复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第六章 不定积分 6.2 换元积分法和分部积分法

习题6.2#换元积分法和分部积分法1.求下列不定积分：dxdx(1)(2)1-2x24x-3dx(3)(4) Je3x+2 dx ;(5) [(2* + 3+)2dx ;(6)「2+5r2dx;(8) [ tan'° xsec? xdx;(7) [sin xdx;(9) J sin 5x cos 3xdx ;(10) J cos2 5xdx ;(2 sin Vx(2x + 4)dx() dx:(x2 + 4x +5)2 Vxxdx(13)dx;(14)4/1-2x3sinxdxsinx+cosx(15)dx(16)(arcsin x)2 /1-x2/sinx-cosxdx1-x(17) J(18)dxx2-2x+2/9-4x2xsinxcosx(19)[tan /1+x?dx;(20)dVi+x21 + sint xdx1 d(4x-3) _|in|4x-3+C 。解（1）4x-34J4x-34dx d(V/2x)1arcsin(V2x)+C 。(2)V2V1-2x2V21-2x2dxler-rdee=-ln(3)+(o2x-1[e*+1 [e3x+2 d(3x + 2) =1 ,3x+2 +C (4)「e3+2 dx=}3172

习 题 6.2 换元积分法和分部积分法 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; ⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . 解 （1） dx 4 3 x − ∫ = 1 (4 3) 1 ln 4 3 4 4 3 4 d x x C x − = − + − ∫ 。 （2） dx 1 2x 2 − ∫ = 2 1 ( 2 ) 1 arcsin( 2 ) 2 2 1 2 d x x C x = + − ∫ 。 （3） dx x x e − e− ∫ = 2 e 1 e 1 ln e 1 2 e 1 x x x x d C − = + − + ∫ 。 （4）∫ e3 2 x+ dx = 1 1 3 2 3 2 e (3 2) e 3 3 x x d x C + + + = + ∫ 。 172

21(5)(2*+3+) dx=[(22*+2.6*+32*)dx6x.32x+C2ln2In62ln35(6)「2+5x2 dr=-d(V5x)=arctanx+C5J2+5xV10V2(7) [ sin' xdx=[(1-cos"x) sin xdx = -[(1-2cos’ x+cos* x)d cosx1cos'x+C二cos3x-=-cosx+-35Itan" x+C。(8）「tan'0xsec2xdx=tan"°xdtanx=111(9) J sin 5x cos3xdx =[(sin 8x+sin 2x)dx = -cos8x-cos2x+C。164(10) [cos 5xdx=[(+cos10x)dx=+sin10x+C。220(11) [,(2x+4)dx_=[d(x* +4x+5) 1+C(x2 +4x+ 5)2J (x2+4x+5)2x2+4x+5sin/x(12)dx=2sin/xd/x=-2cosx+C。Vxx-dxrd(1-2x3)(13)(1-2x34/1-2x3964/1-2x311d(_")(X_元)+C(14)dx=cotC24-sinxX元2sin?2sin x+ cosxr d(sinx-cos x)(15)dx(sinx-cosx)3+C/sinx-cosx/sinx-cosxdr1darcsinx(16)+C(arcsin x)2/1-)(arcsinx)x:arcsinxdxd(x-1)(17)arctan(x-1)+C。-2x+2J 1+(x-1)21- x1 rd(9-4x2)d(2x)-(18)dx/9-4x2V9-4x28/9-4x22+V9-4x2 +C。-arcsin=x+234{tan i+x?(19)dx=JtanV1+dv1+x=-In cosV1+x/1+x173

（5）∫ ( ) 2 3 x x + 2 dx = 2 2 1 2 2 1 2 (2 2 6 3 ) 2 6 3 2ln 2 ln 6 2ln 3 x x x x x x + ⋅ + dx = + + +C ∫ 。 （6） 1 2 5 2 + ∫ x dx = 2 1 1 1 5 ( 5 ) arctan 5 1 2 5 0 2 d x x x = +C + ∫ 。 （7）∫sin5 xdx = ∫ ∫ (1− cos x) sin xdx = − (1− 2cos x + cos x)d cos x 2 2 2 4 2 1 3 5 cos cos cos 3 5 = − x + x x − +C 。 （8） = ∫ x xdx 10 2 tan sec 10 1 11 tan tan tan 11 xd x = x +C ∫ 。 （9）∫sin 5x x cos3 dx = 1 1 1 (sin 8 sin 2 ) cos8 cos 2 2 16 4 x + x dx = − x − x + C ∫ 。 （10）∫ cos2 5xdx = 1 1 (1 cos10 ) sin10 2 2 20 x + = x dx + x C ∫ + 。 （11） ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ = 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 5) 4 5 d x x C x x x x + + = − + + + + + ∫ 。 （12） sin x x ∫ dx =2 sin xd x = − + 2cos x C ∫ 。 （13） x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ = 3 3 3 4 4 3 1 (1 2 ) 2 (1 2 ) 6 9 1 2 d x x C x − − = − − − ∫ + 。 （14）∫ − dx 1 sin x 1 2 1 ( ) cot( ) 2 4 2 4 sin ( ) 2 4 x x d C x π π π = − = − − ∫ − + 。 （15） sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 = 2 3 3 (sin cos ) 3 (sin cos ) sin cos 2 d x x x x x x − = − +C − ∫ 。 （16） dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ = 2 arcsin 1 (arcsin ) arcsin d x C x x = − + ∫ 。 （17） dx x x 2 − 2 2 + ∫ = 2 ( 1) arctan( 1) 1 ( 1) d x x C x − = − + + − ∫ 。 （18） 1 9 4 2 − − ∫ x x dx = 2 2 2 1 (2 ) 1 (9 4 2 8 9 4 9 4 d x d x ) x x − + − − ∫ ∫ 。 1 2 1 2 arcsin 9 4 2 3 4 = +x − x +C 。 （19）∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 = 2 2 2 tan 1+ x d x 1+ = −ln cos 1+ x +C ∫ 。 173

[snxcos=dsin'a(20)arctan(sinx)+C。1+sin+x2J1+sintx-22.求下列不定积分：dxdx(1)(2)「V1+e2xx/1+x2[ arc tan x1+Inx(3)-dx;(4)Jdx(x lnx)2/x(1+ x)(6) J x2(x + 1)"dx;(5) [(x -1)(x +2)20 dx ;dxVx2-9(7)(8)dx;4/1+x2xdxdx(10)(9)2+a22-(11)(12)dxdx20-+0dx(13)(14) [ x2 3/1- x dx;1+~2xdxx2(15)「(16)dxx/x2-1Na?XdxVa?-x2(18)(17)dx:1+ /1- x2x415dx:(19)(20)dxx(x" +1)dxde-解（1）-In(e** + Ve-*+1)+CV1+e2x/e-2*+1=In(/1+e2x -I)-x+C。（2）当x>0时，dxV1+x?dxdx-+C;rx/1+x2μx2 /x-2 +1V1+ x-2174

（20） sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ = 2 2 4 1 sin 1 arctan(sin ) 2 1 sin 2 d x x C x = + + ∫ 。 ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; ⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; 解（1） dx x 1 2 + ∫ e = 2 2 ln( e 1) e 1 x x x x de e C − − − − − = − + + + ∫ + 2 ln( 1 1) x = + e − − x +C。 （2）当 x > 0时， dx x x 1 2 + ∫ = 1 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 dx dx x C x x x x − − − + − = − = + + ∫ ∫ + ； 174

当x0时，dx1 r(x~ +1-1)dx-2dxt/i+x?2.5 /1 + x-2/1+ x-21(1+x3)2Vi+x?x3x当x0时，/x2-9+3/ _d(3x-l)x-9xdxdx=ldx=11x2-9V1-9x-2/x2_9=x2-9+3arcsin+CX当x<0时，也有相同结果。注：本题也可令x=3sect化简后解得。（9）令x=sint，则175

当 x 0时， dx x x 4 2 1+ ∫ = ∫ ∫ − − − − + + − = − + 2 2 2 5 2 1 ( 1 1) 2 1 1 x x dx x x dx 3 2 2 2 3 1 (1 ) 1 3 x x C x x + + = − + + ； 当 x 0时， x x dx 2 − 9 ∫ = ∫ ∫ ∫ − − − + − = − − 2 1 2 2 2 1 9 (3 ) 3 9 9 9 x d x x xdx dx x x x 2 3 x 9 3arcsin C x = − + + ； 当 x < 0时，也有相同结果。 注：本题也可令 x = 3sect 化简后解得。 （9）令 x = sint ，则 175

dxcostdtsectdt = tant+cos3t(1-x2)Vi-x（10）令x=atant，则dxcostX-sint++g2）3aC4q?/x2+9(11)draalndx+-2ax(12）dxdx:V2ax- xdx +-dx2ax-x12ax-x2dx2ax-r dx-ajd(2ax-x)V2ax-x212ax-x-ax-a_2a2ax-x?+C12axaarcsin22ax+3a3x-a2ax-xYaarcsin22a注：本题答案也可写成-x+3a、x/2ax-x2+3a arcsin+C22a（13）令1=V2x,则x=,dx=Idt，于是1dxtdt=1-In|1+1+c=/2x-In(1+~2x)+C。1+/2x1+1（14）令1=3/1-x，则x=1-t3,dx=-3t2dt，于是[x2/-xdx=-3[(-3)dt=-3[(t3-2t+1)d1U.63(1-x)3.(1-x)3 +C 。(1-x)3710dxdr~!dx(15）「=arccos-Vx2-1x2 /1- x-211-3 $X（16）令x=asint，则x2dx=[a?sin”tdt=cos2t)dta2-r22176

dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ = 2 3 2 cos sec tan cos 1 tdt x tdt t c C t x = = + = − ∫ ∫ + 。 （10）令 x = a tan t ，则 dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 = 2 2 2 2 2 cos 1 sin t x dt t c C a a a x a = + = + ∫ + 。 （11） x a x a dx − + ∫ = 2 2 2 2 2 2 ln x a dx x a a x x a C x a − = − − + − + − ∫ 。 （12） x x a x dx 2 − ∫ = ∫ ∫ ∫ − = − − + − dx ax x ax dx ax x dx ax x x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ − + − − = − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 ax x dx a ax x d ax x ax x dx a 2 2 3 2 2 arcsin 2 2 2 2 x a x a ax x a a ax x C a − − = − − + − − + 3 3 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a ax x a C a + − = − − + + 。 注：本题答案也可写成 3 2 2 2 x a ax x + − − + 2 3 arcsin 2 x a C a + 。 （13）令t = x x = t , dx = tdt 2 1 2 ，则 2 ，于是 dx 1 2 + x ∫ = ln 1 2 ln(1 2 ) 1 tdt t t c x x t = − + + = − + + + ∫ C 。 （14）令t x x t dx t dt 3 3 2 = 1− ，则 = 1− , = −3 ，于是 x x d 2 3 ∫ 1− x = ∫ ∫ − 3 (1− t ) t dt = −3 (t − 2t + t )dt 3 2 3 3 6 9 4 7 10 3 3 3 3 6 3 (1 ) (1 ) (1 ) 4 7 10 = − − + x − − x − x +C 。 （15） dx x x 2 −1 ∫ = 1 2 2 2 1 arccos 1 1 dx dx C x x x x − − − = − = − − ∫ ∫ + 。 （16）令 x = asint ，则 x a x dx 2 2 2 − ∫ = ∫ ∫ = − t dt a a tdt (1 cos 2 ) 2 sin 2 2 2 176

a?axrVaYsin2t+arcsin+224a(17）令x=acost，则Na?-x? sin?t[ tan? td tan xdtx4-Q2costtYa?-x)-1-tan3a?x33g2dxr(1- V1-x)dx1-x2(18)dx2x? /- xxVi-x? -dx0+arcsinx+C。2Jx-2-1V1-x2Vr注：本题也可令x=sint后，解得dxarcsinx)+C。=arcsinx-tan1+/1-x?（19）令t=x-1，则t1s1 xl2r(t + 1)31dx4-dr=14Jt34J(x4-13DY313311It+21nll-)dt101++C348/244t31-43-1n/x4-1l-+C4(x4 -1)8(xt -1)244 dr-（20）dx=-Jxrn+(1+ x-n)n 1+x-x(x" +1)In/1+C 。[1+x1n3．求下列不定积分：(1) Jxe2x dx ;(2) [x In(x-1)dx;(3) x2 sin3xdx;(4)-dx;sin?x177

2 2 2 1 2 2 sin 2 arcsin 2 4 2 2 a a a x t t c x a x a = − + = − − +C 。 （17）令 x = a cost ，则 a x x dx 2 2 4 − ∫ = ∫ ∫ − = − td x a dt t t a tan tan 1 cos 1 sin 2 4 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 1 ( ) tan 3 3 a x t c C a a x − = − + = − ⋅ + 。 （18） dx 1 1 x 2 + − ∫ = ∫ ∫ − − = − − − − dx x x x x x x dx 2 2 2 2 2 1 (1 1 ) 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 arcsin 2 1 1 dx dx x x C x x x x − − − − = − + + = + + − − ∫ ∫ 。 注：本题也可令 x = sint 后，解得 2 1 arcsin tan( arcsin ) 1 1 2 dx x x C x = − + − ∫ + 。 （19）令t = x 4 −1，则 ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) = ∫ ∫ + = − dt t t dx x x 3 3 4 4 3 12 ( 1) 4 1 4 ( 1) 1 2 3 2 1 3 3 1 1 3 3 1 (1 ) ln 4 4 4 4 dt t t C t t t t t = + + + = + − − + ∫ 8 4 4 4 4 2 1 3 3 1 ln 1 4 4 4( 1) 8( 1) x x C x x = + − − − + − − 。 （20）∫ + dx x x n ( 1) 1 = ∫ ∫ − − + − + = − + n n n n x dx n dx x x 1 1 (1 ) 1 1 1 1 ln 1 ln 1 n n n x x c C n n − = − + + = + + x 。 ⒊ 求下列不定积分： ⑴ x dx e2 ∫ x ; ⑵ ∫ x x ln( −1) dx ; ⑶ x x 2 ∫ sin 3 dx ; ⑷ x x dx sin2 ∫ ; 177

(5) J xcos? xdx ;(6) Jarcsin x dx ;(7) [arctan xdx;(8)【xarctan xdx; aresin x dx ;(9) [ xtan xdx ;(10) JVi- x(1) J In? x dx;(12) J x2 In x dx ;(13) Je-* sin5xdx;(14) Jer sin? x dx ;g;(16) J cos(lnx)dx ;(18) [ Vxevx dx;(17) [(arcsin x)2 dx;(19) Jev+l dx ;(20) [1n(x+/1+x2)dx解（1) [xe dx=→xe*--fe" dx=le(2x-1)+C。2J2Adx=(x2-1)In(x-1)-121(2) [xIn(x-1)dx=→x in(x-1)x+C2(3) [Jx in3xdx=-Ix cos3x+xcos3xdx3.[sin3xd(2x sin 3x -3x2 cos3x)-21,2.2xsin3x-)cos3x+C。91327(4)「dx=-xcotx+cotxdx=-xcotx+lnsinx+Csin?x(5) [ xcos? xdx=[x(I+cos2x)dx=(r2 +xsin2x)-[sin2xd)(x2 +xsin2x)+cos2x+C。8Axdx xarcsin x+V1-x2+C。(6)Jarcsin xdx=xarcsinx-I-xxdx(7)[arctan xdx =xarctanxIn(1+x2)+C 。xarctan+x22x3131 2xdx1(8) [x2 arctan xdx=}dxxarctanxarctanx33J1+x2363J1+x_1x* +=In(1+x)+C。arctanx-66178

⑸ x x cos d 2 ∫ x ; ⑹ ∫ arcsin x dx ; ⑺ ∫ arc tan xdx ; ⑻ ∫ x arc tan xdx 2 ; ⑼ ∫ x xdx 2 tan ; ⑽ arcsin x x dx 1− ∫ ; ⑾ ln2 ∫ x dx ; ⑿ x x d 2 ∫ ln x ; ⒀ e sin − ∫ x 5xdx ; ⒁ e sin x x dx 2 ∫ ; ⒂ ln3 2 x x ∫ dx ; ⒃ ∫ cos(ln x d) x ; ⒄ (arcsin x) dx 2 ∫ ; ⒅ x dx ∫ e x ; ⒆ e x dx + ∫ 1 ; ⒇ ln(x + + x ) ∫ 1 2 dx x . 解（1）∫ x d e2x = −x xe 2 2 1 1 1 2 2 e (2 1 2 4 x x dx = e x − +) C ∫ 。 (2) ∫ x x ln( −1) dx = 2 1 1 2 2 1 1 1 ln( 1) ( 1)ln( 1) 2 2 1 2 4 2 x 2 x x dx xxx x x − − = − − − − + − ∫ C d 2 ∫ sin 3 。 （3） x x x = ∫ x x + x cos3xdx 3 2 cos3 3 1 2 − ∫ = x x − x x − sin 3xdx 9 2 (2 sin 3 3 cos3 ) 9 1 2 2 1 2 2 sin 3 ( ) cos3 9 3 27 = − x x x − x +C。 （4） x x dx sin2 ∫ =− + x cot x x cot dx = −x cot x + ln sin x + ∫ C cos2 ∫ 。 （5） x xdx = ∫ ∫ x + x dx = x + x x − sin 2xdx 4 1 ( sin 2 ) 4 1 (1 cos 2 ) 2 1 2 1 1 2 ( sin 2 ) cos 2 4 8 = + x x x + x +C 。 （6）∫ arcsin x dx = 2 2 arcsin arcsin 1 1 xdx x x x x x x − = + − C − ∫ + 。 （7）∫ arc tan xdx 2 2 1 arctan arctan ln(1 ) 1 2 xdx x x x x x C x = − = − + + + ∫ 。 （8）∫ x arc tan xdx = 2 ∫ ∫ + = − + + − 2 3 2 2 3 3 3 1 1 6 1 arctan 3 1 3 1 1 arctan 3 1 x xdx dx x x x x x x x 1 1 3 2 1 arctan ln(1 ) 3 6 6 2 = − x x x + + x +C 。 178

(9) [xtan’ xdx=[ x(sec’ x-1)dx = xtan x -2[tanxdx1x+Incosx|+C。=xtanx-2(10) aresindx=-2Jaresin xd/1x=-2/-xaresinx+2]-V1-x斤+=-2/1-xarcsinx+4/1+x+C。(11)[1n2xdx=xln’x-2[Inxdx =xln’x-2xlnx+2x+C 。(12) [x2lnxd=1rlnx-=1xInx-x’dx=x+C。3″39(13）Je-* sin5xdx=-e**sin5x+5e-* cos5xdx=-e-*(sin5x+5cos5x)-25[e-* sin 5xdx ,所以Je** sin5xdx=--}-e-*(sin5x+5cos5x)+C。26(14 esi[e" cos2xdx[e* cos2xdx= e' cos2x+2[e* sin 2xdx =e'(cos2x+2sin2x)-4[e* cos2xdx ,从而[e* cos2xdx =e(cos2x+2sin2x)+C所以e"sin?xdxe(cos2x+2sin2x)+C。10InInx+3lnnsns.(15)xIn2x+3ln2x+6lnx_In’x+31n*x+6lnx+6+C 。xx(16) J cos(ln x)dx=xcos(ln x)+ [xsin(ln x)= dx= x[cos(In x)+ sin(ln x)]- [cos(ln x)dx ,所以179

（9） = ∫ x xdx 2 tan ∫ ∫ x x − dx = x x − x − tan xdx 2 1 (sec 1) tan 2 2 1 2 tan ln cos 2 = − x x x + x +C 。 （10） arcsin x x dx 1− ∫ = ∫ ∫ + − − = − − + x dx xd x x x 1 2 arcsin 1 2 1 arcsin 2 = −2 1− x arcsin x + 4 1+ x +C 。 （11）∫ ln2 x dx = ∫ x ln x − 2 ln xdx 2 2 = x ln x x − + 2 ln x 2x + C 。 2 （12）∫ x x ln dx 1 1 3 2 1 3 1 3 ln ln 3 3 3 9 = − x x x dx = x x − x ∫ +C dx 。 （13） e sin = − ∫ x 5xdx sin 5 5 cos5 x x e x e x − − − + ∫ (sin 5 5cos5 ) 25 sin 5 x x e x x e x − − = − + − dx ∫ ， 所以 e sin − ∫ x 5xdx = 1 (sin 5 5cos5 ) 26 x e x x − − + +C 。 （14） e sin x x dx 2 ∫ ∫ ∫ = e dx − e xdx x x cos 2 2 1 2 1 ∫ = e − e xdx x x cos 2 2 1 2 1 。 ∫ ∫ ∫ e xdx = e x + e xdx = e x + x − e xdx x x x x x cos 2 cos 2 2 sin 2 (cos 2 2sin 2 ) 4 cos 2 ， 从而 ∫ e xdx x cos 2 1 (cos 2 2sin 2 ) 5 x = + e x x +C ， 所以 e sin x x dx 2 ∫ = −x e 2 1 1 (cos 2 2sin 2 ) 10 x e x + x +C 。 （15） ln3 2 x x ∫ dx ∫ ∫ + + = − + = − dx x x x x x dx x x x x 2 3 2 2 3 2 ln 6 ln ln 3ln 3 ln ∫ + + + = − dx x x x x x 2 3 2 1 6 ln 3ln 6ln 3 2 ln x x 3ln 6ln x 6 C x + + + = − + 。 （16）∫ cos(ln x d) x = ∫ + dx x x x x x 1 cos(ln ) sin(ln ) ∫ = x[cos(ln x) + sin(ln x)] − cos(ln x)dx， 所以 179

Jcos(ln x)dx =x[cos(In x)+ sin(In x)]+C 2注：若令t=lnx，则可看出本题与第（13）题本质上是同一种类型题。(17) J(arcsin x)2 dx =x(arcsin x)? -2]-arcsinxdx1.= x(arcsin x)? + 2[arcsin xd /1-x2=x(arcsinx)°+2V1-x arcsinx-2x+C。（18）令t=/x，则x=t2，于是JVxev/dx=2fte'idt=2e't?-4fte'dt=2e'(t?-2t)+4fe'di=2e'(t? -21+2)+C=2e(x-2/x+2)+C 。（19）令t=x+1，则x=t-1，于是[e/ dx=2[e'tdt=2te'-2[e'dt=2e'(t-1)+c=2ev(Vx+1-1)+C 。(20) [1(+++=x(++)- =d=xln(x+1+x)-/1+x2+C4．已知(x)的一个原函数为sin，求[r(n)(c)dx。1+xsinx解由题意sinxcosx-sin?xf(x)(1+ xsinx)?1+xsinx)于是J(x)()x=J()d()=()+C=cox-sin+C2(1+xsinx)5. 设f(sin2x)=cos2x+tan2x，求f(x)。解设t=sin2x，则sinxf'()=1-2sin2 x+1-2t211- sin? x180

∫ cos(ln x d) x 1 [cos(ln ) sin(ln )] 2 = + x x x +C 。 注：若令t = ln x，则可看出本题与第（13）题本质上是同一种类型题。 （17）∫ (arcsin x)2 dx = ∫ − − xdx x x x x arcsin 1 (arcsin ) 2 2 2 ∫ = + − 2 2 x(arcsin x) 2 arcsin xd 1 x 2 2 = + x(arcsin x x ) 2 1− arcsin x − 2x +C 。 （18）令t = x ，则 ，于是 2 x = t x dx ∫ e x = te tdt = t ∫2 e t te dt t t ∫ 2 − 4 2 = e t t e dt t t ∫ 2 ( − 2 ) + 4 2 = 2 2 ( 2 2) 2 ( 2 2) t x e t − +t + c = e x − x + +C 。 （19）令t = x +1，则 x = t 2 −1 ，于是 e x dx + ∫ 1 = 1 2 e 2 2 2 ( 1) 2 ( 1 1) t t t t x tdt te e dt e t c e x C + = − = − + = + − + ∫ ∫ 。 （20）∫ ln(x+ 1+ x )dx 2 = ∫ + + + − dx x x x x x 2 2 1 ln( 1 ) 2 2 = + x ln(x x 1+ ) − 1+ x +C 。 4． 已知 f (x)的一个原函数为 x x x 1 sin sin + ，求∫ f (x) f ′(x)dx 。 解 由题意 f (x) = 2 2 (1 sin ) cos sin 1 sin sin x x x x x x x + − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ， 于是 ∫ f (x) f ′(x)dx = 2 2 2 4 1 (cos sin ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 sin ) x x f x df x f x C C x x − = + = + + ∫ 。 5．设 f ′(sin2 x) = cos 2x + tan2 x ，求 f (x)。 解 设t = sin 2 x，则 t t t t t x x f t x 2 1 1 1 1 2 1 sin sin ( ) 1 2sin 2 2 2 − − = − = − + − ′ = − + ， 180

从而(x)=[ f(x)dx=J(,-2x)dx =-In|1-x|-x +C 6. 设(nx)-Im(+, 求[r(n)da。解令t=lnx，则x=e′,()=In(I+e)，于是[(m)=+dx=-J1n(+ )de*=-+)e_ In(1+e')-{1-_ In(I+e') - In(e*+1)+C de =ee-r +1er=-(e-"+1)n(1+e')+x+C sinxcosx7.求不定积分-dx与xsinx+cosxsinx+cossinxcoS.xdx，则解记1=-dx，I,=sinx+cosxsin x+cosx1, +/-=[ dt= +C, / -1,= (cim+: = nsin + cs C,sinx+cosx于是+in+o+xmi+)+-8.求下列不定积分的递推表达式（n为非负整数）：(1) I, = [sin" xdx;(2) I, = [ tan" xdx;(3) I, = J_dr(4) I, = J x" sinx dx;cos"x(6) I, = [ x° In" xdx ;(5) I, = Je" sin" x dx;dx(7) In = J(8) I, = [-dx;/1-xxn/i+x解(1)I, = sin" xdx=-[sin"- xd cosx =-sin"-I xcosx+(n-1)[ sin"-2 xcos xdx= sin" x cos x +(n -1)] sin-~ x(1 sin’ x)dx= -sin"-I xcosx+(n-1)(In-2 - I,),于是181

从而 f (x) = 1 2 ( ) ( 2 ) ln 1 1 f x dx x dx x x C x ′ = − = − − − + − ∫ ∫ 。 6．设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求∫ f (x)dx 。 解 令t = ln x，则 t t t e e x e f t ln(1 ) , ( ) + = = ，于是 ∫ f (x)dx = ∫ ∫ − = − + + x x x x dx e de e e ln(1 ) ln(1 ) = ∫ + + + − − dx e e e e e x x x x x 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 ln(1 ) ln( 1) 1 x x x x x x x e e de e C e e e − − − + + = − − = − − + + + ∫ ( 1)ln(1 ) x x e e − = − + + + x +C 。 7. 求不定积分∫ + dx x x x sin cos cos 与∫ + dx x x x sin cos sin 。 解 记I1=∫ + dx x x x sin cos cos ，I 2= ∫ + dx x x x sin cos sin ，则 1 I + I 2= 1 dx = +x C ∫ ， 1 I 2 − I = 2 (sin cos ) ln sin cos sin cos d x x x x C x x + = + + + ∫ ， 于是 1 I = 1 ( ln sin cos ) 2 x + +x x +C ，I 2= 1 ( ln sin cos ) 2 x − x + + x C 。 8．求下列不定积分的递推表达式（n为非负整数）： ⑴ I n = ∫ xdx n sin ; ⑵ I n = ∫ xdx n tan ; ⑶ I n = dx x n cos ∫ ; ⑷ I n = x x d n ∫ sin x ; ⑸ I n = e sin x n ∫ x dx ; ⑹ I n = ∫ x xdx n ln α ; ⑺ I n = x x dx n 1 2 − ∫ ; ⑻ I n = dx x x n 1+ ∫ . 解（1） I n = = ∫ xdx n sin ∫ ∫ − − − − xd x = − x x + n − x xdx n 1 n 1 n 2 2 sin cos sin cos ( 1) sin cos ∫ = − + − − − − x x n x x dx n n sin cos ( 1) sin (1 sin ) 1 2 2 = −sinn−1 x x cos + (n −1)(In−2 − In )， 于是 181