华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第四章 数字特征 4.0

第四章数字特征X的概率分布F(x)：精确E(X):简洁$4.1数学期望例 1设三个连队（各一百人）的射击成绩如下：环数??98平均人数一连652582二连751087三连6520105设D.RVX的分布律为P(X=x)=Pi，i=1，2，，若ZxP绝对收定义1敛，则称E(X)=Zx,P:为X的数学期望（均值)。例2 设X~B(1,p)，求E(X)。E(X)=1×p+0×(1-p)= p解：汽设X-P()，求E(X)。例3_-1解：E(M)=之k.芸e=2k!(k-1)!k=0定义2设C.RV.X的密度函数为f(x)，若[xf(x)dx收敛，则称E(X)= [tx f(x)dx为X的数学期望（均值）

第四章 数字特征 X 的概率分布 F(x) ：精确 E(X) :简洁 §4.1 数学期望 例 1 设三个连队（各一百人）的射击成绩如下： 环数 人数 ⑩ ⑨ ⑧ ⑦ 平均 x 一连 65 25 8 2 二连 75 10 8 7 三连 65 20 10 5 定义 1 设 D.R.V.X 的分布律为 i pi P(X  x )  ， i =1，2，.，若  i i pi x 绝对收 敛，则称   i i pi E(X) x 为 X 的数学期望（均值）。 例 2 设 X~B(1,p)，求 E(X)。 解： E(X) 1 p  0(1 p)  p 例 3 设 X~P(  )，求 E(X)。 解：               1 1 0 ! ( 1)! ( ) k k k k e k e k E X k       定义 2 设 C.R.V. X 的密度函数为 f(x)，若    x f (x)dx 收敛，则称 E(X)     x f (x)dx 为 X 的数学期望（均值）

例4设设X~P(），求E(X）（平均寿命）。1解: E(X)=J°xe-"dx =-xe-x+oe-"dx=。+]2例5 设X~N(u,α),求E(M)。_(x-u)2u2xou+ue2g?产e2dudxu=解：E(X)=a/2元J2元01ou2du=μdu+OeJ2元V2元定理1设g(x)为连续函数，则对 D.RV.: P(X =x,)= P, = E[g(X)]= Zg(x,)p;fx(x)= E[g(X))= [ g(x) f(x)dx对 C.R.V.:例6（P108例4.12）设某种商品每周的需求量X为随机变量，X~U[10,30]，而经销商进货数量为区间[10,30中的某一整数，经销商每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每销售1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润的期望值不少于9280元，试确定最少进货量。解：设进货量为a，则利润额为500X-100·(a-X)=600X-100a10≤X<ag(X)=a<X≤30500a+300(X-a)=300X+200a1[0g(x) 0E[g(X)]= -dx30-10

例 4 设设 X~P(  )，求 E(X)（平均寿命）。 解：              0 0 0 1 ( )      E X x e dx xe e dx x x x 例 5 设 ~ ( , ) 2 X N   ，求 E(X)。 解： e dx x E X x 2 2 2 ( ) 2 ( )            x u e du u u      2 2 2   e du u u      2 2 2  e du u      2 2 2 1     定理 1 设 g(x)为连续函数，则 对 D.R.V.：      i i i i pi P(X x ) p E[g(X)] g(x ) 对 C.R.V.： f X (x)  E[g(X)]     g(x) f (x)dx 例 6（P108 例 4.12）设某种商品每周的需求量 X 为随机变量，X~U[10,30]，而经销 商进货数量为区间[10,30]中的某一整数，经销商每销售一单位商品可获利 500 元，若供 大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应， 此时每销售 1 单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润的期望值不少于 9280 元，试 确定最少进货量。 解：设进货量为 a，则利润额为                   500 300 ( ) 300 200 30 500 100 ( ) 600 100 10 ( ) a X a X a a X X a X X a X a g X    3 0 1 0 30 10 1 E[g(X)] g(x) dx

(600x-100a)dx+ fo(300x + 200a)dx102020-7.5a2+350a+5250≥928020≤26=a=213定理2设g(x,y)连续，则对 DR.V: P(X=x,Y=y,)=Pu = E[g(X,Y)]=Z Zg(xi,y)pjf(x,y)= E[g(X,Y)]=[ft g(x, y)f(x, y)dxdy对C.R.V:例7设(X,N)在区域A上服从均匀分布，其中A是由直线x=0，J=0和x+=12围成的三角形区域。求E(X)、E(Y)、E(X+Y)、E(XY)(1.0<x<1,0<y<2(1-x)解f(x,y)=[ 0,其它C[r2(- dy = 2(1 - x),0<x<1x(x)= f f(x, y)dy =其它[0,VX2E(X)=Ix·2(1-x)dx =3E(Y) = y [t f(x, y)dx dy文01=yf(x,y)ddy =T yddy =2E(X+)=(x+ y)ddy= xddy+'ydd =1+23+3E()=y=(-=+6.33

      a a x a dx x a dx 1 0 3 0 (300 200 ) 20 1 (600 100 ) 20 1 7.5 350 5250 9280 2   a  a   26 21 3 2  20  a   a  定理 2 设 g(x,y)连续，则 对 D.R.V： i j pij P(X  x ,Y  y )      j i i ij i E[g(X,Y)] g(x , y ) p 对 C.R.V： f (x, y)        E[g(X,Y)]  g(x, y) f (x, y)dxdy 例 7 设(X,Y)在区域 A 上服从均匀分布，其中 A 是由直线 x=0，y=0 和 1 2   y x 围成的三角形区域。求 E(X)、E(Y)、E(X+Y)、E(XY)。 解          0, 其它 1, 0 1,0 2(1 ) ( , ) x y x f x y                0, 其它 2(1 ), 0 1 ( ) ( , ) 2(1 ) 0 dy x x f x f x y dy x X 3 1 ( ) 2(1 ) 1 0      E X x x dx    E(Y)  y    f (x, y)dx dy        yf (x, y)dxdy     2 0 2 1 0 y ydxdy 3 2                   2 0 2 1 0 2 0 2 1 0 2 0 2 1 0 1 3 2 3 1 ( ) ( ) y y y E X Y x y dxdy xdxdy ydxdy           2 0 2 2 0 2 1 0 3 2 3 1 6 1 ) 2 (1 2 ( ) dx y y E XY xydxdy y y x 1 2 1 2   y x 0

定理3数学期望有下面基本性质：1°对任何a，beR，有E(aX+b)=aE(X)+b2° E(X+Y)=E(X)+ E(Y)。—般 E(ZX,)=ZE(X)3° X与Y独立 = E(XY)=E(X)E(Y):xyf(x, y)dxdy =[xfx(x).yf,(y)dxdy= f (x)dx m yf,(1)dyE(XY)≤E(X)E(Y?)4°Cauchy-Schwarz不等式：证明 g(t)= E(tX -Y) =tE(X2)-2tE(XY)+E(Y2) ≥0△= 4E(XY)- 4E(X2)E(Y2)≤0且等式成立存在t使E(t.X-Y)=0例8 设X-B(n,p),，求E(X).解：记 X,~B(1,p),i=12.…n相互独立，则X=>X, ~ B(n,p)=lE(X)-E(X,)=p= np故i=li=l例9（P30习题4.17）设X与Y相互独立，其密度函数分别为[e-(v-s)[2x,05f(y) =f(x) =其它0,[0,≤5求 E(XY)

定理 3 数学期望有下面基本性质: 1°对任何 a，b  R，有 E(aX+b)=aE(X)+b 2°E(X+Y)=E(X)+ E(Y)。一般    i i i E( Xi ) E(X ) 3° X 与 Y 独立  E(XY)  E(X)E(Y)        xyf (x, y)dxdy        xf x  yf y dxdy X Y ( ) ( )        xf x dx  yf Y dy X Y ( ) ( ) 4°Cauchy-Schwarz 不等式： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 E XY  E X E Y 证明 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 g t  E tX Y  t E X  tE XY  E Y  4 ( ) 4 ( ) ( ) 0 2 2 2   E XY  E X E Y  且等式成立  存在 t0使 ( ) 0 2 E t 0 X Y  例 8 设 X~B(n,p)，求 E(X) . 解： 记 Xi ~ B(1,p)， i 1,2,  ,n 相互独立，则 ~ ( , ) 1 X X B n p n i  i   故        n i n i E X E Xi p np 1 1 ( ) ( ) 例 9（P30 习题 4.17）设 X 与 Y 相互独立，其密度函数分别为       0, 其它 2 , 0 1 ( ) x x f x         0, 5 , 5 ( ) ( 5) y e y f y y 求 E(XY)

T'2x.xdx=2解： E(X)=JO3E(Y)=Jt ye-(0-5)dy 1=y-55(t+5)edt=1+5=6-2=×6=4E(XY)=E(X)E(Y) =3[10×65+9×25+8×8+7×2]=9.5310075108710x+8x+7×= 9.53+9×10010010010010×0.65+9×0.2+8×0.1+7×0.05=9.45注：非绝对收敛级数的和与求和顺序有关，例如11111=In2+18926131In21++...239116254

解：     1 0 3 2 E(X) 2x xdx      5 ( 5) E(Y) ye dy y t  y 5        0 (t 5)e dt 1 5 6 t 6 4 3 2 E(XY)  E(X)E(Y)    [10 65 9 25 8 8 7 2] 9.53 100 1         9.53 100 7 7 100 8 8 100 10 9 100 75 10        100.6590.280.170.05  9.45 注：非绝对收敛级数的和与求和顺序有关，例如： ln 2 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1         ln 2 2 3 6 1 11 1 9 1 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1        