0 2 3 2 f x = x + x − ≥ x x x − = . （5）提示: 令 f (x) = x p + (1− x) p , 证明 f (x) 在 2 1 x = 取到最小值 1 2 1 p− . （6）提示：令 f (x) = sin x tan x − x 2， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 则 f '(x) = sin x + sin x sec 2 x − 2x， 2 cos 2sin cos 1 "( ) cos 3 2 = + + − x x x f x x . 显然 f "(x) > 0 . 由 f '(0) = 0 ，可知 . 再由 ，得到 . f '(x) > 0 f (0) = 0 f (x) > 0 14． 2 1 lim = →∞ n n x ；提示：{xn }单调减少，且当n ≥ 2时， 3 2 xn 2 ，有 1

(()-)+], 其中er-el[(x)-=2e~()是有界的er-e21.提示：注意Vx(s)在(0.a]有界，并考虑)-)Vxi - /x2视为()-(0)应用Cauchy中值定理，并逐次进行下去22.提示：x"-0"24．提示：利用数学归纳法，注意Ba7-ZaxSFa.+anf(xn).+a.x,L.22i=l(i=l1=1i=f(xo),f(x)-f(xo) x-xo26.提示：利用(x)xxxx-Xob-)应用Lagrange中值定理.a+b上对 g(x)= J(x)-f(x-27.提示：在区间b22第2节31mam"; (5) 1; (6)；（3)；(4)2. (1)2;(2)(7)1(8)1;358n2211(9)；（10)0；（11)1;（12);（13）：（14)+00：（15)2:（16)e元2321(17)1;（18)；（19)1;(20)e-l2f(x)- f(0)= lim g(a)提示：F(0)=lim4.5;x-0x-0 x2x>0I In(1+ x) -11lim x5.连续；提示：Px→0+xf(x)- f(0)lim f(x)Inx= lim6.提示：x-0x-→0+>0+e"f(x)lim f(x)= lim7.提示：eX>+00X→>+002

( ) ( ( ) (1)) (1) 2 e f x e f x f e f −x −x − < − + (1) 2 ( ) (1) 2 1 e f e e f x f x − + − − < ，其中 1 ( ) (1) e e f x f x − − 2 '(ξ ) ξ e f − = 是有界的. 21．提示：注意 x f '(x) 在(0,a]有界，并考虑 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x − − . 22．提示：视 n x f (x) 为 n n x f x f 0 ( ) (0) − − ，应用 Cauchy 中值定理，并逐次进行下去. 24．提示：利用数学归纳法，注意 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ = n i i i f x 1 λ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ∑ ∑ ∑ − = − = − = n n n i i i n i i n i i x x f λ λ λ λ 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 n n n i i i n i i n i i f x x f λ λ λ λ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∑ ∑ ∑ − = − = − = . 26．提示：利用 x x x x x f x f x x f x x f x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − ⋅ − − = + . 27．提示：在区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b , 2 上对 ) 2 ( ) ( ) ( b a g x f x f x − = − − 应用 Lagrange 中值定理. 第 2 节 2．（1）2 ；（2） 5 3 − ；（3） 8 1 − ；（4） m n a n m − ；（5）1；（6） 3 1 ；（7）1；（8）1； （9） 2 1 ；（10）0 ；（11）1；（12） 3 2 ；（13） 2 1 ；（14）+ ∞ ；（15）2 ；（16） π 2 − e ； （17）1；（18） 2 1 ；（19）1；（20） . −1 e 4．5； 提示： 2 0 0 ( ) lim 0 ( ) (0) '(0) lim x g x x f x f f x→ x→ = − − = . 5．连续；提示： 2 1 ln(1 ) 1 1 lim 0 = − + − → + x x x x . 6．提示： ( ln ) 0 0 ( ) (0) lim ( )ln lim 0 0 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − − = → + → + x x x f x f f x x x x . 7．提示： = →+∞ lim f (x) x x x x e e f (x) lim →+∞ . 2

第3节1. 提示: (x)=±-In(1+ x)x In(1 + x)f(n)(x+0h)hf"(x)h? +..2.提示：由f(x+h)=f(x)+f"(x)h+2= f(x)+ f(x)h+f"(x)h? +.f(n)(x)h" +f(n+I)(x)hn+1 +o(hn+l)..(n + 1)On!得到0. (x+0h)--(()=—1f(n+1) (x) + o(1) Oh+第4节+2 x2 ±14,3524+0(x4)1. (1) 1+x+19°812433*sinαcosαcosα12(2)cosα-sinα.x-+o(x4) :2!3!4!V2V213/22(3) V2 +.3+o(x3) ;X432384121,4(4)1+(x*);:2S21.3x5 +0(x5) :(5).1531 ,211r4x6 +o(x6):(6)24512111-x4 + o(x*)(7) 1-X-1272021x-1x4 +o(x*):(8)1806Ix2 + +o(x).(9)62. (1) -1-3(x-1)2 -2(x-1);+ (-1)"-II(2) 1+-(x--(x-e)? +.e)(x-e)n2e2ne"e..+ (-1)"-1:(x-1)3 _(3) (x-1)-(x-1)2+-(x -1)" +o(x -1)")n3

第 3 节 1．提示： ln(1 ) ln(1 ) ( ) x x x x x + − + θ = . 2．提示：由 n n f x h h n f x h f x f x h f x h ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) + = + + +"+ +θ ( ) ( ) ( 1)! 1 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) '( ) 2 ( ) ( +1) +1 +1 + + = + + + + + n n n n n f x h h n f x h n f x f x h f x h " D ， 得到 ( ) (1) 1 ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) + D + = + − ⋅ + f x h n f x h f x n n n θ θ θ . 第 4 节 1．（1） ( ) 243 35 81 14 9 2 3 1 1 2 3 4 4 + x + x + x + x + D x ； （2） ( ) 4! cos 3! sin 2! cos cos sin 2 3 4 4 − ⋅ x − x + x + x + D x α α α α α ； （3） ( ) 384 13 2 32 2 4 2 2 2 3 3 + x − x − x + D x ； （4） ( ) 8 1 2 1 1 2 4 4 + x + x − x + D x ； （5） ( ) 15 2 3 1 3 5 5 x + x + x + D x ； （6） ( ) 45 1 12 1 2 1 2 4 6 6 − x − x − x + D x ； （7） ( ) 720 1 12 1 2 1 1 2 4 4 − x + x − x + D x （8） ( ) 180 1 6 1 2 4 4 − x − x + D x ； （9） ( ) 6 1 2 3 3 x + x + D x . 2．（1）−1− 3(x −1) 2 − 2(x −1) 3 ； （2） n n n x e ne x e e x e e ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( ) 1 1 1 2 2 − − + − − − + + − " ( ) n + D (x − e) ； （3） n n x n x x x ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 ( 1) 2 1 ( 1) 1 2 3 − − − − − + − − + − " ( ) n + D (x −1) ； 3

(4) 1V3V3元元3元元儿(x-元)sin(122266n!266+o(x-e)");+ (-1)"-(2n - 3)!11(5)2+(x-2)=(x-2)2)2±(x-12/216V22n-n2n!2 (x-2)"),2111；（2)ln2a；（3）0（4)(5)6. (1):(6);(7);(8)23X5368. (1) y=x-1,x=-1; (2) y=0; (3) y=±V6(x-2); (4) y=x+3,x=0;3(5）不存在；（6）x=lx=-l；（7）y=x+元y=x；（8）y=x；1111T(9)y=元；（10）y=x: (11) y:x=0;（12)y24121846x=0.n和lim"应用Stolz定理，9.提示：分别对极限limn->001-→001yn1，则f(xo）=0，以x=0和x=1代入f(x)在点xo的Taylor10.提示：设f(xo）/"(5)(x-xo)，得到(0)+(1)公式f(x)=[x +(1-x)"]≤14211提示：任取xoE[0,1]，以x=0和x=1代入f(x)在点xo的Taylor公式得到f(0)= f(x0)-f(x0)xo +"(5)xo2,()= f(x0)+ f(x0)(1-x0)+ "(n)(1-x0)2,两式相减，得到F"(x0)≤f(0)]+F(1)+[x2+(1-x0)"]12.提示：设f(xo)=-1，则F(xo）=0，以x=0和x=1代入f(x)在点xo的Taylor1"(5)(x-xo)"，得到max"(x)≥-公式f(x)=-1+≥8(1-x)0<x<l13．提示：设f(xo)=maxf(x)，若xo=a或b，则结论自然成立；4

（4） n x n n x x x ) 6 )( 2 6 sin( ! 1 ) 6 ( 12 3 ) 6 ( 4 1 ) 6 ( 2 3 2 1 π π 2 π 3 π π π + − − − − − +"+ + − ( ) n + D (x − e) ； （5） n n n x n n x x ( 2) 2 ! ( 1) (2 3)!! ( 2) 16 2 1 ( 2) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − − − + − − − + + − − " ( ) n + D (x − 2) . 6．（1） 3 1 ；（2）ln2 a ；（3）0 ；（4） 5 2 ；（5） 2 1 ；（6） 3 1 ；（7） 4 1 − ；（8） 6 1 . 8．（1） y = x −1, x = −1；（2） y = 0；（3） ) 3 2 y = ± 6(x − ；（4） y = x + 3, x = 0； （5）不存在；（6） x = 1, x = −1；（7） y = x +π, y = x ；（8） y = x ； （9） y = π ；（10） y x 12 1 = − ；（11） 18 1 6 1 y = x − ，x = 0；（12） 24 1 4 1 y = x − ， x = 0。 9．提示：分别对极限 2 1 lim n n x n →∞ 和 n n y n 1 lim →∞ 应用 Stolz 定理. 10．提示：设 4 1 ( ) f x0 = ，则 f '(x0 ) = 0，以 x = 0和 x = 1代入 在点 的 Taylor 公式 f (x) 0 x 2 0 "( )( ) 2 1 4 1 f (x) = + f ξ x − x ，得到 [ (1 ) ] 1 2 1 2 1 (0) (1) 2 0 2 f + f ≤ + x0 + − x ≤ . 11．提示：任取 x0 ∈[0,1]，以 x = 0和 x = 1代入 f (x) 在点 x0 的 Taylor 公式得到 2 0 0 0 0 "( ) 2 1 f (0) = f (x ) − f '(x )x + f ξ x ， 2 0 0 0 0 "( )(1 ) 2 1 f (1) = f (x ) + f '(x )(1− x ) + f η − x ， 两式相减，得到 '( ) (0) (1) [ (1 ) ] 2 0 2 0 0 f x ≤ f + f + x + − x . 12．提示：设 f (x0 ) = −1，则 f '(x0 ) = 0，以 x = 0和 x = 1代入 在点 的 Taylor 公式 f (x) 0 x 2 0 "( )( ) 2 1 f (x) = −1+ f ξ x − x ，得到 8 (1 ) 1 1 max "( ) 2 0 2 0 0 1 ≥ − ≥ + ≤ ≤ x x f x x . 13．提示：设 ( ) max ( ) 0 f x f x a≤x≤b = ，若 x0 = a 或b ，则结论自然成立； 4

设a<xo<b，以x=a和x=b代入f(x)在点x的Taylor公式(x)=f(x0)+(5)(x-x0),得到 max1(x)]≤max|["(x)[(xo -a)° +(b- x0) ]2asxsYC第5节1.（1）极值点：x=-1,2；单调区间：（-00-1]增加，「-1,2]减少，[2,+)增加（2）无极值点；单调区间：（-00,+o0）增加1：单调区间：（0.寸）减少，（3）极值点：x=+o)增加e20（4）n是偶数时，极值点：x=0,n；单调区间：（-oo,0]减少，[0,n]增加，[n,+o0）减少。n是奇数时，极值点：x=n；单调区间：（-,n]增加，[n,+o)减少（5）极值点：x=-1,5；单调区间：（-0,-1]增加，[-1,2)减少，（2,5]减少[5,+0)增加（6）极值点：x=1±/2；单调区间：（-0,1-~2]增加，[1-~2,1+/2]减少，[1+V2,+o0)增加22号】增加，[号,0)减少，(0.（7）极值点：X=单调区间：（-00V3V3V3V3r2减少，+)增加V3（8）极值点：x=0：单调区间：[0.+o0)增加，（-1.01减少（9）极值点：x=k元+元，k元+号L减少，keZ；单调区间：[2k元，2k元+4”245元增加，元2k元+]增加，[2k元+,2k元+]减少，[2k元+元,2k元+[2k元+42245元，买,2k元+减少，[2k元+,2k元+2元]增加[2k元+4 22（10）没有极值点单调区间：（-,+）减少5

设a < x0 < b ，以 x = a 和 x = b代入 f (x) 在点 x0 的 Taylor 公式 2 0 0 "( )( ) 2 1 f (x) = f (x ) + f ξ x − x ， 得到 [ ] 2 0 2 0 max "( ) ( ) ( ) 2 1 max f (x) f x x a b x a x b a x b ≤ − + − ≤ ≤ ≤ ≤ . 第 5 节 1．（1）极值点：x = −1, 2； 单调区间：(−∞,−1]增加，[−1,2]减少，[2,+∞) 增加. （2）无极值点； 单调区间：(−∞,+∞) 增加. （3）极值点： 2 1 e x = ； 单调区间： ] 1 (0, 2 e 减少， , ) 1 [ 2 +∞ e 增加. （4）n是偶数时，极值点：x = 0, n；单调区间： (−∞,0]减少， 增加, 减少. 是奇数时，极值点： [0, n] [n,+∞) n x = n ；单调区间：(−∞, n]增加, [n,+∞) 减少. （5）极值点： x = −1, 5 ； 单调区间：(−∞,−1]增加，[−1,2) 减少，(2,5]减少, [5,+∞) 增加. （6）极值点：x = 1± 2 ； 单调区间：(−∞,1− 2]增加，[1− 2,1+ 2]减少， [1+ 2,+∞) 增加. （7）极值点： 3 2 x = ± ； 单调区间： ] 3 2 (−∞,− 增加， ,0) 3 2 [− 减少， ] 3 2 (0, 减少, , ) 3 2 [ +∞ 增加. （8）极值点： x = 0；单调区间：[0,+∞)增加, (−1,0]减少. （9）极值点： 2 , 4 π π π x = kπ + k + k ∈ Z ；单调区间： ] 4 [2 ,2 π kπ kπ + 减少， ] 2 ,2 4 [2 π π π kπ + k + 增加， ,2 ] 2 [2 π π π kπ + k + 减少， ] 4 5 [2 ,2 π kπ + π kπ + 增加， ] 2 3 ,2 4 5 [2 π π π kπ + k + 减少， ,2 2 ] 2 3 [2 π π π kπ + k + 增加. （10）没有极值点. 单调区间：(−∞,+∞) 减少. 5

ln2]减少，（11）极值点：In2；单调区间：（-0In2.+oo)增加12（12）极值点：x=1；单调区间：（-00,1]增加，[1,+o0)减少12增加，（13）极值点：x=：单调区间：（-00,,+8)减少5(14）极值点：x=e；单调区间：(0,e]增加，[e,+o)减少2.（1）拐点：（1,2)保凸区间：（-0,1]下凸，[1,+0）上凸（2）拐点：（k元，k元）kZ.保凸区间：[2k元，2k元+元]上凸，[2k元-元，2k元]下凸（3）没有拐点保凸区间：（-0,+）下凸（4）拐点：保凸区间：（-,2]上凸，[2,+)下凸2e5-3V3,365+3V3,36保凸区间：（5）拐点：+22(0,53/3]下凸，[5-3/3,2)上凸，（2,5+3/3]下凸，[5+3/3,+0)上凸(6)拐点：(-1,1)，(2-3,(+3)，(2+3,(1-3)，保凸区间：(-0,-1]下凸，[-1,2-/3]上凸，[2-V3,2+V3]下凸，[2+V3,+00上凸（7）没有拐点。保凸区间：（-1,+）下凸（8）拐点：（0,0)：保凸区间：（-0001下凸，[0,+0）上凸（9）没有拐点：保凸区间：（-0,+o）下凸（10）拐点：（-1,In2)，(1,ln2)，保凸区间：（-00,-1]上凸，[-1,1]下凸，[1,+o0)上凸.与下凸，+)上凸（11）拐点：保凸区间：（-80,（12）没有拐点：保凸区间：[1,+)上凸4.当n是奇数时，x=a不是f(x)的极值点；当n是偶数，g(a)>0时，x=a是6

（11）极值点： ln 2 2 1 x = − ；单调区间： ln 2] 2 1 (−∞,− 减少, ln 2, ) 2 1 [− +∞ 增加. （12）极值点： x = 1；单调区间：(−∞,1]增加, [1,+∞)减少. （13）极值点： 5 12 x = ；单调区间： ] 5 12 (−∞, 增加, , ) 5 12 [ +∞ 减少. （14）极值点： x = e ；单调区间：(0, e]增加, [e,+∞) 减少. 2．（1）拐点：(1,2) . 保凸区间：(−∞,1]下凸, [1,+∞)上凸. （2）拐点：(kπ , kπ ) k ∈ Z . 保凸区间：[2kπ ,2kπ + π ]上凸, [2kπ − π ,2kπ ]下 凸. （3）没有拐点. 保凸区间：(−∞,+∞) 下凸. （4）拐点： ) 2 (2, 2 e . 保凸区间：(−∞,2]上凸, [2,+∞) 下凸. （ 5 ）拐点： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − (1− 3) 2 6 5 3 3, 3 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + (1+ 3) 2 6 5 3 3, 3 . 保凸区间： (−∞,5 − 3 3]下凸, [5 − 3 3,2) 上凸, (2,5 + 3 3]下凸, [5 + 3 3,+∞)上凸. （6）拐点：(−1,1)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − (1+ 3) 4 1 2 3, ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + (1− 3) 4 1 2 3, . 保凸区间： (−∞,−1]下凸, [−1,2 − 3]上凸, [2 − 3,2 + 3]下凸, [2 + 3,+∞)上凸. （7）没有拐点. 保凸区间：(−1,+∞) 下凸. （8）拐点：(0,0) . 保凸区间：(−∞,0]下凸, [0,+∞)上凸. （9）没有拐点. 保凸区间：(−∞,+∞) 下凸. （10）拐点：(−1,ln 2) ，(1,ln 2). 保凸区间：(−∞,−1]上凸, [−1,1]下凸, 上凸. [1,+∞) （11）拐点： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 arctan , 2 1 e . 保凸区间： ] 2 1 (−∞, 下凸, , ) 2 1 [ +∞ 上凸. （12）没有拐点. 保凸区间：[1,+∞)上凸. 4. 当 n 是奇数时, x = a 不是 f (x) 的极值点; 当 n 是偶数, ϕ(a) > 0 时, x = a 是 6

f(x)的极小值点，当n是偶数，p(a)0时，x=a是f(x)的极小值点，当n是偶数，(n)(a)0/12.提示：设f(x)=arctanx-kx，则f(0)=0，f(x)=k1+ x2当k≥1时，(x)0，limf(x)=-0,可知f(x)=0必有正实根1713.5Zaknk=1ah15.Smax416.矩形的边长分别为√2a与√2b17. 0 = 2 [1- 6)318.R:H=b:a19.提示：参考例题5.5.5。1

f (x) 的极小值点, 当n是偶数, ϕ(a) n x = a f (x) n ( ) 0 ( ) f a 0 . 12. 提示: 设 f (x) = arctan x − kx , 则 f (0) = 0 ， k x f x − + = 2 1 1 '( ) . 当 k ≥ 1时, f '(x) 0 , = −∞ →+∞ lim f (x) x , 可知 f (x) = 0必有正实根. 13. ∑ = = n k ak n 1 1 ξ . 15. 4 max ah S = . 16. 矩形的边长分别为 2a与 2b . 17. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3 6 θ 2π 1 . 18. R : H = b : a . 19. 提示：参考例题 5.5.5。 7