复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题一（题目）

习题1.11.证明由n个元素组成的集合T=（aj，αz，，a,）有2"个子集。2.证明：（1）任意无限集必包含一个可列子集；(2）设A与B都是可列集，证明AUB也是可列集。3.指出下列表述中的错误：(1) (0 =0 ;(2) ac(a,b,c) :(3) (a,b)e(a,b,c) ;(4)(a,b, (a,b))= (a,b)。4.用集合符号表示下列数集：(I) 满足±-3)≤0的实数全体；x+2(2）平面上第一象限的点的全体；(3）大于0并且小于1的有理数全体；(4）方程sinxcotx=O的实数解全体。5.证明下列集合等式：(I) AN(BUD)=(ANB)U(AND):(2) (AUB)C = ACNBC。6.举例说明集合运算不满足消去律：(I) AUB=AUC B=C :(2) ANB=ANC+B=C。其中符号“书”表示左边的命题不能推出右边的命题。7.下述命题是否正确?不正确的话，请改正。(I)XEANBXEA并且XEB：(2)XEAUBxEA或者xEB。习题1.21.设S=(α,β,),T=a,b,c)，问有多少种可能的映射f：S→T?其中哪些是双射？2.(1)建立区间[a,b]与[0,1]之间的一一对应；1

习 题 1.1 ⒈ 证明由n 个元素组成的集合T a = a an { } 1 2 ， ，"， 有2 个子集。 n ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A∪ B 也是可列集。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) { }0 = ∅ ； (2) a ⊂ { , a b, c } ； (3) { , a b } ∈{ , a b, c } ； (4) { , a b,{a b, } } = { , a b }。 ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足 x x − + ≤ 3 2 0 的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程sin x cot x = 0的实数解全体。 ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B ∩ ∪ ( ) D = ( A∩ B)∪( A∩ D) ； (2) ( ) A B A B 。 C C ∪ ∩ = C ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) A B ∪ = A∪C ≠> B = C ； (2) A B ∩ = A∩C ≠> B = C 。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 习 题 1.2 1. 设 S = {α, β,γ },T = { , abc, } ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ?其中哪些是双射? 2. (1) 建立区间[ , a b ]与[ , 0 1 ] 之间的一一对应； 1

(2)建立区间(0,1)与(-0,+o)之间的一一对应。3.将下列函数f和g构成复合函数，并指出定义域与值域：(1)y=f(u)=log.u,u=g(x)=x2-3;(2) y= f(u)= arcsinu, u= g(x)=3*;(3) y= f(u)= Nu?-1,u= g(x)= secx :(4) y= ()= /u, u=g(1)= 1x+14.指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：1loga(x2 -1)。(1) y=arcsin(2) y=Vx2+135.求下列函数的自然定义域与值域：(1)y=log.sinx (a>l);(2) y= /cosx ;(3) y = ~4 - 3x - x3 ;1(4) y= x2 +416.问下列函数和g是否等同？(1) f(x)= loga(x2), g(x)= 2logax;(2) f(x)= sec2 x-tan2x, g(x)= 1:(3) f(x)= sin x+cos° x,g(x)= 1。7.(1)设f(x+3)=2x-3x2+5x-1,求f(x);0-若一求()。(2) 设JX-11,求ff，f。fof,f。f。f。f的函数表达式。8. 设f(x)=1+x9.证明：定义于(-0,+o0)上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。10.写出折线ABCD所表示的函数关系y=f(x)的分段表示，其中A=（O,3)，B=(1,-1),C=(3,2), D= (4,0)。2

(2) 建立区间( , 0 1 ) 与( , −∞ +∞) 之间的一一对应。 3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域： (1) y f = = ( ) u log , a u u = g( ) x = x 2 − 3; (2) y f = = ( ) u arcsin u , u = g( ) x = x 3 ； (3) y f = = ( ) u u 2 − 1 , u = g( ) x = sec x ； (4) y f = = ( ) u u , u = g( ) x = x x − + 1 1 。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x = + arcsin 1 1 2 ; (2) 1 3 2 log ( 1) 3 a y x = − 。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) y = loga sin x （ a > 1）； (2) y x = cos ； (3) y x = − 4 3 − 2 x ； (4) y x x = +2 4 1 。 6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？ (1) f x( ) = 2 log ( ) a x ， g( ) x = 2loga x ； (2) f x( ) = 2 2 sec x − tan x , g( ) x = 1； (3) f x( ) = sin cos 2 2 x + x , g( ) x = 1。 7. (1) 设 f x( ) + = 3 2x − 3x + 5x − ,求 ； 3 2 1 f x( ) (2) 设 3 1 3 1 1 + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x x x f ,求 f x( ) 。 8. 设 f x( ) = + 1 1 x ,求 f D f ， f f D D f , f f D D f D f 的函数表达式。 9. 证明：定义于( , −∞ +∞) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 10. 写出折线 ABCD 所表示的函数关系 y f = (x) 的分段表示，其中 A = ( , 0 3) ， B = ( , 1 −1) ，C = ( , 3 2) ， D = ( , 4 0) 。 2

11.设f(x)表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数y=f(x)，xE[0,2]的表达式。yT(1)0x2x图1.2.8图1.2.912一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克／厘米（图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强P与液体深度x之间的函数关系。13.试求定义在[0,1]上的函数，它是[0,1]与[0,1]之间的一一对应，但在[0,1]的任一子区间上都不是单调函数。3

11. 设 f x( ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y f = (x), x ∈[ , 0 2 ] 的表达式。 y ( , 1 1 ) O x 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克／厘米３ (图1.2.9)，上 层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压 强 P 与液体深度 x 之间的函数关系。 13. 试求定义在[ , 上的函数，它是[ , 与[ , 之间的一一对应，但在[ , 的任 一子区间上都不是单调函数。 0 1 ] 0 1 ] 0 1 ] 0 1 ] 3