复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十三章 重积分 13.5 微分形式

习题13.5微分形式1.计算下列外积：(1) (xdx +722dy) ^(ydx - xdy + 6dz) ;(2)(cos ydx+cos xdy)^(sin ydx -sin xdy);(3) (6dx ^dy + 27dx ^dz)^(dx + dy + dz)。解（1）(xdx+7z2dy)^(ydx-xdy+6dz)=-(x2+7yz)dx^dy+42zdy^dz-6xdz^dx。(2) (cos ydx + cos xdy) ^ (sin ydx - sin xdy)=- sin(x + y)dx ^dy (3) (6dx ^dy + 27dx ^dz)^(dx+ dy+ dz)=- 21dx ^dy^dz 。2. 设@=a+adx+a,dx,^dx,+a,dx,Adx,Adx=b,dx,^dx,+b,dx,^dx,+b,dx,^dx,^dx,+b,dx,^dx,^dxy。求+和。解+n=ao+a,dx +b,dx,^dx, +(a2 +b,)dx,^dx3+bdxAdxdx+(a+by)dx2dx^dx4;のAn=aobdx,^dx+aob,dx,^dx+aobgdxAdx,Adx+aobydx2AdxAdx4+abydxAdx2AdxAdx43. 求0=xdx,^dx,+x,dx,^dx,+(1+x)dx,^dx,+x,dx,^dx+(x+x)dx^dx,^dx-xdx^dx2的标准形式。解0=Xdx, ^dx2+ dx^dx +( +x3)dx2Adx-(x2 +x3)dx^dx2Adx34.证明外积满足分配律和结合律。证由外积的线性性质，只需对の,n,α分别是p-形式、g-形式和r-形式的情形证明即可。设=fi(x)dx1,n=Eg(x)dxj,=hk(x)dxk，则Efi(x)dx) +Eg, (x)dx) Ehk(x)dxk(+n)ag=/=Efi(x)hk(x)dx, ^dxk +Eg)(x)hk(x)dx, ^dxkI,KJ,K=g+ng1

习 题 13.5 微分形式 1. 计算下列外积： （1）(xdx + 7z 2 dy) ∧ ( ydx − xdy + 6dz)； （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy)； （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz)。 解（1）( 7 ) ( 6 ) 2 xdx + z dy ∧ ydx − xdy + dz = − (x + 7 yz )dx ∧ dy 2 2 + 42z dy ∧ dz − 6xdz ∧ dx 2 。 （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy) = − sin(x + y)dx ∧ dy 。 （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz) = − 21dx ∧ dy ∧ dz 。 2. 设 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3 4 2 3 4 。 0 1 1 2 1 3 3 2 3 4 d d d d d d d d d d d d d d d d , b x x b x x b x x x b x x x a a x a x x a x x x = ∧ + ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ = + + ∧ + ∧ ∧ η ω 求ω +η和ω ∧η。 解 0 1 1 1 1 2 2 2 1 3 ω +η = a + a dx + b dx ∧ dx + (a + b )dx ∧ dx + b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 3 4 2 3 4 + (a + b )dx ∧ dx ∧ dx ； ω ∧η = a0b1dx1 ∧ dx2 + a0b2dx1 ∧ dx3 + a0b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a0b4dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + a1b4dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 。 3. 求 3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 1 2 3 2 3 2 ( )d d d d d d d d d (1 )d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + ∧ ∧ − ∧ ω = ∧ + ∧ + + ∧ + ∧ 的标准形式。 解 ω = 1dx1 dx2 dx1 dx3 x ∧ + ∧ 3 2 3 2 1 + (x + x )dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 2 − (x + x )dx ∧ dx ∧ dx 。 4. 证明外积满足分配律和结合律。 证 由外积的线性性质，只需对ω,η,σ 分别是 p − 形式、q −形式和r −形 式的情形证明即可。 设 K K J K J I J I ω = ∑ f I (x)dx ,η = ∑g (x)dx ,σ = ∑h (x)dx ，则 (ω +η) ∧σ = K K J K J I J I I ∑ f (x)dx ∑g (x)dx ∧∑h (x)dx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∑ ∧ + ∑ ∧ J K J K J K I K fI x hK x dxI dxK g x h x dx dx , , ( ) ( ) ( ) ( ) =ω ∧σ +η ∧σ 。 1

Efi(x)dxi +Eg (x)dx)^(0+n)=Ehk(x)dxk ^/-Ehk(x)f;(x)dxkAdx,+Ehk(x)g,(x)dxkAdx)K,1K,J=0+nZfi(x)g,(x)dx, Adx)hk(x)dxk(n)G=IJEfi(x)gj(x)hx(x)dx) Adx) AdxkJKZfi(x)dxiEgj(x)hk(x)dxj dxk=(n)。5.写出微分形式dx^dy^dz在下列变换下的表达式：（1）柱面坐标变换x=rcoso,y=rsino,z=z;（2）球面坐标变换x=rsinpcoso,y=rsinpsino,z=rcos@解（1)由dx = cos @dr-rsin odo,dy= sin odr + r cos Odo,dz = dz,得到dxdy^dz=rdr^de^dz。(2)由dx= sinpcos odr+rcospcosodp-rsinpsin odo,dy=sinpsinedr+rcos@sinedo+rsin gcosdedz = cos pdr - r sin pdp,得到dxdy^dz=r?sin@drAdo^do。6.设0a,dx，（j=1,2,,n）为R"上的1-形式，证明O,Ao, A..Ao, =det(a,)dx, Adx, A...^dx, .证由于x, ^x, =-x,Ax,(i,j=1,2,-,n), x, ^x, =0(i=1,2,..,n),所以Eaja...a'dd,...dx.0,02...,=,2.-,=1Z1aja...a,dx dx2. dx.<i,<i,<<i,≤n2

σ ∧ (ω +η) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∧ ∑ +∑ J J I J I K I K Kh (x)dx f (x)dx g (x)dx = ∑ ∧ + ∑ ∧ K J K J K J K I hK x fI x dxK dxI h x g x dx dx , , ( ) ( ) ( ) ( ) =σ ∧ω +σ ∧η 。 ∑ ⎟ ⎟ ∧∑ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∧ ∧ = ∧ K K K I J ( ) f I (x)gJ (x)dxI dxJ h (x)dx , ω η σ K I J K = ∑ fI x gJ x hK x dxI ∧ dxJ ∧ dx , , ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ K J K J K J I f I x dxI g x h x dx dx , ( ) ( ) ( ) = ω ∧ (η ∧σ )。 5. 写出微分形式dx ∧ dy ∧ dz 在下列变换下的表达式： （1）柱面坐标变换 x r = cosθ, y r = sinθ, z = z ； （2）球面坐标变换 x r = sinϕ cosθ, y = rsinϕ sinθ, z = r cosϕ 。 解 （1）由 dx = cosθdr − rsinθdθ , dy = sinθdr + r cosθdθ , dz = dz ， 得到 dx ∧ dy ∧ dz = rdr ∧ dθ ∧ dz。 （2）由 dx = sinϕ cosθdr + r cosϕ cosθdϕ − rsinϕ sinθdθ ， dy = sinϕ sinθdr + r cosϕ sinθdϕ + rsinϕ cosθdθ ， dz = cosϕdr − rsinϕdϕ ， 得到 dx ∧ dy ∧ dz = r 2 sinϕ dr ∧ dϕ ∧ dθ 。 6. 设 ∑ （ ）为 = = n i i j j i a x 1 ω d j = 1,2,", n n R 上的 1-形式，证明 n j n i det(a )dx dx dx ω1 ∧ω 2 ∧"∧ω = 1 ∧ 2 ∧"∧ 。 证 由于 x x x x (i, j 1,2, ,n) i ∧ j = − j ∧ i = " ， x x 0(i 1,2, , n) i ∧ i = = " ， 所以 ∑ = ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ n i i i i i i n n i i i n n n a a a x x x , , 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d d d " ω ω " ω " " ∑ ≤ < < < ≤ = − ∧ ∧ ∧ n i i i n n n i i i n n a a a x x x " " " 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( 1) d d d σ 2

= det(a) )dx, ^dx2 ^.*^ dxn'其中是排列(i,i2i,)的逆序数

= det(ai j )dx1 ∧ dx2 ∧"∧ dxn ， 其中σ 是排列(i 1,i2 ,",in )的逆序数。 3