复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题五（题目）

习题5.11．设f(x)>0，f(x)[1(b)- (a),b-a并说明它的几何意义。aa7.求极限limn2arctan--arctan其中a±0为常数。nn+18.用Lagrange公式证明不等式：(1)[sinx-siny≤x-yl(2)nyn-l(x-y)I, x>y>0);b-aa>0);(3)baa(4)er>1+x(x>0)9.设f(x)在[a,b]上定义，且对任何实数x和x，满足If(x,)-f(x)≤(x, -x,)2,证明f(x)在[a,b]上恒为常数。10.证明恒等式元(1)arcsinx+arccos.x=，xe[0,1]2,11(2)3arccosx-arccos(3x -4x3)=元，xe2'22x(3)2arctanx+arcsin元，xe[1+00]1+ x211.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。证明：若(a,b)中除至多有限个点有f(x）=0之外，都有f(x)>0，则f(x）在[a,bl上严格单调增加：同时举例说明，其逆命题不成立。12.证明不等式：1

习 题 5.1 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中 a ≠ 0 为常数。 8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y | ; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − 1+ x (x > 0). x 9． 设 f x( )在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 x2 ，满足 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − 2 ， 证明 f x( )在[ , a b ]上恒为常数。 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； ⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ， x ∈[ , 1 +∞). 11．设函数 在[ , 上连续，在( , 上可导。证明：若( , 中除至多有限个点 有 之外，都有 ，则 在[ , 上严格单调增加；同时举例说 明，其逆命题不成立。 f (x) a b ] a b) a b) f x ′( ) = 0 f x ′( ) > 0 f (x) a b ] 12． 证明不等式： 1

211;3-(1)(2)x3x,xe(3)(4)0.21(5)2-/≤xp +(1-x)P≤1, xe[0,1](p>1):x(0.≤)tanx(6)xesinx2X13．证明：在(0,1)上成立1) (1+ x)In2(1+ x)0，证明存在e(a,b)，使得aeb-be"=(l-E)e(a-b)。19.设f(x)在[a,bl上连续（ab>0)，在(a,b)上可导，证明存在E（a.b)，使得bTa1-f'()- f()。b-af(a) f(b)20.设f(x)在[1,+oo）上连续，在(1,+o)上可导，已知函数ef(x)在(1,+oo)上有界证明函数e-"f(x)在(l,+o0)上也有界。21．设f(x)在(0,a)上连续，且存在有限极限limVxf(x)，证明f(x)在(0,a)上一2

⑴ 2 0 π 2 π x x x x , x ; ⑶ ln(1 ) , 0; 2 2 − x x ⑷ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > ∈ 2 tan 2sin 3 , 0, π x x x x ; ⑸ 1 2 1 1 1 p 1 p p x x x p − ≤ + ( ) − ≤ , ∈[0, ], ( > 1)； ⑹ x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 13．证明：在(0,1) 上成立 1） ； 2 2 (1+ x)ln (1+ x) 0 ，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 19． 设 f (x) 在[a,b]上连续（ ab > 0），在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ξf ξ f ξ f a f b a b b a = ′ − − 。 20．设 f (x) 在[1,+∞) 上连续，在(1,+∞) 上可导，已知函数 在 上有界， 证明函数 在 上也有界。 e f (x) x ′ − (1,+∞) e f (x) −x (1,+∞) 21． 设 f '(x) 在(0, a]上连续，且存在有限极限 lim ( ) 0 x f x x ′ → + ，证明 f (x) 在(0, a]上一 2

致连续。（提示：考虑a)-()。/x - /x2设f(x)在x=0的某邻域内有n阶导数，且f(O)=f(O)=.=f(n-(O)=0，用22.Cauchy中值定理证明f(" (ax)f(x)(0e 2xtyx,y>0,n>1;22224.(Jensen不等式）设f(x)为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意x,E[a,b]和a, >0 (i=1,2,..,n),元.=1，成立i=l<(x)。1.x.i=25.利用上题结论证明：对于正数a,b,c成立a+b+c(abc)3≤a"bhcc。f(x)26．设f(x)在(a,+oo)上可导，并且limf(x)=0，证明lim027.设(x)在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在nE(a,b)，成立(b-a(b)+ (a)-27(a+b)f"(n) 。2a+bb-a（提示：在区间上考虑函数g(x)=f(x)-f(xOh22习题5.21.对于f'(x)lim+00或-00I-→a+ g'(x)的情况证明L'Hospital法则。2.求下列极限：sin 3xer-e-x(2) lim(1) limI→# tan5xsinxxm-amIn(sin x)lim(3) lim(4)r-axn-an=(元-2x)2tan3xIn(tan 7x)limlim(5)(6)tan xx→0+ In(tan2x)3

致连续。 （提示： 考虑 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x − − 。） 22． 设 f (x)在 x = 0 的某邻域内有 阶导数，且 ，用 Cauchy 中值定理证明 n f f f n ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ′ = = = " − 0 (0 1) ! ( ) ( ) ( ) = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + x y n x y x y n n n ; ⑵ e e e , x y x y x y + > ≠ + 2 2 . 24． （Jensen 不等式）设 f (x) 为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意 xi ∈[a,b]和 λi > 0 （i = 1,2,", n ）， 1，成立 1 ∑ = = n i λi ∑ ∑ = = ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i i n i i i f x f x 1 1 λ λ ( ) 。 25． 利用上题结论证明：对于正数 a,b, c 成立 a b c a b c abc ≤ a b c + + 3 ( ) 。 26． 设 f (x)在( , a + ∞) 上可导，并且 lim ( ) x f x →+∞ ′ = 0 ，证明 lim ( ) x f x →+∞ x = 0。 27．设 f (x) 在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在η ∈ (a,b) ，成立 "( ) 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 f η a b b a f b f a f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + − 。 （提示：在区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b , 2 上考虑函数 ) 2 ( ) ( ) ( b a g x f x f x − = − − 。） 习 题 5.2 ⒈ 对于 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = +∞ 或 − ∞ 的情况证明 L'Hospital 法则。 ⒉ 求下列极限： ⑴ lim e e x sin x x → x − − 0 ; ⑵ x x x tan 5 sin 3 lim →π ; ⑶ lim ln(sin ) ( ) x x →π π − x 2 2 2 ; ⑷ lim x a m m n n x a → x a − − ; ⑸ ln(tan 2 ) ln(tan7 ) lim 0 x x x→ + ; ⑹ x x x tan tan 3 lim 2 π → ; 3

In(1 + x2)In(1 + )lim(7)lim(8)x-→osecx-cosxarccotxlim(9)(10)Iinx-o( sin xn.xxtanx-sin xx-1aDlim(12)limxr-1 Inx1-→0limxcot2x;(13)(14)limx?er→0x>0X2(15)lim(元 - x)tan =(16)lim-arctanx2元lim(18)(17)ir-0Ylimxi-x(19)(20)limInx-→>1x-→0+3.说明不能用L'Hospital法则求下列极限：x+sinxx?sintlim(1) lim(2)x-++o x - sin xsinxx-→0(x? +1)sin xsin号x+e2xlim(3)(4)limx-→i In(1 + sin 号x)x→1x4.设g(x)x+0,f(x)=x0,x=0其中g(0)=0，g(0)=0，g"(0)=10。求f(0)。5．讨论函数1(1 + x)xx>0,f(x)=ex≤0,在x=0处的连续性。6.设函数f(x)满足f(0)=0，且(0)存在，证明limx/(x)=1。4

⑺ x x x arccot ln(1 ) lim 1 + →+∞ ; ⑻ lim ln( ) x sec cos x → x x + 0 − 2 1 ; ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 1 ln 1 limx 1 x x ; ⑽ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ; ⑾ lim x ln x → x − 1 1 ; ⑿ 2 4 0 tan sin limx x x x → x − ; ⒀ x x x lim cot 2 →0 ; ⒁ lim e x x x →0 2 1 2 ; ⒂ 2 lim( )tan x x x − → π π ; ⒃ x x x⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ arc tan 2 lim π ; ⒄ x x x tan 0 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → e 1 1 1 lim 0 x x x ; ⒆ x x x sin 0 1 lim ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒇ limx x x → − 1 1 1 . ⒊ 说明不能用 L'Hospital 法则求下列极限： ⑴ lim sin x sin x x →0 x 2 1 ; ⑵ lim sin x sin x x →+∞ x x + − ; ⑶ lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π ; ⑷ lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 . ⒋ 设 f x g x x x x ( ) ( ) , , , = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 其中 g( ) 0 0 = ， g′( ) 0 0 = ， g′′( ) 0 = 10。求 f ′(0)。 ⒌ 讨论函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − e , 0, , 0, e (1 ) ( ) 2 1 1 1 x x x f x x x 在 x = 0 处的连续性。 6．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 ，且 f ′(0) 存在, 证明 lim 1。 ( ) 0 = → + f x x x 4

7.设函数(x)在(a,+oo)上可导，且lim[f(x)+f(x))=k，证明limf(x)=k。习题5.31.由Lagrange中值定理知xIn(1 + x) :0 03.设f(x）=/，取结点为x=1、1.728、2.744，求f(x)的二次插值多项式p2(x)及其余项的表达式，并计算p2(2）（3/2=1.2599210..）。4.设f(x)=2，取结点为x=-1、0、1，求f(x)的二次插值多项式p(x)及其余项请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。的表达式，并计算p25.设f(x）在若干个测量点处的函数值如下：x1.41.72.33.1f(x)65583644试求f(2.8)的近似值。6.若h是小量，问如何选取常数a、b、c，才能使得af(x+h)+bf(x)+cf(x-h)与f"(x)近似的阶最高？7.将n+1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值，即p,(x）满足[ p,(x,)= f(x,)1= 0, 1,2, -, [p(x,)= f'(x,)的插值多项式称为Hermite插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重要作用。它可以取为5

7．设函数 f (x) 在(a,+∞) 上可导，且 f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] ，证明 f x k 。 x = →+∞ lim ( ) 习 题 5.3 1．由 Lagrange 中值定理知 x x x x 1 ( ) ln(1 ) +θ + = ，0 < θ (x) < 1， 证明：lim ( ) 1/ 2 0 = → x x θ 。 2 ． 设 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) f x h n f x h f x f x h f x h n + = + + +"+ +θ ， (0 < θ < 1) ， 且 ( ) 0 ，证明： ( 1) ≠ + f x n 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 3．设 f x( ) = x 3 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及 其余项的表达式，并计算 （ x = 1、 、 1.728 2.744 f x( ) p x 2 ( ) p2 (2) 2 12599210 3 = . "）。 4． 设 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及其余项 的表达式，并计算 f x x ( ) = 2 x = −1 0 、 、1 f (x) p x 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 p2 。请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。 5． 设 f x( )在若干个测量点处的函数值如下： x 1.4 1.7 2.3 3.1 f x( ) 65 58 44 36 试求 f ( . 2 8)的近似值。 6． 若h 是小量，问如何选取常数a、 、b c ，才能使得af ( ) x + h + bf (x) + cf (x − h)与 f ′′(x)近似的阶最高？ 7． 将 n + 1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值，即 pn (x) 满足 ， p x f x p x f x n i i n i i ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ = ′ ⎧ ⎨ ⎩ i n = − 012 1 2 , , ,", 的插值多项式称为 Hermite 插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重 要作用。它可以取为 5

P,()=[()g()+(x)g(),k=0这里，(q(0(x),g(x)是满足条件q(0)(x,)=8ik[g(0)(x,)}= 0,i,k=0,12,,和q(x,)= 0, [g(x,)} =8ik,i, k=0,1,2,, 的基函数。试仿照Lagrange插值多项式的情况构造(qk(x),q("(x)。。习题5.41．求下列函数在x=0处的Taylor公式（展开到指定的n次）：1(2) f(x)=cos(x+α),n=4;(1) (x)=/1-x,n=4;(4) f(x)= esinx,n= 4;(3)f(x)=/2+sinx,n=3;(5)f(x)=tanx,n=5;(6) f(x)= In(cosx),n= 6;+/in sinx±0x±0(7) (x)=3e*-1n=4:,n=4(8) f(x)=x[0,[1,x=0x=0(9)f(x)=/1-2x+x3_3/1-3x+x2,n=32.求下列函数在指定点处的Taylor公式：(1)(x)=-2x3+3x2-2, x。=1;(2)f(x)=lnx,xo=e;元(3) f(x)=lnx;x。=1(4) f(x)=sinx,xo6(5) f(x)= /x,xo = 23．通过对展开式及其余项的分析，说明用x3+7In 2 =In I + x/≥2lx +351-xx-2n比用x2x3x4(-1)xIn 2 =In(1 + x)x234n.6

∑[ ] − = = + ′ 2 1 0 (0) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k n k k k k p x f x q x f x q x , 这里，{ ( ), ( )} ( ) (1) q x q x k k n 0 0 1 2 = − k 是满足条件 q x q x k i i k k i ( ) ( ) ( ) , [ ( )] , 0 0 = δ ′ = 0 i k n , , = , , , − 0 1 2 1 " 2 和 q x q x k i k i i k (1) (1) ( ) = 0, [ ( )]′ = δ , i k n , , = , , , − 0 1 2 1 " 2 的基函数。试仿照 Lagrange 插值多项式的情况构造{ ( ), ( )} ( ) (1) q x q x k k n 0 0 1 2 = − k 。 习 题 5.4 ⒈ 求下列函数在 x = 0 处的 Taylor 公式（展开到指定的 n 次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ; ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. ⒉ 求下列函数在指定点处的 Taylor 公式： ⑴ f x( ) = −2 3 x + − x 2 3 2 x , 0 = 1; ⑵ f x( ) = ln x , x ; 0 = e ⑶ f x( ) = ln x ; x0 = 1 ⑷ f x( ) = sin x , x0 6 = π ; ⑸ f x( ) = x , x . 0 = 2 ⒊ 通过对展开式及其余项的分析，说明用 3 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 1 2 1 1 ln 2 ln = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ + + + + − + = x n x n x x x x x x " 比用 1 1 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 ln 2 ln(1 ) = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ≈ − + − + + − x n n x n x x x x x x " 6

效果好得多的两个原因。4.利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算元的近似值效果更好，为什么？x+xs2n+1元(1)(-1)"=arctanl~x-4352n+1-11元(2)=4arctan-（Machin公式）-arctan239452n+13x3r2n+1124x32n+132n+1239利用Taylor公式求近似值（精确到10-4）：5.(1) Ig11;(2) /e;(3) sin31°;(6) (1.1)12.(4)cos89°;(5)5/250;6.利用函数的Taylor公式求极限：a"+a-*-2e* sin x -x(1+x)(1) lim (2)lim(a>0);x3x2x-→0x→0+lim(/x5 +x4_5/x5-x*);(3) 1lim(4)cSc1(1(5) 1limlim(6)x-0 x(xtanx(7)1(8)lim x2(Vx+1+x-1-2/x)limx→+7．利用Taylor公式证明不等式：x2x2,x3≤In(1+x)≤x -x>0:(1) x-232(2) (1+ x)"0。28.判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线，若存在的话求出渐近线方程：x22x()(2) y:y:1+ x2 ;1+x"(3)(4)y= /6x2 - 8x+3;y=(2+x)er:1+xer+e-x(5)(6)y=Iny=21-xA

效果好得多的两个原因。 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 π 的近似值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到 ）：4 10− ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . ⒍ 利用函数的 Taylor 公式求极限： ⑴ lim e sin ( ) x x x x x → x − + 0 3 1 ; ⑵ ( 0) 2 lim 2 0 > + − − → + a x a a x x x ; ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x csc 1 lim 0 ; ⑷ lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 ; ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ x x x x 1 lim ln 1 2 ; ⑹ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x tan x 1 1 1 lim 0 ; ⑺ lim ( ) x x x x x →+∞ + + − − 3 2 1 1 2 ; ⑻ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ e 1 2 lim 6 1 3 2 x x x x x x . 7． 利用 Taylor 公式证明不等式： （1） 2 3 ln(1 ) 2 2 2 3 x x x x x x − ≤ + ≤ − + ， x > 0； （2） 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + 0 。 8． 判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线，若存在的话求出渐近线方程： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; 7

(7)(8)y=x+arccotx;y= 3/(x-2)(x +1)2;1- x21-e2r(9)(10)y=x5cos-y=arccos1+x2xxe元-x?+xXe3r=3/x3+x(12) J=x2(11) y=x元9(1)设00，y=ln(1+y）（n=1,2,），证明：2() limyn = 0:(n→)。(i)yn~nnn和lim（提示：分别对极限lim应用Stolz定理）11n→otn→00xyn10.设函数f(x)在[0,1)上二阶可导，且满足|"(x)下1，f(x)在区间(0,1)内取到最大做人证明：1F(0)/+If()1。411.设f(x)在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立If(x)<1, 1f"(x)≤2。证明在[0,1]上成立|f(x)3。12.设函数f(αx)在[0,1]上二阶可导，且f(O)=f(U)=0，minf(x)=-1。证明：rmax f"(x)≥8。0≤x≤113.设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，证明1max I f(x)(b-a)? max I f"(x) /。8a<x<laSx≤b习题5.51．求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间：(1) y= 2x3 - 3x2 -12x +1;(2) y=x+sinx;(3)y=Vxlnx;(4) y=xne-x(neN+);8

⑺ y = x + arccot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 ; ⑽ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 2 1 5 1 cos x e x y x ; (11) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 3 3 2 3 1 2 y x xe x x x ; (12) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ y = x xe − x + x 2x 2 1 2 . 9． ⑴ 设0 2 0 ， y y n n +1 = ln(1+ ) （n = 1 2, ,"），证明： (i) lim ； (ii) n n y →∞ = 0 y n n n ~ ( 2 → ∞) 。 （提示：分别对极限 lim n n n x →∞ 1 2 和 limn n n y →∞ 1 应用 Stolz 定理） 10．设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且满足| f ′′(x) |≤ 1， 在区间 内取到最大 值 f (x) (0,1) 4 1 。证明：| f (0) | + | f (1) |≤ 1。 11．设 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立 | f (x) |≤ 1，| f ′′(x) |≤ 2 。 证明在[0,1]上成立| f ′(x) |≤ 3。 12．设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且 f (0) = f (1) = 0， min ( ) 1。证明： 0 1 = − ≤ ≤ f x x max ( ) 8 0 1 ′′ ≥ ≤ ≤ f x x 。 13．设 f (x) 在[a,b]上二阶可导， f (a) = f (b) = 0 ，证明 ( ) max | ( ) | 8 1 max | ( ) | 2 f x b a f x a x b a x b ≤ − ′′ ≤ ≤ ≤ ≤ 。 习 题 5.5 ⒈ 求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间： ⑴ y x = − 2 3x −12x + 3 2 1; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = ln x ; ⑷ y x n x = − e （ ）; + n∈ N 8

(x+1)21- x(5)(6)y1+x224(7) = 3x +(8) y=x-In(1+x);+(9) y= cos3 x +sin x;(0) y=arctanx-x;(2) y=2-3/(x-1)2;(D) y=2er+e-";1 + 3x(13)(14)V:y=xx4+5x22．求下列曲线的拐点，并确定函数的保凸区间：(l) y= -x3 +3x2;(2) y=x+sinx;(3)V=Vi+x2(4) y=xe-x;(x +1)1(5)(6)V1+x2x-2(7) y= x- In(1+x);(8) y=arctanx-x;(9) y=(x+1)* +er;(0) y=In(1+x2);() y=ear tanx(2)y=x+/x-13.设f(x）在x。处二阶可导，证明：(x)在x。处取到极大值（极小值）的必要条件是f(x)=0 且 f"(x)≤0 (f"(x)≥0)。4.设f(x)=(x-a)"p(x)，(x)在x=a连续且p(a)±0，讨论f(x)在x=a处的极值情况。5.设f(x)在x=a处有n阶连续导数，且f(a)=f"(a)=.…=f(n-I)(a)=0，f(n）(a）±0，讨论f(x）在x=a处的极值情况。6.如何选择参数h>0，使得he-h2ry=1元在x=±（>0为给定的常数）处有拐点？7. 求y=在拐点处的切线方程。x? +19

⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ y x x = − + 1 1 2 ; ⑺ y x x = 3 + 4 ; ⑻ y x = − ln(1 + x) ; ⑼ y x = cos + sin 3 3 x ; ⑽ y = arc tan x − x ; ⑾ y x x = + − 2 e e ; ⑿ y x = − 2 1 − 3 2 ( ) ; ⒀ y x x = + + 1 3 4 5 2 ; ⒁ y = x x 1 . ⒉ 求下列曲线的拐点，并确定函数的保凸区间： ⑴ y x = − + x 3 2 3 ; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = +1 2 ; ⑷ y x x = − e ; ⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ 2 1 1 x x y + − = ; ⑺ y x = − ln(1 + x) ; ⑻ y = arc tan x − x ; ⑼ y x x = ( ) +1 + e 4 ; ⑽ y x = ln(1+ ) 2 ; ⑾ x y arc tan = e ; ⑿ y x = + x −1 . ⒊ 设 在 处二阶可导，证明： 在 处取到极大值（极小值）的必要条件是 且 f x( ) x0 f x( ) x0 f ′(x0 ) = 0 f ′′(x0 ) ≤ 0 （ f ′′(x0 ) ≥ 0 ）。 ⒋ 设 f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( ) ,ϕ(x)在 x = a 连续且ϕ( ) a ≠ 0 ，讨论 f x( ) 在 x = a 处的 极值情况。 ⒌ 设 f x( ) 在 x = a 处 有 n 阶连续导 数，且 ′ = ′′ = = = − f a f a f a n ( ) ( ) ( ) " ( ) 1 0 ， f a ( ) n ( ) ≠ 0 ，讨论 f x( ) 在 x = a 处的极值情况。 6．如何选择参数 h > 0 ，使得 y h e h x = − π 2 2 在 x = ±σ （σ > 0 为给定的常数）处有拐点？ 7．求 1 2 2 + = x x y 在拐点处的切线方程。 9

8.作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题8的结果）：x22x(1)(2) y=y=1+ x2 ;1+x"(3)y=/6x2-8x+3;(4) y=(2+x)ex;1+ xer+e"x(5)y=(6) = ln21- x(7)y=x+arccotx;(8) y=3/(x-2)(x+1);1- x2(9)y=arccos1+ x29.求下列数列的最大项：n0)(1)(2)(/n).2n10.设a,b为实数，证明[a+bllal[b]1+|a+b/=1+/a/1+|b]11.设a>ln2-1为常数，证明当x>0时，x?-2ax+10，试问当k为何值时，方程arctanx-kx=0有正实根？13.对α作了n次测量后获得了n个近似值(a=，现在要取使得1s=Z(a-E)2k=l达到最小的作为a的近似值，应如何取？14，证明：对于给定了体积的圆柱形，当它的高与底面的直径相等的时候表面积最小。15.在底为α高为h的三角形中作内接矩形，矩形的一条边与三角形的底边重合，求此矩形的最大面积？x2.y216.求内接于椭圆-+=1，边与椭圆的轴平行的最大矩形。将一块半径为r的圆铁片剪去一个圆心角为0的扇形后做成一个漏斗，问θ为何值时17.漏斗的容积最大？10

8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题 8 的结果）： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arccot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 . 9．求下列数列的最大项： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 2 10 ; ⑵ { }n n . 10．设 a,b 为实数，证明 1 | | | | 1 | | | | 1 | | | | b b a a a b a b + + + ≤ + + + 。 11．设a > ln 2 −1为常数，证明当 x > 0时， x x − 2ax +1 0 ，试问当 k 为何值时，方程arctan x − kx = 0 有正实根？ 13．对a 作了 n 次测量后获得了 n 个近似值{ } ak kn =1，现在要取使得 s ak k n = − = ∑( ) ξ 2 1 达到最小的ξ 作为a 的近似值，ξ 应如何取？ 14．证明：对于给定了体积的圆柱形，当它的高与底面的直径相等的时候表面积最小。 15． 在底为 高为 的三角形中作内接矩形，矩形的一条边与三角形的底边重合，求此 矩形的最大面积？ a h 16．求内接于椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1，边与椭圆的轴平行的最大矩形。 17．将一块半径为r 的圆铁片剪去一个圆心角为θ 的扇形后做成一个漏斗，问θ 为何值时 漏斗的容积最大？ 10