复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）第二章 数列极限 §1 实数系的连续性

第二章数列极限$1实数系的连续性实数系一连续性。实数集合R的重要的基本性质

第二章 数列极限 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合 R 的重要的基本性质——连续性

第二章数列极限$1实数系的连续性实数系一连续性。实数集合R的重要的基本性质11数系的扩充历史自然数集合N：关于加法与乘法运算是封闭的，但是N关于减法运算并不封闭。整数集合Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是乙关于除法是不封闭的。整数集合乙具有“离散性

第二章 数列极限 数系的扩充历史 自然数集合 N ：关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N 关于 减法运算并不封闭。 整数集合 Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z 关于 除法是不封闭的。整数集合 Z具有“离散性”。 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合 R 的重要的基本性质——连续性

有理数集合Q=>xlx=,peN+,qez。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合0具有“稠密性

有理数集合Q ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ∈∈== + qp ZN pq xx ,| 。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。 c

有理数集合Q=xx=,peNt,qez。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合具有“稠密性”。虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有“空隙”。例如用表示边长为1的正方形的对角线的长度，这个c就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有必要将有理数集合加以扩充。0-3-121-22C图2.1.1

虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有 “空隙 ”。例如 用表示边长为 1的正方形的对角线的长度，这个 c就无法用有理数 来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有 必要将有理数集合加以扩充。 -3 -2 -1 0 1 c 2 3 图2.1.1 有理数集合 Q ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈∈== + qp ZN p q xx ,| 。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性

有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数（称为无理数）吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集R：R=（xx是有理数或无理数)

有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R ： R ={ xx 是有理数或无理数}

有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数（称为无理数）吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集R：R=（xx是有理数或无理数】。全体无理数所对应的点（称为无理点）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。实数集合的这一性质称为实数系R的“连续性”。R又被称为实数连续统。实数系R的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。“确界存在定理”就是实数系R连续性的表述之一

有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R ： R ={ xx 是有理数或无理数}。 全体无理数所对应的点（称为无理点）填补了有理点在坐标 轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。 实数集合的这一性质称为实数系 R 的“连续性”。 R 又被称 为实数连续统。 实数系 R 的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整 个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价 的表述方式。“确界存在定理”就是实数系 R 连续性的表述之一

最大数与最小数记号：“”表示“存在”或“可以找到”，“”表示“对于任意的”或“对于每一个”。例如ACB VxEA,有xEB,AαB 3xEA,使得xB

最大数与最小数 记号：“∃ ”表示“存在”或“可以找到”，“∀ ”表示 “对于任意的”或“对于每一个”。例如 A ⊂ B ⇔ ∀ x A ∈ ,有 x ∈B ， A ⊄ B ⇔ ∃ x A ∈ ,使得 x ∉B

最大数与最小数记号：“”表示“存在”或“可以找到”，“√”表示“对于任意的”或“对于每一个”。例如ACB VxEA,有xEB,AαB 3xEA,使得xB。设S是一个数集，如果eS，使得VxES，有x≤，则称是数集S的最大数，记为E=maxS；如果3neS，使得VxeS，有x≥n，则称n是数集s的最小数，记为n=minS。当数集s是非空有限集时，maxS是这有限个数中的最大者，minS是这有限个数中的最小者。但是当S是无限集时，S可能不具有最大数及最小数

设S 是一个数集，如果∃ξ ∈ S ，使得∀ x S ∈ ，有 x ≤ξ ，则称 ξ 是数集S 的最大数，记为ξ = max S ；如果∃η ∈ S ，使得∀ x S ∈ , 有 x ≥η ，则称η 是数集S 的最小数，记为η = min S 。 当数集S 是非空有限集时，max S 是这有限个数中的最大 者，min S 是这有限个数中的最小者。但是当S 是无限集时，S 可能不具有最大数及最小数。 最大数与最小数 记号：“∃ ”表示“存在”或“可以找到”，“∀ ”表示 “对于任意的”或“对于每一个”。例如 A ⊂ B ⇔ ∀ x A ∈ ,有 x ∈B ， A ⊄ B ⇔ ∃ x A ∈ ,使得 x ∉B

例2.1.1集合A=（xlx≥0！没有最大数，但有最小数，minA=0

例2.1.1 集合 A = {| } x x ≥ 0 没有最大数，但有最小数， min A = 0

例2.1.1集合A=（xx≥0没有最大数，但有最小数，minA = 0。例2.1.2集合B=xl0≤xβ，这就与β是集合B的最大数发生矛B2盾。所以集合B没有最大数

例2.1.1 集合 A = {| } x x ≥ 0 没有最大数，但有最小数， min A = 0。 例2.1.2 集合 B = {| } x x 0 1 ≤ β ，这就与β 是集合 B的最大数发生矛 盾。所以集合 B没有最大数