复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第二章 数列极限 2.1 实数系的连续性 2.2 数列极限

第二章数列极限习题2.1实数系的连续性1．（1）证明/6不是有理数；(2）V3+V2是不是有理数？证（1)反证法。若/6是有理数，则可写成既约分数/6=㎡。由m2=6n2，n可知m是偶数，设m=2k，于是有3n2=2k2，从而得到n是偶数，这与㎡是既约分数矛盾。n（2）3+/2不是有理数。若V/3+/2是有理数，则可写成既约分数V3+2="，于是3+2/6+2=，，V6=-号，即/6是有理数，与h22n2-2n（1）的结论矛盾。2.求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：A=(x|x≥0);2元B=sinx0x，所以maxA不存在。maxB=sin=l;因为VxeB，3αeo,，使得x=sinα，于是有2sineB，sin%<x，所以minB不存在。229

第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明 6不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ， 可知 是偶数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾。 （2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数 3 2 + n m = ，于是 2 2 3 2 6 2 n m + + = ， 2 5 2 6 2 2 = − n m ，即 6 是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = x，所以max A不存在。 1 2 max = sin = π B ；因为∀x ∈ B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∃ ∈ 2 0, π α ，使得 x = sinα ，于是有 ∈ B 2 sin α ， < x 2 sin α ，所以min B不存在。 9

n+1maxC与minC都不存在，因为v"eC，有nEC,ECm+1m+1m"0，存在yeS，使得y>supS-，于是-yeT，且-y0，因为B为2集合S的上确界，所以存在xeS，使得x>B-6>A，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A=B，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界数集的下确界唯一。6.对任何非空数集S，必有sups≥infS。当supS=infs时，数集s有什么特点？解对于任意的xeS，有infS<x≤supS，所以supS≥infS。当supS=infS时，数集s是由一个实数构成的集合。10

maxC 与minC 都不存在，因为 C m n ∀ ∈ ，有 C m n ∈ +1 ， C m n ∈ + + 1 1 ， 1 1 1 + + 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ， 于是 − y ∈T ，且 − y − = B A ε ，因为B 为 集合S 的上确界，所以存在 x ∈ S ，使得 x > B − ε > A，这与 A为集合 的 上确界矛盾，所以 S A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什 么特点? 解 对于任意的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ，所以 sup S ≥ inf S 。 当 sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。 10

7.证明非空有下界的数集必有下确界。证参考定理2.1.1的证明。8.设S=(刚xEQ并且x20,0充分小，1Ppp使得r2+4r0，使得("+r）3，取有理数r>0充分小，使得4r-r2(≤)n-r-4r+r2>3，这说明-r也是s的上mmm界，与supS=n矛盾。所以s没有上确界。m同理可证s没有下确界。11

7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x 0 p q ，则 3 2 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 0，使得 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11

习题2.2数列极限1.按定义证明下列数列是无穷小量：(n+1)(1)(2) ((-1)"(0.99)");[n?+1]1+2+3+...+n(3)(4)n3n(5)(6)(7)(8)n+22nJn+1nn+12当n>N时，成立0N时，成立(2) V(0N时，成立！N,时，成立5"N=max(N,N,)时，成立！+5-6-2(4) (0N时，成立n+11011时，于是>0，2'C33"(1+2)" 8(n-1)(n-2)h2国取 N = max|11,当n>N时，成立0<634n12

习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 N 时，成立 N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − N1时，成立 2 1 ε N2 时，成立5−n 2 ε N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + N 时，成立 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12

有3"、35当n>5，(6)。于是(0N时，成立0 lge,+4.当n>N时，有m>于是成立N=2I吃2B）n!On11-（8）首先有不等式0N时，成立0001(4) lim %/3n +2 =1;(3) lim (n2 +n -n)=n+Vnn是偶数，(5）lim x,=1,其中xn1-10-"n是奇数，1当n>N时，成立证（1）V>0，取N=[]72n2-12160n?3n2+233(3n2 + 2)(2)Vs>0,取N当n>N时，成立2613

（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ N 时，成立 ⎟ N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ N 时，成立 − + − 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13

In212nn?+n+n(3）s>0，取N当n>N时，成立88n148n2(Vn? +n +n)?(4）令/3n+2=1+a,，则a,>0，3n+2=(1+a,）">1+Ca,。当n>3时，2(3n+，所以V>0，取N=当n>N时，成立有anN时，若n是偶数，(5) Vε(00，存在N，使当n>N时成立x0，存在无穷多个x,,使「x，10，N，Vn>N，成立-d0，N"，Vn>"，成立x+-a<，取14

0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 8ε 1 N ，当n > N 时，成立 0 2 2 3 2 (1 ) 1 n n n n + = + an > + C a n > 3 n n n n an 3 ( 1) 2(3 1) 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 9 ε N ，当n > N 时，成立 + − = N n − = 0，存在 N ，使当n > N 时成立 xn ； n n 0，存在无穷多个 x ,使｜ x ｜＜ε。 解 （1）例如 xn = −n ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 （2）例如 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 是偶数 是奇数 n n n n xn 1 ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 4. 设k 是一正整数，证明：limn→∞ xn = a 的充分必要条件是lim 。 n→∞ xn k + = a 证 设lim ，则 n→∞ xn = a ∀ε > 0，∃N ，∀n > N ，成立 x − a 0 ， ∃N' ， ∀n > N' ，成立 − < ε xn+k a ，取 14

N=N+k，则n>N，成立x,-α0，N，Vn>N，成立|2n-；EN2，Vn>N2，成立2n+I-d,成立x。6.设x,≥0，且limx,=a≥0,证明：limx=Va。证首先有不等式-ax-。由limx=，可知V>0，N，n>N，成立-a，于是x-an≤/x-a。7.（x,)是无穷小量，（y,)是有界数列，证明(xy,)也是无穷小量。证设对一切n，ly≤M。因为(x)是无穷小量，所以V>0，N，Vn>N，成立x。于是n>N，成立y，所以(xy也是无穷小量。8.利用夹逼法计算极限：.11(1) lim1.22n(2)n+V2V1n+nA(3) lim台派1.3.5.....(2n-1)(4) lim2.4.6....(2n)1元解（1)由1<(1+++<n与lim/n=l，可知23n15

N = N'+k ，则∀n > N ，成立 x − a 0，∃N1， N1 ∀n > ，成立 x − a N2 ，成立 − N x − a 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N 2 x − a 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N M xn ε N ，成立 < ε n n x y ，所以{ }也是 无穷小量。 xn yn 8. 利用夹逼法计算极限： (1) limn→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) limn→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + . + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) limn→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) limn→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 解（1）由 n n n n ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + + 1 1 3 1 2 1 1 1 " 与 lim = 1 →∞ n n n ，可知 15

im1n-nnn11(2)由+lim=1n+V2(n+/in+nn+1n+/nn-0n+nh与 lim可知=1，n->0n+ 111lim+n+/2(n+Vin→00n+yn(n+1)22n+22n+22n+2与（3）由2：可知2lim2，00n(nt1)212元lim=2.10（4）应用不等式2k>/(2k-1)(2k+)，得到0<1=3.5*(2n-1)2.4.6...-(2n)V2n+11由 =0，可知limn-→002n+11-3.· ---(2n-- = 。lim2·4·6.-(2n)n→a9.求下列数列的极限：3n2 +4n-1n2+2n2-3n+1(1) lim(2) limn2 +12n2-n+30n元3" +n(4) lim (/n +1-1)sin2,(3) limm 3n+l +(n+1)3(5) lim Vn(/n+1- /n);(6) lim n(/n2 +1- /n+1);5(8) (-)(-)(1-);(7) lim /Vn!n-→o0+(10) lim /(9) lim /nlgn ;+2″16

limn→∞ 1 1 3 1 2 1 1 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + n n " 。 （2）由 ⎜ ⎝ ⎛ + (2k −1)(2k +1) ，得到 2 1 1 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) 0 + < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − < n n n " " ， 由 0 2 1 1 lim = n→∞ n + ，可知 limn→∞ 0 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − n n " " 。 9. 求下列数列的极限： ⑴ limn→∞ 3 4 1 2 2 n n n + − + 1 ; ⑵ limn→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 1 ; ⑶ limn→∞ 3 3 1 3 1 3 n n n n + + + + ( ) ; ⑷ limn→∞ ( ) n si n n 2 1 1 2 + − π n ; ⑸ limn→∞ n n ( + − 1 n) ; ⑹ limn→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ; ⑺ limn→∞ 1 n n ! ; ⑻ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n ； ⑼ limn→∞ lg n n n ; ⑽ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + n n 2 2 1 2 3 2 1 2 " 。 16

4.13 +3n2+4n-1n?n解（1)lim= lim=3。n2 +110n->001+3.11+2..n°+2n2-3n+1n?n31n(2)= limlim2n3-n+3213n→00n-→002-+n?n31+*3" +n33n1(3)limlim3m+l +(n +1)3100(n+1)3n-→003/1+3°+/00Vn+1+/n4nn[n2 +1-(n+1)](6) lim /n(/n2+1-/n+1)=lim10n- (/n?+1+/n+1)(n?+1+n+1)-2n/n= limn- (/n?+1+/n+1)(Vn?+1+n+1)-2= limn-00+1+=(4/1+111 1+11V(7)-80，所以limn→00n1lim n=0。n!（8）m(1（）17

解（1）limn→∞ 3 4 1 →∞ = n lim 1 2 2 n n n + − + 3 1 1 4 1 3 2 2 = + + − n n n 。 （2）limn→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 + 1 →∞ = n lim 2 3 + − − + 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 3 2 3 = − + + − + n n n n n 。 （3）limn→∞ 1 3 3 3 ( 1) 3 + + + + n n n n →∞ = n lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + +1 3 3 3 ( 1) 3 1 3 1 n n n n 3 1 = 。 （4）因为limn→∞ 1 1 2 + = n n ， | 1 2 |sin ≤ nπ ，所以 limn→∞ ( ) n sin n n 2 1 1 2 + − π = 0。 （5）limn→∞ n n ( ) + − 1 n →∞ = n lim = n + + n n 1 limn→∞ = + +1 1 1 1 n 2 1 。 （6）limn→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ( 1 1)( 1 1) [ 1 ( 1) ] lim 4 2 2 2 2 + + + + + + + − + = →∞ n n n n n n n n ( 1 1)( 1 1) 2 lim 4 2 2 + + + + + + − = →∞ n n n n n n n = + + + + + + − = →∞ ) 1 1 1 )( 1 1 1 1 ( 1 2 lim 2 4 2 n n n n n 2 1 − 。 （7）limn→∞ 1 1 lg1 lg lg 2 n n + + + = −∞ " ，所以 limn→∞ n = n! 1 0。 （8）limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n 17

= lim 1-3.2-4. 3.5.(n-2)n (n-1)(n+l)n+1_ 1limPn?→00224232(n-1)22nn-→a（9）10（n=1,2...），且lim~=1>1，则lima,=0。aaa+证取11，可知N,Vn>N，成立>r>1，于oanan+1。由liman0可知是00（n=1,2...），且limm则lima,=a。=a,n- an=α，可知E由,=......an及lim证aa2an-lanlimga,=a。12.设lim（a+az+.+a,)存在，证明：(1) lim =(a, +2a,+..+na,)=O;→n(2) lim (nlaa,.a,) =0 (a, >0, i= 1,2,,n)。18

→∞ = n lim = − + ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 2) 4 3 5 3 2 4 2 1 3 n n n n n n " limn→∞ = + n n 2 1 2 1 。 （9） 2 1 lg n n 0（n = 1,2,"），且lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则lim = 0。 →∞ n n a 证 取1 + →∞ l a a n n n ，可知∃N,∀n > N ，成立 1 1 > > + r a a n n ，于 是 1 1 1 0 − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0（n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n an a n = →∞ lim 。 证 由 n n n n n a a a a a a a a 2 1 3 1 2 1 − = ⋅ ⋅ ⋅"⋅ 及 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，可知 n an a n = →∞ lim 。 12. 设lim ( a a )存在，证明： n→∞ a 1 2 + +"+ n (1) limn→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) limn→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,.,n)。 18