复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十三（解答）

第十三章第2节);（3）n1284.（1)1;(2)1255. (1) "'dyf"f(x,y)dx ;(2) o (a +o(x ) +()d:;2a(3) dylrarsin f(x, y)dx -L,dyf2aaresin (x,y)dx ;(4) Jdxf(x, y)dy;(5) J'd=f'dxf-* f(x, y,z)dy -f'dfidxf* f(x,y,z)dy ;-1(6) f'dzfi. dyj)f(x, y,z)dx 。p*: (2) (2/2-g)a2 (3) e-/211：（4)14a*；（5）a；（6）-6. (1)32123e491Iln2-5；（10）1;(7)（9）(8)20448161459应用公式 [,=2dxdydz=J,-2dJ。 dxdy;(11)元R.提示：4804(12)nma*bc.提示：应用公式Jx?dxdydz=,x?dxJ。dydz。15X7.328.-(p-q)/pg+-39. V7210. V=13111, V=6risint+cost14.提示：JJ,[sin(x)+cos(y2xdyIt2/117. 提示: [f(x)dax = [[ (x)()dxdy≤ J[(r2(x)+ f2()dxdy 。2 [a,bi[a,b][a,b]a,b]

第十三章 第 2 节 4. （1）1；（2） ( )( ) 2 2 2 2 4 1 b a d c e − e e − e ；（3） 125 128 ln 2 1 。 5．（1）∫ ∫ ； b a b y dy f (x, y)dx （2）∫ ∫ a y a− a − a y dy f x y dx 0 2 2 2 2 ( , ) ∫ ∫ + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) + ∫ ∫ a a a a y dy f x y dx 2 2 2 2 ( , ) ； （3） ∫ ∫ ； 1 − 0 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π ∫ ∫ − + − − 0 1 2 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π π （4）∫ ∫ 2 − 0 3 2 1 ( , ) x x dx f x y dy ； （5）∫ ∫ ∫ ； 1 − 0 1 0 1 0 ( , , ) x dz dx f x y z dy ∫ ∫ ∫ − − 1 0 0 0 ( , , ) z x z dz dx f x y z dy （6）∫ ∫ ∫ − − − − 1 0 2 2 2 2 ( , , ) z z z y z y dz dy f x y z dx 。 6．（1） 5 21 1 p ；（2） 2 3 ) 3 8 (2 2 − a ；（3） e e 1 − ；（4）14a 4 ；（5） 3 2 5 a π ；（6） 3 2 − ； （7） 20 49 ；（8） 448 1 ；（9） 16 5 ln 2 2 1 − ；（10） 3 3 1 πh ； （11） 5 480 59 πR . 提示：应用公式∫∫∫Ω Ω = ∫ ∫∫ ； R z z dxdydz z dz dxdy 0 2 2 （12） a bc 3 15 4 π . 提示：应用公式∫∫∫Ω − = ∫ ∫∫Ω 。 a a x x dxdydz x dx dydz 2 2 7． 3 4 . 8. ( p q) pq 3 2 + . 9. 2 7 V = . 10. 3 1 V = . 11. 6 1 V = . 14. 提示： [ ] ∫∫ + = D sin(x ) cos( y ) dxdy 2 2 ∫ 1 + 0 2 sin cos dt t t t 。 17. 提示：[ ] ∫ ∫∫ × = [ , ] [ , ] 2 ( ) ( ) ( ) a b a b b a f x dx f x f y dxdy ( ) ∫∫ × ≤ + [ , ] [ , ] 2 2 ( ) ( ) 2 1 a b a b f x f y dxdy 。 1

18.提示：将区间[a,b]n等分，并取,e[x-1,x,]，则[b-e]JJe(n)-r() dxdy = limn2n→00i=li=l[a,b]风[a,b]再利用不等式：当x>0（i=12,..,n）时成立11-2(xi+x2 +.+x,)≥nX2Xnxin(3n+ 1)n：（2）(1)19.312第3节8元元元(1) 元(1-e-R)：(2)(3)(4)1:215 '84元-11（3）元m2)((2)(n22.(1)g2：[a,b,-a,b,6β3Xαx= hrcos?9hk(a?k? +b?h2)(4)2.提示：作变量代换6a?b2ly=krsin?e3. f(0,0)。(元2-8)22.(2)1ab；（3）4-：元4.（1)(5)(6)(4) e-15'22616e84元1.1._1n? 2);元2abc；（3）a2;（4)(ln2--5. (1)；（2)5X9241108/3-9741024(5)元a5：(6)(7)(8)元，5a,32°3036元-8R36.9327.元3x= arsin gcos?9abc"abc;(2) V =提示：作变量代换y=brsinpsine，则8.(1) V-33z=crcosp2

18. 提示：将区间[a,b] n等分, 并取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ，则 ∫∫ × − = [ , ] [ , ] ( ) ( ) a b a b f x f y e dxdy ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ − ∑ ∑ = − = →∞ n i f n i f n i i e e n b a 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) lim ξ ξ ， 再利用不等式：当 xi > 0 （i = 1,2,", n ）时成立 2 1 2 1 2 ) 1 1 1 ( )( n x x x x x x n + +"+ n + +"+ ≥ 。 19. （1） 3 n ；（2） 12 n(3n +1) 。 第 3 节 1. （1） (1 ) ；（2） 2 R e− π − 15 8 ；（3） 2 π ；（4） 8 4 2 π π − 。 2. （1） a1b2 − a2b1 π ；（2） ) 1 1 ( )( 6 1 3 3 2 2 α β n − m − ；（3） 2 4 a π ； （4） 2 2 2 2 2 2 6 ( ) a b hk a k + b h . 提示：作变量代换 。 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ 2 2 sin cos y kr x hr 3. f (0,0)。 4．（1） 15 2 ；（2） ab 2 π ；（3） 2 4 π − ；（4） e e 1 − ；（5） 6 π ；（6） 16 ( 8) 2 2 π − a 。 5．（1） 5 4π ；（2） abc 2 4 1 π ；（3） 2 9 8 a ；（4） ln 2)π 4 1 2 1 (ln 2 2 − − ； （5） 5 30 108 3 97 πa − ；（6） π 3 1024 ，（7） π 3 4 ，（8） 32 1 。 6． 3 9 6 8 R π − . 7. π 3 32 . 8. （1）V a bc 3 3 π = ； （2） 3 abc V = . 提示：作变量代换 ， 则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos 2 2 z cr y br x ar 2

a(x, y, 2)abcr?sinpsin20。a(r,p,0)9.8元，10.12cm.2MG11.其中G是万有引力常数α?12.质量为32R, 重心为(0.0.号 R).15413.提示：证明第一个不等式时利用sin2x≤x2，sin2y≤y2[u=x+y14.提示：作变量代换v=x-yyi=Xi+X2+X3+..+Xn2提示：作变量代换↓2=x+X$.+n,则(1)16.(n-1)!(2n+1)yn =XnJx +x2 .+,dxdx,.d, =dy J dy2J dy J- dyn 元mn=2m(m-1)(m+1)(2)提示：参考例题13.3.11。2m+l元mn=2m+1(2m-1)(2m+3)第4节1.（1）当p>1且g>1时积分收敛，其他情况下积分发散；L1时积分收敛，当p≤(2）当p>一时积分发散；2（3）当p<1时积分收敛，当p≥1时积分发散；（4）当p<1时积分收敛，当p≥1时积分发散；时积分发散。（5）当p<号时积分收敛，当p号22nl1元ab(2)2. (1)(3)(p-q)(q-1)e3

ϕ θ ϕ θ sin sin 2 ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ 。 9. 8π . 10. 12cm. 11. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 2 2 1 2 a c c a MG ，其中G 是万有引力常数. 12. 质量为 5 15 32 πR , 重心为 ) 4 5 (0,0, R . 13．提示：证明第一个不等式时利用 ， . 2 2 sin x ≤ x 2 2 sin y ≤ y 14．提示：作变量代换 。 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + v x y u x y 16. （1） ( 1)!(2 1) 2 n − n + . 提示: 作变量代换 , 则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + + + = + + + + n n n n y x y x x x y x x x x " " " 2 2 3 1 1 2 3 ∫Ω + + + n dx dx dxn x1 x2 " x 1 2 " ∫ ∫ ∫ ∫ − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 y y y n n y dy dy dy " dy 。 （2） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + = − + + 2 1 (2 1)!!(2 3) 2 2 ( 1)!( 1) 1 n m m m n m m m m m m π π . 提示：参考例题 13.3.11。 第 4 节 1. （1）当 p > 1且q > 1时积分收敛，其他情况下积分发散； （2）当 2 1 p > 时积分收敛，当 2 1 p ≤ 时积分发散； （3）当 p < 1时积分收敛，当 p ≥ 1时积分发散； （4）当 p < 1时积分收敛，当 p ≥ 1时积分发散； （5）当 2 3 p < 时积分收敛，当 2 3 p ≥ 时积分发散。 2．（1） ( )( 1) 1 p − q q − ；（2） e πab ；（3） 2 3 π 。 3

4. 1=元2。[x=tu则 F(t)= t2 .5.提示：今JJe" dudy.(y=t)00dx6.提示：=元。/(a-x)(x-y)17.元2。第5节1.（1)-(x2 +7yz)dx^dy +4222dy^dz-6xdz^dx;(2)-sin(x+y)dx^dy;(3)-21dx^dy^dz。2. 0+n=ao+a,dx,+bdx^dx2+(a2+b2)dx^dx+b3dxAdxAdx+(a+badxAdxAdx4oAn=aob,dx,Adxz+aob,dxAdx+aobdxdxdx+aobydx2AdxgAdx4+abydxAdx2AdxAdx43. XidxiAdx2 + dxi ^dx +(x + 3)dx2 ^dx -(x2+)dx^dx2 Adxg。5. (1) rdr^de^dz;(2)r?sin@dr^dp^de。4

4． I = π2 。 5．提示：令 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = y tv x tu ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − = ⋅ 0 1,0 1 2 2 ( ) u v v u F t t e dudv。 6．提示： = π − − ∫ a y a x x y dx ( )( ) 。 7． 2 n π 。 第 5 节 1． （1）− (x 2 + 7 yz 2 )dx ∧ dy + 42z 2 dy ∧ dz − 6xdz ∧ dx ； （2）− sin(x + y)dx ∧ dy ； （3）− 21dx ∧ dy ∧ dz 。 2． 0 1 1 1 1 2 2 2 1 3 ω +η = a + a dx + b dx ∧ dx + (a + b )dx ∧ dx + b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 3 4 2 3 4 + (a + b )dx ∧ dx ∧ dx ， ω ∧η = a0b1dx1 ∧ dx2 + a0b2dx1 ∧ dx3 + a0b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a0b4dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + a1b4dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 。 3． x1dx1 ∧ dx2 + dx1 ∧ dx3 + (x1 2 + x3 )dx2 ∧ dx3 − (x2 2 + x3 2 )dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 。 5．（1）rdr ∧ dθ ∧ dz ；（2）r 2 sinϕ dr ∧ dϕ ∧ dθ 。 4