复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十一章 Euclid空间上的极限和连续 11.2 多元连续函数

习题11.2多元连续函数1.确定下列函数的自然定义域：x11(1) u= ln(y-x)+(2)u=J1-x2-y2(3) u=R2-x?-y2-22+/x2+y2+22-r2 (R>r);2(4）u=arcsin-x?+y解(1) D=(x,)|x2+y2x)。(2) D= (x,y,2)] x>0, y>0,z>0)。(3) D= (x,y,2) r? ≤x? +y2 +2? ≤r2)。(4) D=(x,J,=)[≤x2+y2, x2 +y2 +0)r32.设(x>0)，求f(x)。(x* +y*)3/2解因为(x2 + y2)3/572(C]所以f(x) :(1+x2)23.若函数z(x,y)=yy+ f(Vx-1),且当y=4时≥=x+l，求f(x)和z(x,J)。解由z(x.4)=V4+f(/-1)=x+1，可得f(Vx-1)= x-1=(V-1+1)2 -1,所以f(x)=(x+1)2 -1= x2 +2x,z(x,y)= x+/y-1 。4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在：

习题 11.2 多元连续函数 1. 确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 解 (1) D = {(x, y) x + y x} 2 2 。 (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 。 (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R 。 (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ 。 2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0)，求 f (x)。 解 因为 3 2 2 3/ 2 3 2 2 1 ( ) 1 y x f x x y y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ， 所以 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1)， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x)和 z(x, y)。 解 由 z( , x f 4) = + 4 ( x −1) = x +1，可得 2 f x ( 1− =) x −1 = ( 1 x − +1) −1， 所以 2 2 f ( ) x x = + ( 1) −1 = x + 2x , z(x, y) = x + y −1。 4． 讨论下列函数当(x, y)趋于(0,0) 时的极限是否存在： 1

xyx-y(1) f(x,y)=(2) f(x,y):x+yx2+yxiy3[1, 00，38 >0, Vx(00, Vx(00，当0x-xk8，成立IA-Bf(x)-A+If(x)-B<2 ,由于ε为任意正数，所以A=B，即极限唯一。（2）假设limf(x)=A，则对于=1，2

（1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 δ 0,∀x x (0 min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | A B− |≤ − | ( f x) A| + | ( f x) − B |< 2ε ， 由于ε 为任意正数，所以 A=B，即极限唯一。 （2）假设 f (x)=A,则对于 0 lim x→x ε =1， 2

38>0,Vx(00,(3)设 lim f(x)=A>lim g (x)=B，则对于 ε=238,>0,Vx(0x-x8):1f(x)-AK8,即A+Bf(x)> A-8=2又30, >0,Vx(00，当0x-xk，成立局部保序性：A+Bg(x)0，使当00,由 lim h(x)=A,38, >0,Vx(0x-x.8): Ih(x)-A8,所以h(x)0, Vx(0A-6 。取=min(p,0,8)>0，当0x-x8，成立A-<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+8,即 lim f(x)=A。6.对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当x趋于x。时函数f(x)和g(x)的极限存在，则(1) lim f(x)±g (x)) = lim f(x)± lim g (x);3

0 ∃ > δ 0,∀x x (0 g (x)=B，则对于 0 lim x→x 0 lim x→x 0 2 A B ε − = > ， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 − = 。 又 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | 0 ，使当 0 0 | ε 0 , 由 h (x)=A， 0 lim x→x 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 δ 0,∀x x (0 A−ε 。 取δ ρ = > min{ ,δ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 A g − < ε ( ) x x ≤ f ( ) ≤ h( ) x < A+ ε ， 即 f (x)=A。 0 lim x→x 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 时函 数 f (x)和 g (x)的极限存在，则 0 （1） f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 3

(2) lim (f(x) :g (x)= lim f(x) lim g (x);(3) lim (f(x) / g (x)= lim f(x) / lim g (x)(limg(x) ± 0)。证假设limf(x)=A，limg(x)=B。则对任意>0,38 >0,Vx(00, Vx(00，当0x-xk，成立I(f(x)±g(x))-(A±B) f(x)-A|+Ig(x)-Bk28 ,所以（1）成立。由于g(x)在x。有极限，所以g(x)在x。局部有界，即存在正数X和8">0，Vx(0x-x8):1g(x)kX。取8=min(8,8,)>0，当0x-x，成立I f(x)g(x)- AB [ f(x)g(x)-Ag(x)/+|Ag(x)-AB/0,Vx(0x-x.k8"):V021g(x)/B/- ≥[BI ,2取8=min(8",8,8)>0，当0x-xk8，成立f(x)_ A||B(f(x)- A)- A(g(x)-B)g(x)BBg(x)<2(/AI+IBD) 。[BP所以（3）成立。7.求下列各极限：1+x?+ y?1- xy(1)lim(2)lim(x,y)(0,1) x2 + y?(x,J)→(0,0)x2 +/1+ xy1x2 + y2(3)(4)limlim(x,j)→(0,0)(x,j)→(0,0)xy/1+x2+v2-1In(x? +e)sin(x + y3)(5)lim(6)lim(x,j)-(0,0)x+(x,)(0,0)x? + y21- cos(x? + y2)(7)lim(8)(x+y)lim (x2 + y(x,)→(0,0) (x2 + y2)x2yy→+alim (1-xy)1 xy解(1)(x.p)-→(0,1)lim(x,)(0,1) x2 + ylim(x+y)x.V)-(4

（2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 证 假设 f (x)=A， g (x)=B。则对任意 0 lim x→x 0 lim x→x ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 δ 0,∀x x (0 min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | 0 ， ∀x 0 (0 0 ， 当 0 0 | 0， 0 ∀x x (0 −ε ≥ 。 取δ δ = > min{ ",δ 1 2 ,δ } 0 ，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 ( ) ( ( ) ) (() ) ( ) ( ) f A B f A A g B g B Bg − − − − ≤ x x x x x 2 2(| | | |) | | A B B ε + < ， 所以（3）成立。 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 解 （1） ( , ) (0,1) 2 2 2 2 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) 1 lim 1 lim ( ) x y x y x y xy xy x y x y → → → − − = = + + 。 4

(2)lim(1+x2+y)=1，所以lim-++y)=0.(x,y)→(0,0x,y)1+x? + y?lim(x,y)(0,0)x? + y2I+ xy 1(3)limlim(x,J)→(0,0)xy(x,y)→(0,0)/1+xy+1x?+ y2(4)lim(/1+x? +y2 +1)=2 。lim(xy)-→(0,0)/1+ x2 + y2 1(x,y)(0,0(5) In(x? +e")= In(1+x? +e -1)=x?+y +o(y)=x? +y? +o(x?+y),所以In(x? +e)lim(x,j)→(0,0)x2+ y2(6)sin(x+y)x +yHx+yllx+y-xy2|x+y/lx+y/所以sin(x3 + y3)lim=0(x,3)→(0,0)x+y（7）因为(x2 +y2)2((x,y)→(0, 0)),1 -cos(x2 +)(x2 + y2)211lim+0(x? + y)xy2Ixyl(x)-(0,0) x)所以(x*+y2)?1-cos(x? + y2)2limlim(x)-(0,0) (x2 + y*)x*y2(a.y)-(00) (x+y)xy(8) lim (x? + y2)e-(+)= lim [(xe)e-"+ lim [(y'e-")e-=0toy-→+aoy-+a8.讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限：5

（2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( ) 0, lim (1 ) 1 x y x y x y x y → → + = + + = ，所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → = + ∞ 。 （3） ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 1 1 lim lim 1 1 x y x y xy → → xy xy + − = + + = 2 1 。 （4） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) lim lim ( 1 1) 2 1 1 x y x y x y x y x y → → + = + + + + + − = 2 2 。 （5） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln( ) ln(1 1) ( ) ( ) y y x + = e x + + e − = x + y + o y = x + y + o x + y ， 所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim y x y x e → x y + = + 1。 （6） 3 3 3 3 2 2 2 2 | sin(x + y x ) |≤| + y |=| x + + y || x y − xy |≤ 2 | x + y || x + y |， 所以 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → =0。 （7）因为 ( ) 2 2 1 2 2 2 1 cos( ) ( ) ( , ) (0, 2 − + x y ∼ x y + x y → 0) ， 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) | | x y x y x y xy + ≥ + ( , ) (0,0) 1 lim x y → xy ， = +∞ ， 所以 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 cos( ) lim ( ) x y x y → x y x y − + = + 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 ( ) 2 lim ( ) x y x y → x y x y + = + + ∞。 （8） 2 2 ( ) 2 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 x y x y y x x x x y y y x y e x e e y e e − + − − − − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + = ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 。 8． 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限： 5

x2y?(1) f(x,y)==xy* +(x-y)(2) (x,)=(+x)-y(+y),x? + y?11(3)f(x,y)=xsin-+ysin-xy解(1)由于x(1+kx)?1lim f(x,y)=lim1+k2x-=0 x(1+ kx)2 +k*x4x→Jex+kr?所以二重极限不存在。0由可知limlimf(x,J)=0。同理可知lim f(x,y)==0，￥0，y2r0x-limlimf(x,y)=0。所以二次极限存在且都等于0。01（2）由于x(1+x)-k2x(1+k2x)_ 1-k2lim f(x,J)=lim =1+k2x(1+k2)0x>0所以二重极限不存在。又lim lim f(x, y) = -lim(1 + y2)= -1 ,10x-lim lim f(x, y) = lim(1+ x2)=1 。0所以二次极限都存在但不相等。（3）由于1f(x,)x+，所以lim(x,J)=0。-01由于limysin(y±0)和lim xsin-(x±0)都不存在，所以两个二次-0y→0xy极限都不存在。9.验证函数6

（1） 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + − = ； （2） 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) ( , ) x y x x y y f x y + + − + = ； （3） x y y f x y x 1 sin 1 ( , ) = sin + 。 解 (1) 由于 2 4 2 4 2 2 4 0 0 (1 ) 1 lim ( , ) lim x x (1 ) 1 y x kx x kx f x y 2 → → x kx k x k = + + = = + + + ， 所以二重极限不存在。 由 2 0 0 lim ( , ) 0, 0 x f x y y → y = = ≠ ，可知 0 0 limlim ( , ) 0 y x f x y → → = 。同理可知 。所以二次极限存在且都等于 0。 0 0 limlim ( , ) 0 x y f x y → → = （2）由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (1 ) (1 ) 1 lim ( , ) lim x x (1 ) 1 y kx 2 x x k x k x k f x y → → x k k = + − + − = = + + ， 所以二重极限不存在。又 l y x i → → m 0 0 lim f x( , y) = −l y im →0 (1+ y 2 ) = −1， 。 2 0 0 0 limlim ( , ) lim(1 ) 1 x y x f x y x → → → = + = 所以二次极限都存在但不相等。 （3）由于| f x( , y) |≤ + | x | | y |，所以 0 0 lim ( , ) 0 x y f x y → → = 。 由于 0 1 lim sin ( 0) x y y → x ≠ 和 0 1 lim sin ( 0) y x x → y ≠ 都不存在，所以两个二次 极限都不存在。 9. 验证函数 6

x>0且1x0且x20，f(x,x)==1，所以当点(x,J)沿y=x2(x>0)趋X2x2(于原点时函数f(xy)的极限为1，而当点(xJ)沿x轴趋于原点时函数f(x,J)的极限为0，所以函数f(x,J)在原点不连续。对于函数f(xJ)在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线x2,y=x2,y=2x2 (x>0)V=2上的情况（因为在除去上述曲线和原点的区域上函数显然连续）。-设x>0。在(x0,%)=(x0,x)点，由于2(y-limlimf(x,y)==0=f(xo,o)(x,y)→()x(x,y)>r2/2limf(x,y)=0 = f(xo,yo),(x.y)(10.30ysx/2所以函数f(x,J)在(xo,yo)=(xo,x)连续。同理可知函数f(x,J)在(xo,%)=(x,2x)也连续。在(xo)=(x,)点，由于2x-y_ 2x -x=1=f(xo,)limlimf(x,y)=x2x(x,y)-(10,Jo(x,y)(0,o)2x>v>r1-5)x2)2(x -2(y-n2limf(x,y)=lim=1 = f(xo,yo),Xx(x,j)→(xoJo)(rsorV所以函数f(x,y)在(x,y)=(x,x)也连续。综上所述，函数f(x,)除了在原点不连续，在其它点都连续。10.讨论函数xyx2 + y? +0,x+y2,f(x,y)=0,x?+y2=0的连续范围。7

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > 0， 2 f x( , x ) = 2 2 2 2 1 1 2 x x x ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎝ ⎠ ，所以当点( , x y)沿 趋 于原点时函数 的极限为 1，而当点 2 y x = (x > 0) f x( , y) ( , x y)沿 轴趋于原点时函数 的极限为 0，所以函数 在原点不连续。 x f x( , y) f x( , y) 对于函数 f x( , y)在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线 2 2 2 ( 0 x > 1 , , 2 2 y x = = y x y = x ) 上的情况（因为在除去上述曲线和原点的区域上函数显然连续）。 设 x0 > 0。在 2 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) 2 x y x = x 点，由于 0 0 0 0 2 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) / 2 1 2( ) 2 lim ( , ) lim 0 ( , ) x y x y x y x y y x y x f x y f x y → → x > − = = = ， 0 0 2 ( , ) ( , ) / 2 lim ( , ) 0 x y x y y x f x y → ≤ = 0 0 = f ( , x y )， 所以函数 f x( , y) 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 1 ( , ) 2 x x 连续。同理可知函数 f x( , y) 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x 2x )也连续。 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x x )点，由于 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( , )(, ) ( , )(, ) 0 2 2 2 lim ( , ) lim 1 x y x y x y x y x y x x y x x f x y → → x x > > − − = = = 0 0 = f ( , x y )， 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( , )(, ) ( , )(, ) 0 / 2 1 1 2( ) 2( ) 2 2 lim ( , ) lim 1 x y x y x y x y x y x y x x x f x y → → x x < ≤ − − = = = 0 0 = f ( , x y )， 所以函数 f x( , y)在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x x )也连续。 综上所述，函数 f x( , y)除了在原点不连续，在其它点都连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 7

解显然函数f(x,J)在区域(x,J)x2+y0)上连续，所以只要考虑函数f(x,J)在原点的连续性。由|xyxl(x2+y)，得到xy[P+yslx],所以xylimlim=0,f(x,y)=(x,y)-(0,0) x2 + y2x.v)→(0,0即函数在原点也连续。因此函数f(x,J)在平面上点点连续。11.设f(t)在区间(a,b)上具有连续导数，D=(a,b)x(a,b)。定义D上的函数[f(x)-f(v)x+y,F(x,y)=x-yf'(x),x= y.证明：对于任何ce(a,b)成立limF(x, y)= f(c)。(x,y)-(c,c)证由题设，利用Lagrange中值定理f(x)-f(y)=f(5)(x-y)，其中=介于x和y之间。所以limF(x,y)=limeef'()= f'(c)(x,y)→(c,c)(x,y)-(c,Xt)limF(x,y)= lim (x)= f(c),(x,y)(c,c)综合上面两式可得limF(x,y)= f'(c) 。(x,y)-(c,c)12.设二元函数f(xJ)在开集DcR2内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：If(x,y')-f(x,y")/≤Lly'-y"/,其中(x,y),(x,y")eD，L为常数（通常称为Lipschitz常数）。证明f(x,y)在D内连续。证假设(xo,%)D，由于函数对于变量x是连续，V>0，>0,Vx(Ix-x8)，成立[f(x,y0)- f(xo,y0)/ <8 。8

解 显然函数 f x( , y)在区域{ } 2 2 ( , x y) x + y ≠ 0 上连续，所以只要考虑函 数 f x( , y)在原点的连续性。由 2 1 2 | | | | ( 2 2 x y x ≤ x + y )，得到 2 2 2 1 | | 2 x y x x y ≤ + ， 所以 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → = 2 2 2 ( , ) (0,0) lim 0 x y x y → x y = + ， 即函数在原点也连续。因此函数 f x( , y)在平面上点点连续。 11．设 f (t)在区间(a,b)上具有连续导数，D = (a,b) × (a,b) 。定义 上的 函数 D ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b)成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 证 由题设，利用 Lagrange 中值定理 f x( ) − f ( y) = f '(ξ )(x − y) ，其中ξ 介 于 x和 y 之间。所以 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) lim '( ) ( ) x y c c x y c c x y F x y f ξ f c → → ≠ = = ′ , ( , ) ( , ) lim ( , ) lim '( ) ( ) x y c c x c x y F x y f x f c → → = = = ′ , 综合上面两式可得 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 是连续的，对于变 量 x y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤L | y'− y′′ |， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 f (x, y)在D内连续。 证 假设 ( , x y 0 0 )∈D ，由于函数对于变量 x 是连续， ∀ > ε 0 ， 0 ∃ > δ 0,∀x x (| − x |< δ )，成立 0 0 0 f ( , x y ) − f (x , y ) < ε 。 8

当[(x, )-(xo, o)在D上都是连续的。证假设xeD，由f和g是连续，Ve>0，38>0,Vx(Ix-x),成立/f(x)-f(x)8,>0,Vx(/x-xk8),成立Ig(x)-g(x),于是1 f(x)+ g(x)-(f(xo)+g(xo)l f(x)- f(xo)/+1g(x)- g(xo)/ ≤28,所以映射+g在x连续。又kf(x),g(x)>-l=k f(x)-f(xo),g(x)>+g(x)/+1f(x)/,由于g连续，所以g的每个分量都连续，从而都局部有界，于是g也局部有界。根据上式，在x连续，证毕。14.证明复合映射的连续性定理（定理11.2.3）。证假设g在D上连续，f在Q上连续，并且xED,u=g(x)eQ。由在上连续，>0>0-)成立9

当 0 0 ( , x y) − 0， 0 ∃ > δ 0,∀x x (| − x | δ ∀x x − x f x), g(x) − | 0 | 0 0 = + 0 ≤ + | ( g x)| ε | f (x ) | ε ， 由于 g 连续，所以 g 的每个分量都连续，从而都局部有界，于是 g 也 局部有界。根据上式，＜f , g＞在 x0连续，证毕。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.3）。 证 假设 g 在 D 上连续，f 在Ω上连续，并且 0 0 0 x u ∈ D, ( = g x )∈Ω。由 f 在u0 上连续， 0 ∀ε > ∃ 0, η η > 0,∀u u (| − u |< ) 成立 9

If(u)-f(uo)k。对于上述n>0，由g在x连续知38>0,x(x-x8)成立Ig(x)-g(x)kn 。于是，当x-xk8时，Ifog(x)-fog(x)Hlf(u)-f(uo)k6,所以复合函数fg在x连续10

0 | ( f u) − f u( )| 0，由 g 在 x0连续知 0 ∃δ > ∀0, x x (| − x |< δ )成立 0 | ( g x) − g x( ) |<η 。 于是，当 0 | x x − |< δ 时， 0 0 | f D D g(x) − = f g(x ) | | f u( ) − f u( ) |< ε ， 所以复合函数 f D g在 x0连续。 10