复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题四（解答）

第四章第1节1.1.12克第2节1. (1) -f'(xo); (2) f'(xo): (3) 2f'(xo)3.提示：证明f(1)=0，f'(1)=26.（1)不可导点：x=k元(keZ)，f"(k元)=-1，f*(k元)=l;(2）不可导点：x=2k元(keZ)，"(2k元)=-/2，f(2k元)=/2：(3）不可导点：x=0，f"(0)=1，f(0)=-1;(4）不可导点：x=0，f"(0)=-1，f*(0)=17.（1）可导：（2）a=b=0时可导，其他情况不可导：（3）不可导：（4）axxxlimf(x)=0不成立.x->0+(2）不一定：反例：f(x)=/第3节3. (1) 3cosx+—-x 2/x(2) cosx-xsinx+2x;(3)(2x+7)sinx+(x2+7x-5)cosx;(4) 2x(3tanx+2sec x)+x2(3sec2 x+2tan xsecx):3.2x2.(5)e"(sinx+cosx)+4sinx-2222(x+2sinx-2*)x3;(6)(1+2cosx-2*In2)x331

第四章 第 1 节 1．1.12克. 第 2 节 1．（1） '( ) ；（2） ；（3） . 0 − f x '( ) 0 f x 2 '( ) 0 f x 3．提示：证明 f (1) = 0 ， f '(1) = 2 . 6．（1）不可导点： x = kπ (k ∈ Z) ， ′( ) = −1 f− kπ ， ′( ) =1 f+ kπ ； （2）不可导点： x = 2kπ (k ∈ Z) ， f− ′(2kπ ) = − 2 ， f+ ′(2kπ ) = 2 ； （3）不可导点： x = 0， ′(0) =1 −f ， ′(0) = −1 +f ； （4）不可导点： x = 0， ′(0) = −1 −f ， ′(0) =1 +f . 7．（1）可导；（2）a = b = 0时可导，其他情况不可导；（3）不可导；（4） 时可导， 时不可导. a < 0 a ≥ 0 10．（1）不一定；反例： x x f x 1 cos 1 ( ) = + ， = ∞ → + lim ( ) 0 f x x ， ) 1 ( 1 sin 1 '( ) 2 x x f x = − + ， = ∞不成立. → + lim '( ) 0 f x x （2）不一定；反例： f (x) = x . 第 3 节 3．（1） x x x 2 1 1 3cos + − ； （2）cos x − xsin x + 2x ； （3）(2x + 7)sin x + (x 2 + 7x − 5)cos x ； （4）2x(3tan x + 2sec x) + x 2 (3sec2 x + 2 tan xsec x) ； （5） 2 3 2 3 (sin cos ) 4sin − e x + x + x − x x ； （6） 3 5 3 2 ( 2sin 2 ) 3 2 (1 2cos 2 ln 2) − − + x − x − x + x − x x x ； 1

sinx-1(7)(x+cosx)?2(xsin x + x2 cosx-2)(/x +1)- Vx(xsin x-2lnx)(8)2x(/x +1)2(3x2 -csc2 x)xInx-x3 -cotx,(9)xlnx-2(x+sin xcos x)(10) (xsinx-cosx)?)arcsinx+(e*+ Inx)(11) (e +xln3In33.(12)-xshx(cotxcscx+)+x(cscx-3lnx)(2shx+xchx)(13) (I+ an x sec x)(x cse x) -(x + sec x)(1+ cot xcse x),(x-csc x)2(14) (+x")+cosx)arctanx-(+sinx)(1+ x)arctan? x5.提示：设切点为(xo,xo），f(x)=log。x，利用f(xo）=x与f(xo）=1解出xo与aJim (x)=!6.7. S, = (x,y)la(ax2 +bx+c- y)>0),S, = (x, )[ax2 +bx+c- y=0),S; = (x,y)[a(ax? +bx+c-y)<0)第4节1. (1) 2(2x2 -x+1)(4x-1) :(2) e2*(3cos3x+2sin3x):(3) -号x(1+x)2

（7） 2 ( cos ) sin 1 x x x + − ； （8） 2 2 2 ( 1) 2( sin cos 2)( 1) ( sin 2ln ) + + − + − − x x x x x x x x x x x ; （9） x x x x x x x x 2 2 2 3 ln (3 − csc ) ln − − cot ； （10） 2 ( sin cos ) 2( sin cos ) x x x x x x − − + ； （11） 2 1 1 ) ln3 ln )arcsin ( ln3 1 ( x x x e x ex x − + + + ； （12） ) (csc 3ln )(2sh ch ) 3 sh (cot csc 2 x x x x x x x − x x x x + + − + ； （13） 2 ( csc ) (1 tan sec )( csc ) ( sec )(1 cot csc ) x x x x x x x x x x − + − − + + ； （14） x x x x x x x 2 2 2 (1 )arctan (1 )(1 cos )arctan ( sin ) + + + − + . 5．提示：设切点为(x0 , x0 ) ， f x x a ( ) = log ，利用 0 0 f (x ) = x 与 '( ) 1解出 与a . f x0 = 0 x 6． e y xn n 1 lim ( ) = →∞ . 7． {( , ) | ( ) 0} 2 S1 = x y a ax + bx + c − y > ， {( , )| 0} 2 S2 = x y ax + bx + c − y = ， {( , )| ( ) 0} 2 S3 = x y a ax + bx + c − y < . 第 4 节 1．（1）2(2x 2 − x +1)(4x −1) ； （2）e 2x (3cos3x + 2sin 3x) ； （3） 2 3 2 3 (1 ) 2 3 − − x + x ； 2

1-lnx(1(4)2xInx(5) 3x2 cosx3;_ sin Vx(6)2Vxx-1-/1+x(7)2/1+x(x+/1+x)-2x(8)Ve2x -12(x* +1)(9)x(x4 1)(10) =2(4x + cos x)(2x2 + sin x)3(11) 2(1-")Inx-(+In’ x)(1-2x*)x2(1-x3)1+cscx?+x2csc x?cotx2（12）(1+ cscx2)258号(2*-1)_-2(3*+1),(13)34(14) -sin2x-e-sinx;2x4-3a2x2 +a4+a2(15)3(a? -x2)2Na? -x?a>01x22. (1) cotx; (2) cscx; (3)(4)Vx?+aa<oVa?-y222折1f'(x)f'(x)3. (1)x3f(x3);(2)): (3)(4)3xln2 xInx2/f(x)1+ f2(x)(5) 2xe*f(e")f'(f(er): (6) cos(f(sinx)f'(sinx)cosx;3

（4） 2 1 2 2 ln 1 ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x x x x ； （5） ； 2 3 3x cos x （6） x x 2 sin − ； （7） 2 1 ( 1 ) 1 1 x x x x x + + + − − + ； （8） 1 2 2 2 − − x e x ； （9） ( 1) 2( 1) 4 4 − + x x x ； （10） 2 3 (2 sin ) 2(4 cos ) x x x x + − + ； （11） 2 3 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 )ln (1 ln )(1 2 ) x x x x x x − − − + − ； （12） 2 3 2 2 2 2 2 (1 csc ) 1 csc csc cot x x x x x + + + ； （13） 4 5 3 2 3 4 2 (3 1) 4 27 (2 1) 3 8 − − − x x − − x x + ； （14） x e x ；2 sin sin 2 − − ⋅ （15） 2 3 2 2 4 2 2 4 2 ( ) 2 3 a x x a x a a − − + + . 2．（1）cot x ；（2）csc x ；（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 2 2 2 2 2 a a x x a x a ；（4） 2 2 1 x + a ；（5） 2 2 x − a . 3．（1） '( ) 3 2 3 2 3 1 x f x − ；（2） ) ln 1 '( ln 1 2 x f x x − ；（3） 2 ( ) '( ) f x f x ；（4） 1 ( ) '( ) 2 f x f x + ； （5）2 '( ) '( ( )) ；（6） ； 2 2 2 x x x xe f e f f e cos( f (sin x)) f '(sin x)cos x 3

: (8) -[(f()F(x)(7) -(x)f2(x)(r(f(x)f(x)4. (1) (1+Inx)x*;[3x?+cosxIn(x3 + sin x)(2) (x3 +sinx)*x2x(x3 +sinx)(3)(Incosx-xtanx)cosx2xIn In(2x + 1)+ln*(2x+1) :(4)(2x +1)In(2x +1)3x2x1-xx(51- x22(1+x3)V1+(6)I(x-x.)i=ix-x,i=l2+Inx,/xcOsxVi(7)2/x1+ y2y? +yey1+2(sin y-x)5. (1)(2）(3)(41+xeyy2(siny-x)cosy-siny1-x-X)2xersec(x+)-~; (7) _2 cosx+ylny ;(5)(6)x+2ysinxx-sec(x+y)er'+y-2xyay-x?(8)y2-ax3bt3f2 _1-tsint+2costb218. (1)(2)(5)-tant;2a2ttcost+2sinta1+tbshbt(sint-cost)tant1(10)(6)(7)-1; (8)(9)2achatsint+cost13. (1) [f'(u)g(u)h(u)+ f(u)g'(u)h(u)+ f(u)g(u)h'(u)p'(x)dx ;(2) ()g()h()+ (u)g(w)h(u)- (u)g(u)h(a)p'(x)dx ;(h(u)? gg) (d:(3) h(u)8()h(u)4

（7） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ( ) 1 ' ( ) '( ) 2 f x f f x f x ；（8） ( )2 ( ( )) '( ( )) '( ) f f x f f x f x − . 4．（1）(1+ ln x)x x ； （2） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + 2 3 3 2 1 3 ln( sin ) ( sin ) 3 cos ( sin ) x x x x x x x x x x x ； （3）( ) ln cos x − x tan x cos x x ； （4） ln (2 1) (2 1)ln(2 1) 2 lnln(2 1) + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + x x x x x x ； （5） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − 2(1 ) 3 1 1 1 1 3 2 2 3 2 x x x x x x x x ； （6）∏ ∑ = = − − ⋅ n i n i i i x x x x 1 1 1 ( ) ； （7） x x x x x x cos 2 2 + ln . 5．（1） 2 2 1 y + y ；（2） y y xe e + − 1 ；（3） y x y y y x 2(sin )cos sin 1 2(sin ) − − + − ；（4） x xy y y − − + 1 2 ； （5） e xy xe y x y x y 2 2 2 2 2 − − − + + ；（6） sec ( ) sec ( ) 2 2 x x y x y y − + + − ；（7） x y x y x y y 2 sin 2 cos ln 2 + + − ； （8） y ax ay x − − 2 2 . 8．（1） a bt 2 3 ；（2） t t 2 3 1 2 − ；（3） t t t t t t cos 2sin sin 2cos + − + ；（4） t e a b 2 − ；（5）− tan t ； （6） a at b bt ch sh ；（7）−1；（8） t t − + − 1 1 ；（9） t t t t t sin cos (sin cos )tan + − ；（10） 2 t . 13．（1）[ f '(u)g(u)h(u) + f (u)g'(u)h(u) + f (u)g(u)h'(u)]ϕ'(x)dx ； （2） x dx h u f u g u h u f u g u h u f u g u h u '( ) ( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) 2 ϕ + − ； （3） g u h u x dx h u h u h u g u g u '( )ln ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ϕ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ； 4

h(u)g*(u)Inh(u)-h(u)g(u)ng()p(x)dx :(4)h(u)g(u) n° h(u)(5) [(h)-r( g(x)da :f'(u)+h (u)F(u)f'(u)+h(u)h'(u)(6)p'(x)dx(f?(u) + h2(u)2第5节1. (1) y"=6;(2)j"=7x2+12x2 nx;3x2+8x+8(3)54(1 + x)2(4) y"= 6lnx-5x4(5)y"=6xcosx3_9x*sinx3yl=-54x3 sin x3-(27x6-6)cosx31-1x)cos/x-14(6) "= (6x-x2sinx:44x)cos/x+(57,*"= (6_ 15,x2)sin/xYS88(7) y*"=(27x2 +54x+18)e3xx(4x2-Y(8)y"=2(2x2 -1)arcsinx+(1- )(9) j(80) =280|x(x2-4740)cos2x+(120x2-61620)sin2xl(10)y(99)=(2x2+19405)chx+396xshx2. (1) y() =2"-10"sin(20x+"1,元)25

（4） x dx h u g u h u h u g u h u h u g u g u '( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) '( )ln ( ) '( ) ( )ln ( ) 2 ϕ − ； （5） x dx f u h u f u h u f u h u '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 2 2 ϕ + − ； （6） x dx f u h u f u f u h u h u '( ) ( ( ) ( )) ( ) '( ) ( ) '( ) 2 3 2 2 ϕ + + − . 第 5 节 1．（1） y'''= 6 ； （2） y"= 7x 2 +12x 2 ln x ； （3） 2 5 2 4(1 ) 3 8 8 " x x x y + + + = ； （4） 4 6ln 5 " x x y − = ； （5） y"= 6x cos x3 − 9x 4 sin x3 ； y'''= −54x3 sin x3 − (27x6 − 6)cos x3 ； （6） y x x x x sin x 4 11 )cos 4 1 " (6 2 3 2 = − − ； y x x x x )sin x 8 57 8 1 )cos ( 8 15 ''' (6 2 1 2 3 = − + − ； （7） y'''= (27x 2 + 54x +18)e3x ； （8） 2 2 3 2 2 2 (1 ) (4 3) " 2(2 1)arcsin x e x x x y x x − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + ； （9） y 2 [x(x 4740) cos 2x (120x 61620)sin 2x] (80) 80 2 2 = − + − ； （10） y (2x 19405)chx 396xshx . (99) 2 = + + 2．（1） ) 2 1 2 sin(2 ( ) 1 ω ω π − = + − n y x n n n ； 5

(2) y(m = 2 |n" 2. n + Zc, In"-* 2. -1)-(k-1)xkk=1(3) y(m) =e*ck(-1)*k!+++/k=01(4) y(m) =(-1)"nk=0(x - 2)"-+l(x- 3)k+Ik元(5) y(m) =eZcha"-kβcos(Bx+k=03,cos4x, (m) =4"- cos(4x+n)(n≥1)(6)y=444. (1) [f(x2)]"= 8x3 f"(x3)+12xf"(x2);n2x6(3) [(In x)"= "(inx)- (lnx)x2?(4) [In (x)"="()()-(r(x)2f?(x)(5) [f(e-*)}"=-e-3* f"(e-*)-3e-2* f"(e-*)-e"* f'(e-*) (6) [(arctan )"=(aretan)-2(arctan)(1+ x2)22ch(n-+)(1+ x2)() = 0, 以x=05.（1)提示：由y(1+x2）=1，两边求n阶导数，k=0代入，得到递推公式y(n+)(0)=-n(n-1)y(n-l)(0)，从而得到n-1(") (0) =3(-1) 2n为奇数，[on为偶数（2）提示：利用xy=(1-x2)y"，类似（1）得到

（2） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⋅ + ∑ ⋅ = − − n k k k k n k n n x n x k y x C 1 1 ( ) ( 1) ( 1)! 2 ln 2 ln ln 2 ； （3） 1 0 ( ) ( 1) ! + = − = ∑ k n k k k n n x x k y e C ； （4） ∑ = − + + − − = − n k n k k n n x x y n 0 1 1 ( ) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ! ； （5） ) 2 cos( 0 ( ) π α β β α k y e C x n k k n k k n n x = + − = ∑ ； （6） 4 cos 4 4 3 x y = + ， ) ( 1) 2 4 cos(4 ( ) 1 = + ≥ − n n y x n n π . 4．（1）[ f (x 2 )]'''= 8x3 f '''(x 2 ) +12xf ''(x 2 ) ； （2） 6 2 1 6 ' 1 6 '' 1 ''' )]''' 1 [ ( x x x f x xf x f x f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ； （3） ( ) ( ) 2 '' ln ' ln [ (ln )]'' x f x f x f x − = ； （4） ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) [ln ( )]'' 2 2 f x f x f x f x f x − = ； （5）[ f (e−x )]'' '= −e−3x f ' ''(e−x ) − 3e−2x f ''(e−x ) − e−x f '(e−x ) ； （6） 2 2 (1 ) ' '(arctan ) 2 '(arctan ) [ (arctan )]'' x f x xf x f x + − = . 5．（1）提示：由 ，两边求 阶导数，∑ ，以 代入，得到递推公式 ，从而得到 '(1 ) 1 2 y + x = n = − + + = n k k n k k n C y x 0 ( 1) 2 ( ) (1 ) 0 x = 0 (0) ( 1) (0) ( +1) ( −1) = − − n n y n n y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − 为偶数 为奇数 n n y n n 0 ( 1) (0) 2 1 ( ) ； （2）提示：利用 xy'= (1− x 2 ) y'' ，类似（1）得到 6

()(0) = [(n -2)/?n为奇数n为偶数06. 1) y - 4y+2 -0p+4+4y(0], 其中 20-x+y-x2(2) ym2sec(++)an(++y)"-2y,， 其中y=see(*+-)r-sec(x+y)x-sec?(x+ y)(3) ym-2ysinx-4yycx-2+x()，其中y=-2y.cos*+ylnyxy+2y?sinxx+2ysinx(4)y2x+2y)-2a，其中y=-ax- y2y--axd'y_ 3b7. (1)4a',dx?d?yt2 +2(2)dx?a(tsint-cost)3d?y2+2-2sint-1cost(3)dx?(1-sint-tcost)d'y2be3t(4)dx?a?d'y2(5)dr?3(1-1)2d?y_b(asinatsinbt+bcosatcosbt)(6)dx2a?cos"at9. s+sa9(an x- x)(2) d4y=(x4-16x3 +72x2-96x+24)e-*dx43x2+2dr?(3) d2yx3(1+x2)2A

. ⎩ ⎨ ⎧ − = 为偶数 为奇数 n n n y n 0 [( 2)!!] (0) 2 ( ) 6．（1） 2 2 2 2 2 4 ' 2 [2 4 4 ' ( ') ] '' e x xy y e x xy y y x y x y − + − + + + = + + ，其中 2 2 2 2 ( ) ' e x x y e y x y x y − − = + + ； （2） sec ( ) 2sec( )tan( )(1 ') 2 ' '' 2 2 x x y x y x y y y y − + + + + − = ，其中 sec ( ) sec ( ) ' 2 2 x x y x y y y − + + − = ； （3） xy y x y x y y x yy x y y 2 sin 2 sin 4 'cos 2 ' ( ') '' 2 3 2 2 + − − + = ，其中 x y x y x y y y 2 sin 2 cos ln ' 2 + + = − ； （4） 2 2 2 2 ( ') 2 ' '' ax y x y y ay y − + − = ，其中 y ax ay x y − − = 2 2 ' . 7．（1） a t b dx d y 2 2 2 4 3 = ； （2） 3 2 2 2 ( sin cos ) 2 a t t t t dx d y − + = ； （3） 3 2 2 2 (1 sin cos ) 2 2sin cos t t t t t t t dx d y − − + − − = ； （4） t e a b dx d y 3 2 2 2 2 = ； （5） 2 2 3 2 (1 ) 2 t dx d y − = − ； （6） a at b a at bt b at bt dx d y 2 2 3 2 cos ( sin sin + cos cos ) = . 9．（1） 2 3 5 2 2 2 2 9(tan ) 2(1 sec ) 6sec tan ( tan ) dx x x x x x x x d y − − + − = ； （2）d 4 y = (x 4 −16x3 + 72x 2 − 96x + 24)e−x dx 4 ； （3） 2 2 3 3 2 2 2 (1 ) 3 2 dx x x x d y + + = ； 7

(4) d' y =sec (* -1'+2tan')-2g(*-1)tan+2* +lt2;(x2 -1)2(5) d3y = -27(sin3x + xcos3x)dx3;(6) d2y= *[(1 + In x)? +-Jdx2;X(7) d"y= (-1)"n[n17Inx-dx+1k]k元2k xh cos(2x +XAn2(8) d"y=(nl)2dx1k=0(kl)"(n-k)!11. (1) [f"(u)sec4x+2f'(u)sec2xtanx]dx?(2) g"(0)/n2 x-g(1+2 m) d*2:.34x1n2x(3) [f"(u)g(u)+ f(u)g'(u)]d?u+[f"(u)g(u)+2f"(u)g'(u)+ f(u)g"(u)]du?;g(~ d2u+ g"(u)g(u)-(g*(u)2(4)du2g(u)g(u)(5) I'(g()-()g( d'u+g'(u)f"(u)g*(u)- ()g(u)g"(w)-2'(u)g'()g(u)+2(u)(g()du?.g'(u)9

（4） 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) sec [( 1) (1 2 tan ) 2 ( 1)tan 2 1] dx x x x x x x x x d y − − + − − + + = ； （5）d 3 y = −27(sin 3x + x cos3x)dx 3 ； （6） 2 2 2 ] 1 [(1 ln ) dx x d y x x x = + + ； （7） n n k n n n dx k x x n d y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑ = + 1 1 1 ln ( 1) ! ； （8） n n k k k n dx k n k k x x d y n ∑ = − + = 0 2 2 ( !) ( )! ) 2 2 cos(2 ( !) π . 11．（1）[ f "(u)sec 4 x + 2 f '(u)sec 2 x tan x]dx 2 ； （2） 2 2 3 2 2 1 4 ln "( )ln '( )(1 2ln ) dx x x g u x − g u + x ； （3）[ f '(u)g(u) + f (u)g'(u)]d 2 u + [ f "(u)g(u) + 2 f '(u)g'(u) + f (u)g"(u)]du 2 ； （4） 2 2 2 2 ( ) "( ) ( ) ( '( )) ( ) '( ) du g u g u g u g u d u g u g u − + ； （5） + − d u g u f u g u f u g u 2 2 ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 2 3 2 2 ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) "( ) 2 '( ) '( ) ( ) 2 ( )( '( )) du g u f u g u − f u g u g u − f u g u g u + f u g u . 8