华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第三章 多维随机变量及其分布 §3.4 随机变量的独立性 §3.5 多个随机变量函数的分布

83.4随机变量的独立性一、问题(X,Y)~ N(H,H,02,,p) =X ~N(u,02)X/Y = y~ N(μ +-p(y-μz), g;(1-p’)02fxiy(x/ y)= fx(a)当p=0时二、定义若(D.RV.Py = pi.p.jF(x, y) = Fx(x)Fy(y)C.RV.f(x,y)= fx(x)fr(y)则称随机变量X与Y相互独立。例1（P例3.10）设(X,Y)～N(μ,2,,2,),证明X与相互独立αp=0.1[(-) +()f(x, y)证：“"expi-元正态密度2元0,022a2af(x-4)(x-μ2)1120222e= fx(x)fr(y)12元02J2元0f(x,y)xir(x/y)=Jx(x)= 或f(x,y)= fx(x)f(y)fr(y)f(u,u2)= fx(u)f,(u2)-/1-p?=1=p=02元0，2元起2元,0, /1-p?例2（Pgl例 3.11）讨论 D.R.V.(X,Y)的独立性K-102Pi.X解：Pi=Pi.P.j1/22/201/202/20ij=l，2，312/201/202/2024/202/204/20故X与Y独立p.j

§3. 4 随机变量的独立性 一、问题 ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1    ~ ( , ) 2 X N 1 1 / ~ ( ( ), (1 )) 2 2 2 1 2 1 1       X Y  y N   y   当   0 时 f x y f x X Y  X ( / ) / 二、定义 若 F(x, y) F (x)F (y)  X Y        . . . ( , ) ( ) ( ) . . . C RV f x y f x f y D RV p p p X Y ij i j 则称随机变量 X 与 Y 相互独立。 例 1（P91 例 3.10）设 ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1   ,证明 X 与 Y 相互独立    0. 证：“” 2 1 2 1 ( )   f x，y  ( ) ( ) } 2 1 exp{ 2 2 2 2 2 1 1 1              x  y 二元正态密度 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1       x e 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1      x e f (x) f (y)  X Y 或 ( ) ( , ) ( / ) ( ) / f y f x y f x y f x Y X Y  X   f (x, y) f (x) f (y)  X Y “ ” ( , ) ( ) ( ) 1 2 X 1 Y 2 f  f f 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1         1 1 2       0 例 2（P91例 3.11） 讨论 D.R.V.(X,Y)的独立性. 解：  pij  pi p j i  j 1 ， 2 ， 3 故 X 与 Y 独立 Y X -1 0 2 pi 1/2 2/20 1/20 2/20 1 2/20 1/20 2/20 2 4/20 2/20 4/20 p j

S3.5多个随机变量函数的分布一、和的分布例1（习题3.20）设X~B(n,P),Y~B(n,p)且相互独立，求Z=X+Y的分布P(Z = k) = P(X +Y = k) =P(X =i)P(Y = k-i)解：i=0-ZC,p'(1- p)""Ck" p*-(1- p)"*2-[2c;Ck- p(-p)-*i-(=Cnp(1- p)2n-kk =012...?Z ~ B(2n,p)一般若XB(m，p)，YB(n，)且相互独立，则X+YB(m+n，p).（分布的可加性）例2（Pg6例3.14）设XN(0,1)与YN(0,1)独立，求Z=X+Y的分布。解: Fz(2)= P(X +Y <2)ry= J[ f(x, y)dxdyX+V<2tolfx(x)fr(y)dx]dyx+y=zfz2(2)= Fz'(2) = [t" fx(z-y)fr(y)dyX(c-y)211dy2元2元ai11V2元

§3.5 多个随机变量函数的分布 一、和的分布 例 1（习题 3.20） 设 X~B(n, p), Y~B(n, p)且相互独立，求 Z=X+Y 的分布. 解： P(Z  k)  P(X Y  k)       n i P X i P Y k i 0 ( ) ( ) k i k i n k i n n i i i n i Cn p p C p p         (1 ) (1 ) 0 ？=          k i n n i i CnC 0 k n k p p   2 (1 ) k k n k C n p p    2 2 (1 ) k  0,1,2? Z ~ B(2n, p) 一般 若 X~B(m, p), Y~B(n, p)且相互独立，则 X+Y~B(m+n, p).（分布的可加性） 例 2（P96例 3.14）设 X~N(0,1)与 Y~N(0,1)独立，求 Z=X+Y 的分布。 解： F (z) P(X Y z) Z    f x y dxdy x y z     ( , ) = f x f y dx dy z y X Y [ ( ) ( ) ]       f z F z f z y f y dy Z Z X Y ( ) '( ) ( ) ( )       = e e dy y z y 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )        2 ) 2 1 (                   dy z y ] ) 2 2( 1 ) 2 ( exp[ ) 2 1 2 ( 1 2 2  4 2 z e  y z x x+y=z

21V2元V2 e 2052即 X+Y~N(O, 2)一般若X～N(u,)与Y～N(u2,)相互独立，则X+y ~ n(u +uz,0?+o2)～正态分布的可加性更一般X,～N(μ,o)，i=1,2,n，相互独立，则对任何实数ai,a2…,am有ZaX, ~N(a, aio))~正态分布的线性性质i=li=li=l例3（P9s例3.13）设X~UJ0,1I，Y~UJ0,1]，且X与Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数。1,0≤x≤11.0≤y≤1fr(y)解fx(x)10,其他其他0fz()= fx(x)f,(z-x)dx由卷积公式注意到被积函数的非零区域为：0≤x≤10≤x≤1z-x+1[0≤z-x≤1=2-1≤x≤z0,z<01['dx = z,0≤z<1fz(=) =z-x,dx=2-z,1≤z<20,z≥20-x

2 2 1   2 2( 2 ) 2 z e  即 X Y ~ N(0, 2) 一般 若 ~ ( , ) 2 X N 1 1 与 ~ ( , ) 2 Y N 2  2 相互独立，则 ~ ( , ) 2 2 2 X Y N 1  2 1  ~正态分布的可加性 更一般 ~ ( , ) 2 Xi N i  i ，i 1,2, n ，相互独立，则对任何实数 a1, a2, ., an,有 ~ ( , ) 1 2 2 1 1       n i i i n i i i n i ai Xi N a  a  ~正态分布的线性性质 例 3（P95例 3.13）设 X~U[0,1]，Y~U[0,1]，且 X 与 Y 相互独立，求 Z=X+Y 的 密度函数。 解       0, 其他 1, 0 1 ( ) x f x X ，       0, 其他 1, 0 1 ( ) y f y Y 由卷积公式    f z  f x f z  x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 注意到被积函数的非零区域为：         0 1 0 1 z x x          z x z x 1 0 1                     0, 2 2 , 1 2 , 0 1 0, 0 ( ) 1 1 0 z dx z z dx z z z f z z z Z x z 1 0 1 z=x+1 z=x x z 1 0 1 z=x+1 z=x

*二、商的分布例4设(X,Y)的联合概率密度为[3x,01三、最大（小）值的分布例5设系统L由两个独立的子系统L1,L2构成，子系统的寿命X~E），i=1,2，且相互独立。就下面构成系统的方法分别求L的寿命Z的分布：（1）并联；（2）串联：

*二、商的分布 例 4 设(X,Y)的联合概率密度为         ０， 其他 x x ，０ y x f x y 3 , 0 1 ( , ) 求 Z=X/Y 的分布. 解：      z y x Z z f x y dxdy Y X F (z) P( ) ( , )     y x zy f x y dxdy 0， ( , )     y x zy f x y dxdy 0， ( , )      0 [ ( , ) ] zy f x y dx dy     0 [ ( , ) ] zy f x y dx dy f (z) F (z) Z Z          0 0 yf (zy, y)dy yf (zy, y)dy     y f (zy, y)dy 注意到被积函数的非零区域为：        y zy zy 0 0 1        z y z 1 0 1/ 故           3 , 1 0, 1 ( ) 2 1/ 0 y zydy z z z f z z Z 三、最大（小）值的分布 例 5 设系统 L 由两个独立的子系统 L1，L2构成，子系统的寿命 X~E(  )，i 1,2 ， 且相互独立。就下面构成系统的方法分别求 L 的寿命 Z 的分布：（1）并联；（2）串联； y zy=x x

（3）备用。Ne-irx>0x>0解：已知fx(x)：Fx(x)0,x≤ox≤00(1) 并联 Z=maxX,X,)LFz(2) = P(m aM(,X,)≤ z)= P(X ≤z,X, ≤2) =[Fx(2)PLn[2(1-e-)Me-,z>Of2(z) = F2(2) = 2Fx(2)fx(2) =0.Z≤O一般若Xi,X2.,Xn,相互独立，则Jmax(x)=n[Ex(x)p-/fx(x)(2)串联 Z=minX,X2)Fz(z)= P(min(X, X,)≤z)L2LI=1- P(min(X,X,)>z)=1-P(X,>z,X, >2)=1-[1- Fx(-)P2-2元2z>0fz(2) = F2(z) = 2[1- Fx(z)]fx(z) :0,Z≤O一般若Xi,X2..,Xn相互独立，则fmm(x)=nl1-Fx(x)p-"fx(x)(3）备用Z=X,+Xfz(z) = [t fx(x)f,(z-x)dxLI[ e-dy=ze-，z>0/0,N≤OL

（3）备用。 解： 已知        0, 0 , 0 ( ) x e x f x x X   ，         0, 0 1 , 0 ( ) x e x F x x X  （1）并联 max( , ) Z  X1 X2 ( ) (max(, ) ) 1 2 F z P X X z Z   ( , ) 1 2  P X  z X  z   2 F (z)  X f Z (z)  FZ (z)  2F (z) f (z) X X          0, 0 2(1 ) , 0 z e e z z z  一般 若 X1, X2,., Xn,相互独立，则 ( )  ( ) ( ) 1 max f x n F x f x X n X   （2）串联 min( , ) Z  X1 X2 ( ) (min( , ) ) 1 2 F z P X X z Z   1 (min( , ) ) 1 2   P X X  z 1 ( , ) 1 2   P X  z X  z   2 1 1 F (z)    X f Z (z)  FZ (z)  2[1 F (z)]f (z)  X X        0, 0 2 , 0 2 z e z z  一般 若 X1, X2,., Xn,相互独立，则 ( ) 1 ( ) ( ) 1 min f x n F x f x X n X    （3）备用 Z  X1  X2    f z  f x f z  x dx Z X Y ( ) ( ) ( )            0, 0 , 0 2 0 2 z e dy ze z z z z    L1 L2 L1 L2 L1 L12

(x-μ)2(x-μ)(y-μz) (y-μz)exp1o22(1-)0ila102f(x,y) :2元/1-p20,02附：超几何分布设袋中有N个球，其中有M个红球，从中任取n个球，记取到的红球数为随机变量X。则CHCN"M.P(X =m)=m=0.1...?ChMCCWCN-Mn1 取 N=2n,M=n,n=k,m=i 得≥C,Ck- =Ck>=11由规范性，21CNm=0i=0或由(1+x)"(+x)"=(1+)”"得x的系数为C,C"=C,2mi=0

1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ]} ( ) ( ) ( ) 2 ( ) [ 2(1 ) 1 exp{ ( , )                         x x y y f x y 附：超几何分布 设袋中有 N 个球，其中有 M 个红球，从中任取 n 个球，记取到的红球数为随机变 量 X。则 n N n m N M m M C C C P X m   (  )  m  0,1,.？ 由规范性 1 0      M m n N n m N M m M C C C 取 N=2n,M=n,n=k,m=i 得 k n k i n n i i Cn C C2 0     或由 n n n x x x 2 (1 ) (1 )  (1 ) 得 k x 的系数为 k n n i k i n i Cn C C2 0    